第九章 波动光学.docx

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第九章波动光学

第九章波动光学

9.1在双缝干实验中，波长λ=500nm的单色光入射在缝间距d=2×10-4m的双缝上，屏到双缝的距离为2m，求：

（1）每条明纹宽度；

（2）中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；（3）若用一厚度为e=6.6×10-6m的云母片覆盖其中一缝后，零级明纹移到原来的第7级明纹处；则云母片的折射率是多少？

解：

（1）Δχ=

=

m=5×10-3m

（2）中央明纹两侧的两条第10级明纹间距为

20Δχ=0.1m

（3）由于e（n-1）=7λ,所以有

n=1+

=1.53

9.2某单色光照在缝间距为d=2.2×10-4的杨氏双缝上，屏到双缝的距离为D=1.8m，测出屏上20条明纹之间的距离为9.84×10-2m，则该单色光的波长是多少？

解：

因为

所以

9.3白光垂直照射到空气中一厚度e=380nm的肥皂膜（n=1.33）上，在可见光的范围内400～760nm），哪些波长的光在反射中增强？

解：

由于光垂直入射，光程上有半波损失，即2ne+

=kλ时，干涉加强。

所以

λ=

在可见光范围内，k=2时，λ=673.9nm

k=3时,λ=404.3nm

9.4如题图9.4所示，在双缝实验中入射光的波长为550nm，用一厚度为e=2.85×10-4cm的透明薄片盖住

缝，发现中央明纹移动3个条纹，向上移至

。

试求：

透明薄片的折射率。

解：

当用透明薄片盖住

缝，以单色光照射时，经

缝的光程，在相同的几何路程下增加了，于是原光程差的中央明纹位置从

点向上移动，其他条纹随之平动，但条纹宽度不变。

依题意，图中

为中央明纹的位置，加透明薄片后，①光路的光程为

；②光路的光程为

。

因为点是中央明条纹的位置，其光程差为零，所以有

，即

⑴

在不加透明薄片时，出现中央明条纹的条件为

⑵

由⑴式和式⑵可得

所以介质的折射率为

依题意，代入已知条件和的数值得

此介质薄片是云母片。

9.5如题图9.5所示，在杨氏双缝干涉实验中，已知入射光的波长为

，缝距为d=0.33cm，缝与屏间距为D=3m，试求：

⑴条纹间距；⑵若在缝

前盖住e=0.01mm的平行平面玻璃，试确定条纹的位移方向和计算位移的公式，又假设已知条纹位移为4.73mm，试计算玻璃的折射率。

解⑴：

根据双缝干涉条纹间距公式，可得

⑵设在

缝前盖住玻璃片前后，第k级明条纹分别出现在离屏幕中心O为x和

处，则与前后两明纹相对应的光程差分别为

因此该级明纹位移为

因n>1，故

，即该级明纹向下移动。

若

，则玻璃折射率为

讨论：

因杨氏双缝干涉条纹宽度为

，故上述条纹位移公式又可写成

，由上式可见，附加光程差（n-1）e每增加（或减少）一个波长

，条纹就向下（或向上）移动一个条纹的距离，换句话说，第k级条纹移到了原来第k-1级（或第k+1级）的位置。

就某一固定位置而言，光程差每增加一个波长，该处干涉条纹的级别就升了一级，或者说，原来第k级条纹的位置将被原来第k+1级所取代。

因此，上述结论具有普遍的意义。

9.6折射率为的两块标准平板玻璃之间形成一个劈尖（劈尖角很小）用波长为的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹。

假如在劈尖内充满的液体时，相邻明纹间距比空气劈尖时的间距缩小，试求：

劈尖角。

解：

设空气劈尖时相邻明纹间距为，液体劈尖时相邻明纹间距为。

由明纹间距公式，和分别为

则两种劈尖相邻明纹间距之差为

所以劈尖角为

9.7白光从空气垂直照射到肥皂膜上。

在可见光的处有一个干涉极大，而在处有一个干涉极小。

设肥皂膜厚度是均匀的，其折射率。

试求：

肥皂膜的最小厚度。

解：

根据薄膜干涉的条件，计算膜厚关键是确定干涉条纹级数，依题意，仅根据干涉极大极小的条件是不能确定它们的干涉级数和的，还应考虑干涉条纹级数和必须是整数这个条件。

依题意，根据干涉极大和干涉极小的条件分别有

由式和式可得

即

对上式两边同除以105可得

于是有

因为和必须是整数，可设是整数

即

当时

时

将和的可能取值代入明纹或暗纹公式，即可求出相应的厚度。

从干涉理论分析，只要与此厚度相应的光程差不大于相干长度，则可取一系列数值，其中最小值与相对应，由式可得

9.8若用波长不同的光观察牛顿环，，结果观察到用时，第个暗环与用时第个暗环重合，已知透镜的曲率半径为，试求：

用观察时，第级暗环的半径是多少如果用波长为的光做实验，发现它的第个明环与的第个明环重合，则波长是多少

解：

依题意

故有

所以

根据暗环半径公式，已知，故有

即

其中

故有

即

9.9如题9.9图所示在一块玻璃基片上交替镀上不同材料的多层介质膜，组成一个反射式滤波片，使他能对波长为的红光的反射率达以上，已知高折射率介质为，折射率为，低折射率介质为，折射率为。

试求：

每层膜的最小厚度（设光线垂直照射）。

解：

反射式滤色片是让反射光在膜的上表面干涉加强。

第一层为膜，厚度为，第二层为膜，厚度为，第三层为膜，厚度为，第四层为膜，厚度为，膜的层数愈多，总反射率愈高，但由于光的吸收，实际上层数不能过多，一般最佳值为15层或17层。

入射光在第一层膜上下表面反射形成的两束相干光，考虑到存在半波损失和垂直入射的条件，所以光程差为

根据干涉加强条件

依题意，要求镀的膜厚度最小，即

故有

所以

同理，入射光在第二层膜上下表面反射形成的两束相干光，其光程差为

所以

依此类推，各层膜的厚度，即为上面所求之值。

9.11波长为600nm平行光垂直照射到12cm长的两块玻璃上，两块玻璃片一端相互接触，

另一端加着一直径为d的金属丝,若测得这12cm内有141条明纹,则金属丝的直径为多少?

9.12一牛顿环,凸透镜曲率半径为3000mm,用波长的平行光垂直照射,求第20个暗环的半径.

9.13波长为的平单色光垂直的照射到缝宽为a=m的单缝上,屏与缝相距D=1m,求中央明纹的宽度.

9．14用波长为0.63um激光束垂直照射到单逢上,若测得两个第五级暗纹之间的距离为6.3nm,屏与缝间的距离为5m,求单缝宽.

解:

有单缝衍射公式:

9.15平行单色光照射到缝宽为a=的单缝上,缝后放有焦距为f=400mm凸透镜，其焦平面上放一屏幕，若在屏幕上测得第三级暗纹之间相距8mm,则入射光的波长为多少?

解:

由单缝衍射得方程:

9.16在夫琅单缝衍射实验中用单色光垂直照射缝面,已知入射光的波长为500nm,第一级暗纹的衍射角为30º,试求:

（1）逢宽是多少?

（2）逢面所能分成的半波带数.

解:

由单缝衍射得方程:

（2）根据题意，此时的为半个波长的2倍，所以缝面分成的半波带数为2个。

９．１７　已知单缝的宽度为0.6mm,会聚透镜的焦距等于40cm,让光线垂直射入单缝平面，在屏幕上x=1.4mm处看到明条纹极大，如题9。

17图所示。

试求：

（１）入射光的波长及衍射级数；（２）缝面所能分成的半波带数。

解：

（１）根据单缝衍射明纹公式，有　　　　　　

依题意，有题图９。

１７可得　　　　　

即　　　　　　

所以入射光线的波长为　　　　

在可见光范围内４０００nm<<7600nm,把一系列k的许可值代入上式中，求出符合题意的解。

令k=1,求得　　，为红外光，不符合题意；

令　　，求得　　　，为红外光，不符合题意；

令　　　，求得　　，符合题意；

令　　　，求得　　　，符合题意；

令　　　　，求得　　　，为紫外光，符合题意。

所以本题有两个解：

波长为　　　的第３级衍射和波长为　　　　的第４级衍射。

（２）单缝波面在波长为６００nm时，可以分割成　　　　　个半波带；在波长为　　　时，单缝波面可以分割成　　　　个半波带。

９．１８一直径为２nm的氦氖激光器的激光束投射于月球表面，已知激光波长　　　，月球和地面的距离为　　　　　。

试求：

（１）在月球上得到的光斑的直径有多大；（２）如果这激光束经扩展成直径为　和　　时，试问月球表面的光斑将各为多大。

解：

（１）激光经激光器出射孔时，将发生圆孔衍射，由于月球离地面足够远，可视为夫琅费圆孔衍射，月球上得到的光斑就是圆孔衍射的艾里斑。

由圆孔夫琅费衍射艾里斑的半角公式：

可得光斑直径d为　　　　　　

式中Ｌ为月球到地球的距离　　　　

代入数据，得　　　　　

（２）如果激光被扩成　　直径，即光束直径扩展到原来　　　的　　　倍，则光斑直径缩小到原来的　　倍，故此时的光斑直径为　　　　　

同理，当激光束直径扩成　　时　，光斑直径为　　　　　

9.19在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距。

试求：

在离车多远处的人恰能分辨这两盏灯，设夜间人的瞳孔直径，入射光波长为，车与人眼的距离为s.

解：

假设所求距离s只取决于眼睛瞳孔的衍射效应。

两灯对人眼的张角为

由于眼睛的最小分辨角为

故有

即

代入数据，得

这就是恰能分辨两盏灯时，车与人眼的距离。

9．20用一个每毫米500条缝的衍射光栅观察钠光谱线，波长为589。

0nm,试求：

（1）当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次；

（2）当光线以30度角斜入射时，能看到的光谱线的最高级次是多少。

解：

（1）依题意，光栅常数为

入射光垂直入射时，设能看到的最高级次为，根据光栅公式，有

因为，即

代入数据，得

因为应取整数，所以

9．21衍射光栅有根刻线，它们均匀排列在的宽度上，此光栅为垂直入射的钠灯中的黄光所照射，此光系由波长为与的两根靠得很近的光谱线（钠双线）组成。

试求：

（1）对于这两种波长中的第一种波长来说，其第一级极大出现在什么角位置上；

（2）这两种谱线的第一级极大之间的角距离为多大。

解：

（1）依题意，光栅常数为

根据光栅公式

依题意，，代入上式可得

（2）由于，故可用微分方法直接计算两谱线的第一级极大之间的角距离。

由光栅公式，有

两边微分，得

由于，故可用实际波长差代替，就成为题目所要求的角距离，即

代入数据，得