第九章 波动光学.docx
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第九章波动光学
第九章波动光学
9.1在双缝干实验中,波长λ=500nm的单色光入射在缝间距d=2×10-4m的双缝上,屏到双缝的距离为2m,求:
(1)每条明纹宽度;
(2)中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距;(3)若用一厚度为e=6.6×10-6m的云母片覆盖其中一缝后,零级明纹移到原来的第7级明纹处;则云母片的折射率是多少?
解:
(1)Δχ=
=
m=5×10-3m
(2)中央明纹两侧的两条第10级明纹间距为
20Δχ=0.1m
(3)由于e(n-1)=7λ,所以有
n=1+
=1.53
9.2某单色光照在缝间距为d=2.2×10-4的杨氏双缝上,屏到双缝的距离为D=1.8m,测出屏上20条明纹之间的距离为9.84×10-2m,则该单色光的波长是多少?
解:
因为
所以
9.3白光垂直照射到空气中一厚度e=380nm的肥皂膜(n=1.33)上,在可见光的范围内400~760nm),哪些波长的光在反射中增强?
解:
由于光垂直入射,光程上有半波损失,即2ne+
=kλ时,干涉加强。
所以
λ=
在可见光范围内,k=2时,λ=673.9nm
k=3时,λ=404.3nm
9.4如题图9.4所示,在双缝实验中入射光的波长为550nm,用一厚度为e=2.85×10-4cm的透明薄片盖住
缝,发现中央明纹移动3个条纹,向上移至
。
试求:
透明薄片的折射率。
解:
当用透明薄片盖住
缝,以单色光照射时,经
缝的光程,在相同的几何路程下增加了,于是原光程差的中央明纹位置从
点向上移动,其他条纹随之平动,但条纹宽度不变。
依题意,图中
为中央明纹的位置,加透明薄片后,①光路的光程为
;②光路的光程为
。
因为点是中央明条纹的位置,其光程差为零,所以有
,即
⑴
在不加透明薄片时,出现中央明条纹的条件为
⑵
由⑴式和式⑵可得
所以介质的折射率为
依题意,代入已知条件和的数值得
此介质薄片是云母片。
9.5如题图9.5所示,在杨氏双缝干涉实验中,已知入射光的波长为
,缝距为d=0.33cm,缝与屏间距为D=3m,试求:
⑴条纹间距;⑵若在缝
前盖住e=0.01mm的平行平面玻璃,试确定条纹的位移方向和计算位移的公式,又假设已知条纹位移为4.73mm,试计算玻璃的折射率。
解⑴:
根据双缝干涉条纹间距公式,可得
⑵设在
缝前盖住玻璃片前后,第k级明条纹分别出现在离屏幕中心O为x和
处,则与前后两明纹相对应的光程差分别为
因此该级明纹位移为
因n>1,故
,即该级明纹向下移动。
若
,则玻璃折射率为
讨论:
因杨氏双缝干涉条纹宽度为
,故上述条纹位移公式又可写成
,由上式可见,附加光程差(n-1)e每增加(或减少)一个波长
,条纹就向下(或向上)移动一个条纹的距离,换句话说,第k级条纹移到了原来第k-1级(或第k+1级)的位置。
就某一固定位置而言,光程差每增加一个波长,该处干涉条纹的级别就升了一级,或者说,原来第k级条纹的位置将被原来第k+1级所取代。
因此,上述结论具有普遍的意义。
9.6折射率为的两块标准平板玻璃之间形成一个劈尖(劈尖角很小)用波长为的单色光垂直入射,产生等厚干涉条纹。
假如在劈尖内充满的液体时,相邻明纹间距比空气劈尖时的间距缩小,试求:
劈尖角。
解:
设空气劈尖时相邻明纹间距为,液体劈尖时相邻明纹间距为。
由明纹间距公式,和分别为
则两种劈尖相邻明纹间距之差为
所以劈尖角为
9.7白光从空气垂直照射到肥皂膜上。
在可见光的处有一个干涉极大,而在处有一个干涉极小。
设肥皂膜厚度是均匀的,其折射率。
试求:
肥皂膜的最小厚度。
解:
根据薄膜干涉的条件,计算膜厚关键是确定干涉条纹级数,依题意,仅根据干涉极大极小的条件是不能确定它们的干涉级数和的,还应考虑干涉条纹级数和必须是整数这个条件。
依题意,根据干涉极大和干涉极小的条件分别有
由式和式可得
即
对上式两边同除以105可得
于是有
因为和必须是整数,可设是整数
即
当时
时
将和的可能取值代入明纹或暗纹公式,即可求出相应的厚度。
从干涉理论分析,只要与此厚度相应的光程差不大于相干长度,则可取一系列数值,其中最小值与相对应,由式可得
9.8若用波长不同的光观察牛顿环,,结果观察到用时,第个暗环与用时第个暗环重合,已知透镜的曲率半径为,试求:
用观察时,第级暗环的半径是多少如果用波长为的光做实验,发现它的第个明环与的第个明环重合,则波长是多少
解:
依题意
故有
所以
根据暗环半径公式,已知,故有
即
其中
故有
即
9.9如题9.9图所示在一块玻璃基片上交替镀上不同材料的多层介质膜,组成一个反射式滤波片,使他能对波长为的红光的反射率达以上,已知高折射率介质为,折射率为,低折射率介质为,折射率为。
试求:
每层膜的最小厚度(设光线垂直照射)。
解:
反射式滤色片是让反射光在膜的上表面干涉加强。
第一层为膜,厚度为,第二层为膜,厚度为,第三层为膜,厚度为,第四层为膜,厚度为,膜的层数愈多,总反射率愈高,但由于光的吸收,实际上层数不能过多,一般最佳值为15层或17层。
入射光在第一层膜上下表面反射形成的两束相干光,考虑到存在半波损失和垂直入射的条件,所以光程差为
根据干涉加强条件
依题意,要求镀的膜厚度最小,即
故有
所以
同理,入射光在第二层膜上下表面反射形成的两束相干光,其光程差为
所以
依此类推,各层膜的厚度,即为上面所求之值。
9.11波长为600nm平行光垂直照射到12cm长的两块玻璃上,两块玻璃片一端相互接触,
另一端加着一直径为d的金属丝,若测得这12cm内有141条明纹,则金属丝的直径为多少?
9.12一牛顿环,凸透镜曲率半径为3000mm,用波长的平行光垂直照射,求第20个暗环的半径.
9.13波长为的平单色光垂直的照射到缝宽为a=m的单缝上,屏与缝相距D=1m,求中央明纹的宽度.
9.14用波长为0.63um激光束垂直照射到单逢上,若测得两个第五级暗纹之间的距离为6.3nm,屏与缝间的距离为5m,求单缝宽.
解:
有单缝衍射公式:
9.15平行单色光照射到缝宽为a=的单缝上,缝后放有焦距为f=400mm凸透镜,其焦平面上放一屏幕,若在屏幕上测得第三级暗纹之间相距8mm,则入射光的波长为多少?
解:
由单缝衍射得方程:
9.16在夫琅单缝衍射实验中用单色光垂直照射缝面,已知入射光的波长为500nm,第一级暗纹的衍射角为30º,试求:
(1)逢宽是多少?
(2)逢面所能分成的半波带数.
解:
由单缝衍射得方程:
(2)根据题意,此时的为半个波长的2倍,所以缝面分成的半波带数为2个。
9.17 已知单缝的宽度为0.6mm,会聚透镜的焦距等于40cm,让光线垂直射入单缝平面,在屏幕上x=1.4mm处看到明条纹极大,如题9。
17图所示。
试求:
(1)入射光的波长及衍射级数;(2)缝面所能分成的半波带数。
解:
(1)根据单缝衍射明纹公式,有
依题意,有题图9。
17可得
即
所以入射光线的波长为
在可见光范围内4000nm<<7600nm,把一系列k的许可值代入上式中,求出符合题意的解。
令k=1,求得 ,为红外光,不符合题意;
令 ,求得 ,为红外光,不符合题意;
令 ,求得 ,符合题意;
令 ,求得 ,符合题意;
令 ,求得 ,为紫外光,符合题意。
所以本题有两个解:
波长为 的第3级衍射和波长为 的第4级衍射。
(2)单缝波面在波长为600nm时,可以分割成 个半波带;在波长为 时,单缝波面可以分割成 个半波带。
9.18一直径为2nm的氦氖激光器的激光束投射于月球表面,已知激光波长 ,月球和地面的距离为 。
试求:
(1)在月球上得到的光斑的直径有多大;(2)如果这激光束经扩展成直径为 和 时,试问月球表面的光斑将各为多大。
解:
(1)激光经激光器出射孔时,将发生圆孔衍射,由于月球离地面足够远,可视为夫琅费圆孔衍射,月球上得到的光斑就是圆孔衍射的艾里斑。
由圆孔夫琅费衍射艾里斑的半角公式:
可得光斑直径d为
式中L为月球到地球的距离
代入数据,得
(2)如果激光被扩成 直径,即光束直径扩展到原来 的 倍,则光斑直径缩小到原来的 倍,故此时的光斑直径为
同理,当激光束直径扩成 时 ,光斑直径为
9.19在迎面驶来的汽车上,两盏前灯相距。
试求:
在离车多远处的人恰能分辨这两盏灯,设夜间人的瞳孔直径,入射光波长为,车与人眼的距离为s.
解:
假设所求距离s只取决于眼睛瞳孔的衍射效应。
两灯对人眼的张角为
由于眼睛的最小分辨角为
故有
即
代入数据,得
这就是恰能分辨两盏灯时,车与人眼的距离。
9.20用一个每毫米500条缝的衍射光栅观察钠光谱线,波长为589。
0nm,试求:
(1)当光线垂直入射到光栅上时,能看到的光谱线的最高级次;
(2)当光线以30度角斜入射时,能看到的光谱线的最高级次是多少。
解:
(1)依题意,光栅常数为
入射光垂直入射时,设能看到的最高级次为,根据光栅公式,有
因为,即
代入数据,得
因为应取整数,所以
9.21衍射光栅有根刻线,它们均匀排列在的宽度上,此光栅为垂直入射的钠灯中的黄光所照射,此光系由波长为与的两根靠得很近的光谱线(钠双线)组成。
试求:
(1)对于这两种波长中的第一种波长来说,其第一级极大出现在什么角位置上;
(2)这两种谱线的第一级极大之间的角距离为多大。
解:
(1)依题意,光栅常数为
根据光栅公式
依题意,,代入上式可得
(2)由于,故可用微分方法直接计算两谱线的第一级极大之间的角距离。
由光栅公式,有
两边微分,得
由于,故可用实际波长差代替,就成为题目所要求的角距离,即
代入数据,得