1r 2r 3rnr的公式诱导.docx

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1r2r3rnr的公式诱导

1r+2r+3r+…+nr的公式诱导

　　一、前言

　　1+2+3+…+n=n（n+1），其公式的来由谁都明白，但对12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）和13+23+33+…+n3=n2（n+1）2，其公式的来由，可能就没几个人清楚了。

因为在我所读过的数学书中，除了第一个公式用诱导法证明以外，后面两个公式都是用归纳法证明的。

归纳法证明可以知道等式是否成立，但无法知道公式如何变换而来，因而研究新的问题受到很大的局限，从而很难解决以下问题的计算公式：

　　①14+24+34+…+n4

　　②15+25+35+…+n5

　　……

　　可见用诱导法证明公式的重要性。

这种方法证明不仅知道等式是否成立，还可以知道公式如何通过等量变换而来，对研究新的问题有很大的帮助。

　　二、有关文献

　　普通高级中学数学课本选修2-2第104页，《数学归纳法》例1：

用数学归纳法证明12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）。

　　这个公式除了用归纳法证明以外，能不能应用诱导法证明？

上面①和②等能不能找到计算公式？

　　三、研究问题

（1）12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）和13+23+33+…+n3=n2（n+1）2的诱导法证明；

（2）寻找1r+2r+3r+…+nr（r为自然数）的计算公式。

　　四、研究方法

　　倍n化半解方程法，即从12+22+32+…+（2n）2中求12+22+32+…+n2。

　　五、研究成果

　　连续自然数的任意次方和，我们都可以找到其计算公式，现在先证明下面两个公式。

　　例1用诱导法证明：

12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）。

　　证明：

因为

　　S22n=12+22+32+…+（2n）2

　　=12+22+32+…+n2+（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2+…+（n+n）2

　　=2（12+22+32+…+n2）+n3+2n（1+2+3+…+n）

　　=2S2n+n3+n2（n+1）

　　又

　　S22n=12+22+32+…+（2n）2

　　=（2-1）2+（4-1）2+（6-1）2+…+（2n-1）2+22+42+62+…+（2n）2

　　=n-2（2+4+6+…+2n）+2[22+42+62+…+（2n）2]

　　=n-4（1+2+3+…+n）+8（12+22+32+…+n2）

　　=n-2n（n+1）+8S2n

　　所以

　　2S2n+n3+n2（n+1）=n-2n（n+1）+8S2n

　　6S2n=2n3+3n2+n

　　=n（n+1）（2n+1）

　　所以

　　S2n=n（n+1）（2n+1）

　　例2用诱导法证明：

13+23+33+…+n3=n2（n+1）2。

　　证明：

因为

　　S32n=13+23+33+…+（2n）3

　　=13+23+33+…+n3+（n+1）3+（n+2）3+（n+3）3+…+（n+n）3

　　=2（13+23+33+…+n3）+n4+3n2（1+2+3+…+n）+3n（12+22+32+…+n2）

　　=2S3n+n4+n3（n+1）+n2（n+1）

　　（2n+1）

　　又

　　S32n=13+23+33+…+（2n）3

　　=（2-1）3+（4-1）3+（6-1）3+…+（2n

　　-1）3+23+43+63+…+（2n）3

　　=3（2+4+6+…+2n）-3[22+42+62+…+（2n）2]-n+2[23+43+63+…+（2n）3]

　　=6（1+2+3+…+n）-12（12+22+32+

　　…+n2）-n+16（13+23+33+…+n3）

　　=3n（n+1）-2n（n+1）（2n+1）-n+

　　16S3n

　　所以

　　2S3n+n4+n3（n+1）+n2（n+1）（2n+1）

　　=3n（n+1）-2n（n+1）（2n+1）-n+16S3n

　　14S3n=n4+n+（n2-3）（n+1）n+

　　（n+2）（n+1）（2n+1）n

　　=n（n+1）[（n2-n+1）+（n2-3）+

　　（n+2）（2n+1）]

　　=n（n+1）（n2-n+1+n2-3+n2+

　　n+2）

　　=n（n+1）（n2+n）

　　=n2（n+1）2

　　所以

　　S3n=n2（n+1）2

　　以上两个例题公式，都是通过倍n化半解方程法而得以证明。

这种证明方法，实际上就是求计算公式的过程，对于以后求连续自然数的任意次方和公式，起着很重要的帮助。

对1r+2r+3r+…+nr（r为自然数）的通用公式，如果用归纳法寻求，我认为无从着手，但用诱导法寻求，我认为并不难。

　　现在我们用诱导法求Srn=1r+2r+3r+…+nr的计算公式

　　因为

　　Sr2n=1r+2r+3r+…+（2n）r

　　=1r+2r+3r+…+nr+（n+1）r+（n+2）r+（n+3）r+…+（n+n）r

　　=2Srn+nr+1+C1rnr-1（1+2+3+…+n）

　　+C2rnr-2（12+22+32+…+n2）

　　+…

　　+Crr-2n2（1r-2+2r-2+3r-2+…+nr-2）

　　+Crr-1n（1r-1+2r-1+3r-1+…+nr-1）

　　=2Srn+nr+1+Cr1nr-1Sn+Cr2nr-2Sn2+…

　　Crr-2n2Snr-2+Crr-1nSnr-1

　　又

　　Sr2n=1r+2r+3r+…+（2n）r

　　=（2-1）r+（4-1）r+（6-1）r+…+（2n-1）r+2r+4r+6r+…+（2n）r

　　=Cr1（-1）r-1（2+4+6+…+2n）+Cr2（-1）r-2[22+42+62+…+（2n）2]

　　+…

　　+Crr-2（-1）2[2r-2+4r-2+6r-2+…+

　　（2n）r-2]

　　+Crr-1（-1）[2r-1+4r-1+6r-1+…+

　　（2n）r-1]

　　+（-1）rn+2[2r+4r+6r+…+（2n）r]

　　=Cr1（-1）r-1×2（1+2+3+…+n）

　　+Cr2（-1）r-2×22（12+22+32+…+n2）

　　+…

　　+Crr-2（-1）2×2r-2（1r-2+2r-2+3r-2+

　　…+nr-2）

　　+Crr-1（-1）×2r-1（1r-1+2r-1+3r-1+…+nr-1）

　　+（-1）rn+2×2r（1r+2r+3r+…+nr）

　　=Cr1（-1）r-1×2Sn+Cr2（-1）r-2×22S2n

　　+…+Crr-2（-1）2×2rr-2Snr-2

　　+Crr-1（-1）×2r-1Snr-1+（-1）rn+2×

　　2rSrn

　　所以Srn={nr+1-（-1）rn+Cr1

　　[nr-1-（-1）r-1×2]Sn

　　+Cr2[nr-2-（-1）r-2×22]S2n

　　+…

　　+Crr-2[n2-（-1）2×2r-2]Snr-2

　　+Crr-1[n-（-1）×2r-1]Snr-1}

　　直接应用这个公式证明或求公式就更简单了。

　　例3应用公式求S4n＝14+24+34+…+n4的计算公式。

　　解：

由公式，得

　　S4n=[n5-n+4（n3+2）×n

　　（n+1）+6（n2-4）×n（n+1）

　　（2n+1）+4（n+8）×n2（n+1）2]

　　=（n5-n+2n5+2n4+4n2+4n+2n5+

　　3n4-7n3-12n2-4n+n5+10n4+17n3+

　　8n2）

　　=（6n5+15n4+10n3-n）

　　=n（n+1）（2n+1）（3n2+3n-1）

　　所以

　　S4n=14+24+34+…+n4

　　=n（n+1）（2n+1）（3n2+3n-1）

　　同理可求

　　S5n=15+25+35+…+n5

　　=n2（n+1）2（2n2+2n-1）

　　S6n=16+26+36+…+n6

　　=n（n+1）（2n+1）

　　（3n4+6n3-3n+1）

　　例4求S7n=17+27+37+…+n7的计算公式

　　解：

由公式，得

　　S7n={n8-（-1）7n+7[n6-（-1）6

　　×2]Sn+21[n5-（-1）5×22]S2n+35[n4

　　-（-1）4×23]S3n+35[n3-（-1）3×

　　24]S4n+21[n2-（-1）2×25]S5n+7[n-

　　（-1）×26]S6n}

　　=[n8+n+7（n6-2）×n（n+1）

　　+21（n5+4）×n（n+1）（2n+1）

　　+35（n4-8）×n2（n+1）2

　　+35（n3+16）×n（n+1）（2n+1）

　　（3n2+3n-1）

　　+21（n2-32）×n2（n+1）2

　　（2n2+2n-1）

　　+7（n+64）×n（n+1）（2n+1）

　　（3n4+6n3-3n+1）]

　　=×[12n8+12n+42（n6-2）

　　（n2+n）

　　+42（n5+4）（2n3+3n2+n）

　　+105（n4-8）（n4+2n3+n2）

　　+14（n3+16）（6n5+15n4+10n3-n）

　　+21（n2-32）（2n6+6n5+5n4-n2）

　　+2（n+64）（n2+n）（6n5+15n4+6n3-

　　6n2-n+1）]

　　=×（12n8+12n+42n8+

　　42n7-84n2-84n+84n8+126n7+42n6

　　+336n3+504n2+168n+105n8+210n7

　　+105n6-840n4-1680n3-840n2

　　+84n8+210n7+140n6+1344n5+

　　3346n4+2240n3-224n+42n8+

　　126n7-1239n6-4032n5-3381n4

　　+672n2+12n8+810n7+2730n6+

　　2688n5-14n4-896n3+2n2+128n）

　　=×（381n8+1524n7+

　　1778n6-889n4+254n2）

　　=n2（3n6+12n5+14n4-7n2+2）

　　=n2（n+1）2（3n4+6n3-n2-4n+2）

　　所以

　　S7n=17+27+37+…+n7

　　=n2（n+1）2（3n4+6n3-n2-4n＋2）

　　同理还可求得S8n和S9n等的计算公式，不过次数高了计算过程就比较复杂，但并不是难题。

读者不妨试试求S8n和S9n的计算公式。

　　六、讨论

　　有关12＋22＋…＋n2=n（n＋1）（2n＋1）和13＋23＋…＋n3=n2（n＋1）2，这两个公式是怎样得来的？

我从来没有看到过。

因为在我们读过的数学书中，都只见过归纳的证明，如果公式是按教科书中通过对n=1，2，3，4前四项归纳所作出的猜想，那么对14＋24＋…＋n4和15＋25＋…＋n5等，能不能也通过对n=1，2，3，4前四项归纳猜想出它们的计算公式呢？

我认为是很困难的。

而对于1r＋2r＋…＋nr那就更困难了。

　　既然通过归纳猜想出计算公式十分困难，那我们就选取诱导法吧，果然诱导法不仅找到了S4n，S5n，S6n，S7n的计算公式，还找到了Srn的公式。

尽管这些计算公式在应用上很少用到，但在理论上已经突破了一个难度。

　　七、结论

（1）12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1）和13+23+…+n3=n2（n+1）2，通过倍n化半解方程诱导法，能很简单地得到证明；

（2）1r+2r+…+nr也能通过倍n化半解方程诱导法找到它的计算公式。

　　（作者单位：

海南省琼海市华侨中学）