完整版高中数学导数知识点归纳总结与例题可编辑修改word版.docx
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完整版高中数学导数知识点归纳总结与例题可编辑修改word版
导数
考试内容：
导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景．
（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c（c为常数）、y=xn（n∈N+）的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）
理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
§14.导数知识要点
1.导数（导函数的简称）的定义：
设x0是函数y=f（x）定义域的一点，如果自变量x在x0
处有增量
∆x，则函数值y也引起相应的增量
∆y=f（x0+∆x）-f（x0）；比值
∆y=f（x0+∆x）-f（x0）称为函数y=f（x）在点x到x
+∆x之间的平均变化率；如果极限
∆x∆x00
lim∆y=lim
f（x0+∆x）-f（x0）存在，则称函数y=f（x）在点x处可导，并把这个极限叫做
∆x→0∆x
∆x→0∆x0
y=f（x）在x处的导数，记作f'（x）或y'|
，即f'（x
）=lim∆y=lim
f（x0+∆x）-f（x0）.
00x=x0
0∆x→0∆x
∆x→0∆x
注：
①∆x是增量，我们也称为“改变量”，因为∆x可正，可负，但不为零.
②以知函数y=f（x）定义域为A，y=f'（x）的定义域为B，则A与B关系为A⊇B.
2.函数y=f（x）在点x0处连续与点x0处可导的关系：
⑴函数y=f（x）在点x0处连续是y=f（x）在点x0处可导的必要不充分条件.
可以证明，如果y=f（x）在点x0处可导，那么y=f（x）点x0处连续.
事实上，令x=x0+∆x，则x→x0相当于∆x→0.
于是lim
x→x0
f（x）=lim
∆x→0
f（x0+∆x）=lim[f（x+x0）-f（x0）+f（x0）]
∆x→0
=lim[f（x0+∆x）-f（x0）⋅∆x+f（x
）]=lim
f（x0+∆x）-f（x0）⋅lim+lim
f（x
）=f'（x
）⋅0+f（x
）=f（x）.
∆x→0∆x
0∆x→0∆x
∆x→0
∆x→00000
⑵如果y=f（x）点x0处连续，那么y=f（x）在点x0处可导，是不成立的.
例：
f（x）=|x|在点x
=0处连续，但在点x
=0处不可导，因为∆y=|∆x|，当∆x＞0时，
00
∆y=1；当∆x＜0时，∆y=-1，故lim∆y不存在.
∆x∆x
∆x∆x∆x→0∆x
注：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
3.导数的几何意义：
函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f（x）在点（x0,f（x））处的切线的斜率，
也就是说，曲线
y=f（x）在点P（x0,f（x））处的切线的斜率是
f'（x0），切线方程为
y-y0=f'（x）（x-x0）.
4.求导数的四则运算法则：
（u±v）'=u'±v'⇒y=f1（x）+f2（x）+...+fn（x）⇒y'=f'（x）+f'（x）+...+f'（x）
（uv）'=vu'+v'u⇒（cv）'=c'v+cv'=cv'（c为常数）
⎛u⎫'
ç⎪
v
=vu'-v'u
v2
（v≠0）
⎝⎭
注：
①u,v必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例如：
设f（x）=2sinx+2，g（x）=cosx-2，则f（x）,g（x）在x=0处均不可导，但它们和
xx
f（x）+g（x）=sinx+cosx在x=0处均可导.
5.复合函数的求导法则：
fx'（（x））=f'（u）'（x）或y'x=y'u⋅u'x
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6.函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：
设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果f'（x）＞0，则y=f（x）
为增函数；如果f'（x）＜0，则y=f（x）为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数y=f（x）在区间I内恒有f'（x）=0，则y=f（x）为常数.
注：
①f（x）0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y=2x3在（-∞,+∞）上并不是
都有f（x）0，有一个点例外即x=0时f（x）=0，同样f（x）0是f（x）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
7.极值的判别方法：
（极值是在x0附近所有的点，都有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）
的极大值，极小值同理）
当函数f（x）在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0，那么f（x0）是极大值；
②如果在x0附近的左侧f'（x）＜0，右侧f'（x）＞0，那么f（x0）是极小值.
也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f'（x）=0①.此外，函数不
可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①：
若点x0是可导函数f（x）的极值点，则f'（x）=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：
函数y=f（x）=x3，x=0使f'（x）=0，但x=0不是极值点.
②例如：
函数y=f（x）=|x|，在点x=0处不可导，但点x=0是函数的极小值点.
8.极值与最值的区别：
极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：
函数的极值点一定有意义.
9.几种常见的函数导数：
I.C'=0（C为常数）
（sinx）'=cosx
（arcsinx）'=1
（xn）'=nxn-1（n∈R）
（cosx）'=-sinx
（arccosx）'=-1
II.
（lnx）'=1
x
（loga
x）
'=1loge
xa
（arctanx）'=
1
x2+1
（ex）'
=ex
（ax）'=axlna
（arccotx）'=-
1
x2+1
III.求导的常见方法：
①常用结论：
（ln|x|）'=1.②形如y=（x-a）（x-a）...（x-a
）或y=（x-a1）（x-a2）...（x-an）两
x12n
边同取自然对数，可转化求代数和形式.
（x-b1）（x-b2）...（x-bn）
③无理函数或形如y=xx这类函数，如y=xx取自然对数之后可变形为lny=xlnx，对两边
y'
求导可得
y
=lnx+x⋅1
x
⇒y'=ylnx+y⇒y'=xxlnx+xx.
导数中的切线问题
例题1：
已知切点，求曲线的切线方程
曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（）
例题2：
已知斜率，求曲线的切线方程
与直线2x-y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是（）
注意：
此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为y=2x+b，
代入y=x2，得x2-2x-b=0，又因为∆=0，得b=-1，故选Ｄ．
例题3：
已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
求过曲线y=x3-2x上的点（1，-1）的切线方程．
例题4：
已知过曲线外一点，求切线方程
求过点（2，0）且与曲线y=1相切的直线方程．
x
练习题：
已知函数y=x3-3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．
看看几个高考题
1.（2009全国卷Ⅱ）曲线y=
x
2x-1
在点（1,1）处的切线方程为
2.（2010江西卷）设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1,g
（1））处的切线方程为
y=2x+1，则曲线y=
f（x）在点（1,f
（1））处切线的斜率为
3.（2009宁夏海南卷）曲线
y=xex+2x+1在点（0,1）处的切线方程
为。
4.（2009浙江）（本题满分15分）已知函数
（a,b∈R）．
f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b
（I）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a,b的值；
5.（2009北京）（本小题共14分）
设函数f（x）=x3-3ax+b（a≠0）.
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2,f（x））处与直线y=8相切，求a,b的值；
.1函数的单调性和导数
1.利用导数的符号来判断函数单调性:
一般地，设函数y=
f（x）在某个区间可导，
如果在这个区间内f'（x）>0，则y=
如果在这个区间内f'（x）<0，则y=
2.利用导数确定函数的单调性的步骤：
（1）确定函数f（x）的定义域；
f（x）为这个区间内的；
f（x）为这个区间内的。
（2）求出函数的导数；
（3）解不等式f（x）＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f（x）＜0，得函数的单调递减区间．
【例题讲解】
a）求证：
y=x3+1在（-∞,0）上是增函数。
b）确定函数f（x）=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
【课堂练习】
1．确定下列函数的单调区间
（1）y=x3－9x2+24x
（2）y=3x－x3
２．已知函数f（x）=xlnx，则（）
A．在（0,+∞）上递增B．在（0,+∞）上递减
C．在⎛0,1⎫上递增D．在⎛0,1⎫上递减
ç⎪ç⎪
⎝⎭⎝⎭
３．函数f（x）=x3-3x2-5的单调递增区间是．
函数图象及其导函数图象
3
1.
函数y=
f（x）在定义域（-
3）内可导，其图象
2
如图，记y=
f（x）的导函数为y=
f/（x），则不
等式f/（x）≤0的解集为
3
2.函数
f（x）的定义域为开区间（-,3），导函数
2
y=f'（x）
f'（x）在（-3,3）内的图象如图所示，则函数f（x）
2
的单调增区间是
3.如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f'（x）为函数
f（x）的导函数，则不等式x⋅f'（x）<0的解集为_
4.若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则其导函数f'（x）的图象是（）
5.函数y=
f（x）的图象过原点且它的导函数f'（x）的图象是如图所示的一
条直线，则y=
f（x）图象的顶点在（）
A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6.
（2007年广东佛山）设f'（x）是函数f（x）的导函数,y=f'（x）的图象y
如右图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）
yO12x
O12x
ABCD
7.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如下左图所示，则导函数y=f'（x）的图象可能为（）
8.（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数y=
f（x）的图像如下右图
所示，则
y=f'（x）的图像可能是（）
9.
（2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科）已知函数f（x）的导函数f'（x）=ax2+bx+c的图象如右图，则
f（x）的图象可能是（）
10.（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
侧侧侧侧侧侧
··
侧侧侧
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）
（A）（B）（C）（D）
11.（2008广州二模文、理）已知二次函数f（x）的图象如图1所示,则其导函数f'（x）的图
象大致形状是（）
12.（2009湖南卷文）若函数y=
f（x）的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=
f（x）
在区间[a,b]上的图象可能是（）
yyy
y
oabxoa
bxoa
bxoabx
A．B．C．D．
13.（福建卷11）如果函数y=
f（x）的图象如右图，那么导
函数y=f'（x）的图象可能是（）
14.（2008年福建卷12）已知函数y=f（x）,y=g（x）的导函数的图象如下图，那么
y=f（x）,y=g（x）的图象可能是（）
15.（2008珠海一模文、理）设f'（x）是函数f（x）的导函数，将y=
像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
f（x）和y=
f'（x）的图
A.B．C．D．
16.
（湖南省株洲市2008届高三第二次质检）已知函数y
y=f（x）的导函数y=f'（x）的图像如下，则
（）
函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点
x∙1
∙∙x3O
x∙4x
17.（2008珠海质检理）函数f（x）的定义域为（a,b），其导函数f'（x）在（a,b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a,b）内极小值点的个数是（）
（A）.1（B）.2（C）.3（D）.4
18.
【湛江市·文】函数f（x）=lnx-1x2的图象大致是
2
A．B．C．D．
19.
【珠海·文】如图是二次函数f（x）=x2-bx+a的部分图象，则函数g（x）=lnx+f'（x）的零点所在的区间是
（）
A.（1,1）
42
B.（1
2
1）
C.（1,2）D.（2,3）
20.
定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1．f'（x）为f（x）的导函
数，已知函数y=f'（x）的图象如右图所示.若两正数a,b满足
b+2
f（2a+b）<1，则的取值范围是（）
a+2
11
A．（,）
32
B．（-∞,2）（3,+∞）
1
C．（,3）2
D．（-∞,
-3）
21.
0
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x
处取得极大值5，
其导函数y=
示.求：
f'（x）的图象经过点（1,0），（2,0），如图所
（Ⅰ）x0的值；
（Ⅱ）a,b,c的值.
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