如何做方程.docx

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如何做方程

方程基础知识讲义

主讲：

陈杰

欢迎来到陈老师数学课堂

方程是解答应用题的一种重要方法。

那么，用方程法解应用题有哪些步骤，关键在哪，又有何技巧找到关键之处呢？

用方程法解应用题要做到“一读、二找、三列、四解、五检验、六答”。

“一读”就是读懂题意；“二找”就是找准主要等量关系；“三列”就是根据找到的等量关系，确定哪个未知量用x表示，并列方程；“四解”就是解方程，求出未知数x的值；“五检验”就是把x的值代入原方程，看方程左右两边是否相等；“六答”就是写出答案。

在这六步中，“二找”，也就是找准主要等量关系非常重要，是用方程法解应用题的关键所在。

那么，怎样才能找准题中主要等量关系，正确列出方程呢？

下面举例介绍几主要方法。

一.利用计算公式找准主要等量关系

例1.一个长方形周长是57.8厘米，长方形的长是23厘米，宽是多少厘米？

例2.一个梯形的面积是18平方厘米，它的上底是4.6厘米，下底是5.4厘米。

求这个梯形的高是多少厘米？

例3、一个三角形的面积是100平方厘米，它的底边上的高是25厘米，底边是多少厘米？

例4.用一根长

的铁丝围成一个宽8cm的长方形，这个长方形的面积是多少

？

二.题中可直接翻译的等量关系

例1.买2枝钢笔比买5枝水笔多花了0.8元。

已知每枝水笔的价钱是2.6元，每枝钢笔的价钱是多少元？

例2.小强的爸爸今年37岁，比他年龄的3倍还大4岁，小强今年是多少岁？

例3.一种墨水有两种包装规格，大瓶容量是1.5升，比小瓶容量的4倍少0.9升，小瓶容量是多少？

例4.某商店购进红毛衣49件，比购进的蓝毛衣的6倍少35件。

这个商店购进蓝毛衣多少件？

家庭作业：

1.解方程：

（1）1.4×8-2x=6

（2）6x-12.8×3=0.06（3）410-3x=170（4）18（x-2）=270

（5）91÷x＝1.3（6）30÷x+25=85（7）5×3-x÷2=8（8）4（x-5.6）=1.6

1、体育室有羽毛球86个，比毽子个数的4倍少14个。

毽子有多少个？

2、一个三角形的面积是120平方厘米，它的底边上的高是20厘米，底边是多少厘米？

3、果园里有梨树3600棵，苹果树是梨树的３倍多1500棵，苹果树和梨树共有多少棵？

4.一个梯形的面积是20平方厘米，它的上底是4.6厘米，下底是5.4厘米。

求这个梯形的？

三.根据生活经验和常识找准主要等量关系

例1.图书小组原来有一些图书，借给3个班，每个班各借了28本后，还剩25本。

图书小组原来有图书多少本？

例2、张老师买了3个排球，付给营业员245元，营业员找回2元。

每个排球多少元？

例3.某学校买了20个足球和18个篮球，共付出870元钱，每个篮球24元，每个足球多少钱？

例4.修一段公路，已经修了8天，平均每天修125米，还剩800米没有修。

这段公路长多少米？

例5.某工地运来12车水泥，用了700袋后，还剩500袋，平均每车水泥多少袋？

例6.父亲现年50岁，儿子现年14岁，几年前父亲的年龄是儿子的5倍？

例7.水果店要运进水果2820千克，已经运进24筐，每筐重42.5千克，其余每筐重60千克。

还要运进几筐？

例8.小明家离学校有1200米。

一天，他要在30分钟内赶到学校，他先以每分钟20米的速度行了10分钟，那么后面他平均每分钟至少要行多少米才能及时赶到学校？

分析与解：

本题涉及的数量较多，有总路程、总时间、先行时间和速度、后行时间和速度。

题中隐含的主要等量关系是：

先行路程与后行路程的和等于总路程。

家庭作业：

一.根据题意，把题中的数量间的相等关系写完整，再列方程。

1.某工程队修一条长50千米的路，已经修了50天，平均每天修0.4千米，还剩下多少千米没修。

数量间相等的关系：

（）＋（）＝全长50千米

解：

设还剩下x米没修

列方程：

2.水果店有12筐梨和10筐苹果共卖了1080元，已知每筐梨40元，每筐苹果多少元？

梨的钱数+（）＝1080元

解：

设每筐苹果x元

列方程：

3.

列方程：

A：

二.用方程解下列各题

1.仓库里有一批化肥运走了4车，每车运7吨，运剩12.5吨，仓库里原有化肥多少吨？

2.一条水渠的横截面是梯形，上底宽20米，下底宽6米，横截面积是65平方米，这条水渠深多少米？

3.仓库里原有货物128.5吨，运走一部分后又运来97.8吨，这时仓库内有货物187.6吨，运走货物多少吨？

4.李师傅加工一批零件，如果每小时加工45个，24小时可以完成，如果每小时加工60个，多少小时可以完成。

5.一个长方形，长比宽多2分米，这个长方形的周长是16分米，求它的面积。

6、王老师在商店买了12支钢笔，付出100元，找回22元。

每支钢笔多少元？

四.通过一个未知数表示多个未知量

例1.五年级有少先队员62人去公园划船，大船每只坐6人，小船每只坐4人。

两种船共租13只正好合适，求大船和小船各租几只？

分析与解答：

根据题意可以知道，坐大船的人数与坐小船的人数加起来，正好应该是总人数62人。

所以这道题的等量关系是：

坐大船的人数+坐小船的人数=总人数

要想求坐大船的人数，就要知道每条大船坐几人和几条大船。

每条大船坐6人，题中已经告诉。

但有几条大船是未知数，因此把大船的只数设为

。

这样就可以用

表示坐大船的有多少人。

然后根据题意用

表示小船的只数，则

就可以用来表示坐小船的人数。

解：

设大船租

只，则小船租（

）只。

答：

大船租5只，小船租8只。

检验时要把得数代回原题，看是否符合题中的每一个条件。

这道题根据题意需要验证是否正好租13条船，还要验证是否正好是有62人划船，即：

（只）

（人）

例2.小明买了面额2元和面额0.8元的两种邮票共24枚，用去了30元钱。

这两种邮票小明各买了多少枚？

例3.一个长方形的周长是60厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的面积。

例4.“果园里桃树和杏树一共有180棵，杏树的棵数是桃树的3倍。

桃树和杏树各有多少棵？

”

题目让我们求两个未知数，要列方程解，可是同学们只学了解一个未知数的方程，怎么办呢？

课本介绍了一种解法，很多同学感到不满足，他们问：

为什么两个未知数，要选择桃树棵数设为x，设杏树有x棵可以吗？

根据“杏树的棵数是桃树的3倍”列方程行吗？

回答是肯定的。

请看下面四种解法（解方程略）：

解法1：

设桃树有x棵，则杏树有3x棵。

3x＋x＝180

解法2：

设杏树有x棵，则桃树有x÷3棵。

x÷3＋x＝180

解法3：

设桃树有x棵，则杏树有（18O－x）棵。

（180－x）÷x＝3

解法4：

设杏树有x棵，则桃树有（180－x）棵。

x÷（18O-x）＝3

我们看到，解法1与解法2都是用倍数关系表示两个未知数中的一个，然后根据两数和的关系列方程，区别只是未知数的选择不同；解法3与解法4都是用两数和的关系表示另一个未知数，然后根据两数的倍数关系列方程，区别也是未知数的选择不同。

比较四种解法，解法1最简便。

它的特点是根据倍数关系，选择看作一倍的未知数设为x，则另一个未知数是x的a倍，就可以表示为ax。

然后根据两数和的关系列方程。

原来，课本上介绍的是最简便的一种解法。

再来看下面两种解法，对吗？

为什么？

解：

设桃树有x棵，则杏树有（180－x）棵。

　　180－x＋x＝180

解：

设杏树有x棵，则桃树有x÷3棵。

　　x÷3×3＝x

奇怪，两种解法看看都有道理，一种是根据两数和的关系列方程，一种是根据倍数关系列方程，可是化简后得到的却是“180＝180”，“x＝x”，这到底是怎么回事呢？

有位同学说得好：

“这两种解法，表示未知数和列方程都用同一个条件，结果当然是自己等于自己了”。

那么怎样避免出现“自己等于自己”这样的等式呢？

很简单，只要像上面四种解法那样，两个条件各派各的用处，即一个用来表示未知数，一个用来列方程就行了。

例5.用果园里有梨树和桃树共168棵，桃树的棵数是梨树的3倍。

果园里有梨树和桃树各多少棵？

家庭作业：

1.五年级一班有学生40人，都为抗击非典捐款，其中一部分同学捐款10元，其余的同学捐7元，一共捐370元，求捐10元和捐7元的学生各多少人

2.学校买来皮球和足球共60个，皮球的个数是足球的4倍。

学校买来皮球和足球各多少个？

3.有三条水渠总共长440米，第二条是第一条的3倍，第三条是第二条的2倍，三条绳子各长多少米？

画图提示：

4.小明买1元一张和2元一张的邮票共33张，这些邮票的面值共48元，每种邮票各多少张？

5.甲、乙、丙三个数之和是2320，甲是乙的一半，乙是丙的2倍，甲、乙各是多少？

五.多个等量关系，需要巧列未知数

例1.某邮递员要在规定的时间内把一封急件送到某地，如果骑自行车每小时可行24千米，但要晚到30分钟，如开小面包车去每小时行80千米，则可以提前75分钟到达。

求规定的时间是多少？

邮递员要走的路程是多少千米？

分析与解答：

根据题意可以知道，邮递员的两种走法所走的路程是相同的，这就是这道题的等量关系。

即：

骑自行车的路程=开小面包车的路程

求路程就要用“速度×时间”，两种是已知的，时间都不知道，可以用

来表示。

这里有三个时间，骑自行车的时间，开小面包车的时间，规定时间，设哪一个时间为

呢？

比较一下，可以看出设规定时间为

比较方便。

这样我们就可以用含有

的式子表示另外两个时间。

解：

30分=0.5小时，75分=1.25小时

设规定时间为

小时，骑自行车用

小时，开小面包车用

小时

（千米）

答：

规定时间是2小时，通信员走的路程是60千米。

例2.甲粮仓存粮112吨，乙粮仓存粮80吨，每天从两个粮仓各运走6吨粮食，多少天后，甲粮仓剩下的粮食是乙粮仓的2倍？

例3.今有四个数，取其每三个而相加，则其和分别为20，22，24和27，求这四个数各是多少？

分析与解答：

这题关键是如何设未知数。

如果设其中的一个数为

，另外三个数就很难用含有

的式子表示，如果每个数都用不同的字母表示，则需要列方程解，做起来比较麻烦。

解：

设这四个数的和为

。

则四个数分别是

例4.被除数除以除数商15余数是3，被除数、除数、商和余数的和是181，除数是多少？

例5.师傅织布的米数是徒弟的6倍，如果每人再织20米布，那么师傅织布的米数是徒弟的4倍，师徒原来各织布多少米？

例6.松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连采了112个松子，平均每天采14个，在这几天中有几天是雨天？

家庭作业：

1.王老师要在规定的时间内看一本书，如果每小时看18页，可以提前1.5小时看完，如果每小时看12页，则比规定时间晚1小时完成，规定时间是几小时？

这本书共有多少页？

2.甲水池存水40吨，乙水池存水66吨，每分钟从乙水池中抽出2吨水放入甲水池，多少分钟后，两水池的存水同样多？

3.有两支香，第一支长40厘米，第二支长30厘米，把它们同时点燃，两支香都是每分钟燃2厘米，多少分钟后，第一支香剩下的长度是第二支的3倍？

4.幼儿园的小朋友分糖，如果分给每人5块则多13块，如果分给每人6块，则缺7块，求有几个小朋友？

一共有多少块糖？

5.甲、乙两车间共有88人，如果从甲车间调15人到乙车间，那么乙车间人数是甲车间的3倍，两个车间原来各有多少人？

6.一架飞机执行喷洒农药任务，原计划每分钟飞行9千米，为了争取时间现将速度提高到每分钟12千米，结果比原计划早到30分钟，机场与空投的地点相距多少千米？