每一个新变量是原有变量的，表现原有变量的综合成效，具有必然的实际含义。
这r个新变量称为“主成份”，它们能够在专门大程度上反映原先n个变量的阻碍，而且这些新变量是互不相关的，也是的。
通过，紧缩数据空间，将多元数据的特点在低里直观地表示出来。
例如，将多个、多个实验条件下的数据（N维）表示为3中的一个点，即将数据的维数从RN降到R3。
在进行基因表达数据分析时，一个重要问题是确信每一个实验数据是不是是独立的，若是每次实验数据之间不是独立的，那么会阻碍基因表达数据分析结果的准确性。
关于利用基因芯片所检测到的基因表达数据，若是用PCA方式进行分析，能够将各个基因作为变量，也能够将实验条件作为变量。
当将基因作为变量时，通过度析确信一组“要紧基因元素”，它们能够专门好地说明基因的特点，说明实验现象；当将实验条件作为变量时，通过度析确信一组“要紧实验因素”，它们能够专门好地刻画实验条件的特点，说明基因的行为。
下面着重考虑以实验条件作为变量的PCA分析方式。
假设将数据的维数从RN降到R3，具体的PCA分析步骤如下：
（1）第一步计算矩阵X的样本的S:
（2）第二步计算协方差矩阵S的本征向量e1,e2,…,eN的本征值,i=1,2,…,N。
本征值按大到小排序：
；
（3）第三步投影数据到本征矢的空间当中，这些本征矢相应的本征值为。
数据能够在中展现为云状的点集。
关于PCA，确信新变量的个数r是一个两难的问题。
咱们的目标是减小r，若是r小，那么数据的低，便于分析，同时也降低了噪声，但可能丢失一些有效的信息。
究竟如何确信r呢这需要进一步分析每一个对信息的奉献。
奉献率表示所概念的主成份在整个数据分析中承担的要紧意义占多大的比重，当取前r个主成份来代替原先全数变量时，累计奉献率的大小反映了这种取代的靠得住性，累计奉献率越大，靠得住性越大；反之，那么靠得住性越小。
一样要求累计奉献率达到70%以上。
通过PCA分析，一个多变量的复杂问题被简化为低维空间的简单问题。
能够利用这种简化方式进行作图，形象地表示和分析复杂问题。
在分析基因表达数据时，能够针对，也能够针对实验条件作图。
前者称为Q分析，后者称为R分析。
PCA在matlab中的实现举例
以下资料来自matlab的help，翻译和注解部份由笔者添加：
（重点部份添加了翻译！
）
函数名称
Principalcomponentanalysis（PCA）ondata
Syntax------函数挪用语法
[COEFF,SCORE]=princomp（X）
[COEFF,SCORE,latent]=princomp（X）
[COEFF,SCORE,latent,tsquare]=princomp（X）
[...]=princomp（X,'econ'）
函数描述
COEFF=princomp（X）performsprincipalcomponentsanalysis（PCA）onthen-by-pdatamatrixX,andreturnstheprincipalcomponentcoefficients,alsoknownasloadings.RowsofXcorrespondtoobservations,columnstovariables.COEFFisap-by-pmatrix,eachcolumncontainingcoefficientsforoneprincipalcomponent.Thecolumnsareinorderofdecreasingcomponentvariance.
在n行p列的数据集X上做主成份分析。
返回主成份系数。
X的每行表示一个样本的观测值，每一列表示特点变量。
COEFF是一个p行p列的矩阵，每一列包括一个主成份的系数，列是按主成份变量递减顺序排列。
（依照那个翻译很难明白得，其实COEFF是X矩阵所对应的阵V的所有组成的矩阵，即或称投影矩阵，COEFF每列对应一个的特点向量，列的排列顺序是按特点值的大小递减排序，后面有具体例子说明，见说明1）
princompcentersXbysubtractingoffcolumnmeans,butdoesnotrescalethecolumnsofX.Toperformprincipalcomponentsanalysiswithstandardizedvariables,thatis,basedoncorrelations,useprincomp（zscore（X））.Toperformprincipalcomponentsanalysisdirectlyonacovarianceorcorrelationmatrix,usepcacov.
计算PCA的时候，MATLAB自动对列进行了去均值的操作，可是并非对数据进行规格化，若是要规格化的话，用princomp（zscore（X））。
另外，若是直接有现成的阵，用函数pcacov来计算。
[COEFF,SCORE]=princomp（X）returnsSCORE,theprincipalcomponentscores;thatis,therepresentationofXintheprincipalcomponentspace.RowsofSCOREcorrespondtoobservations,columnstocomponents.
返回的SCORE是对主分的打分，也确实是说原X矩阵在主成份空间的表示。
SCORE每行对应样本观测值，每列对应一个主成份（变量），它的行和列的数量和X的行列数量相同。
[COEFF,SCORE,latent]=princomp（X）returnslatent,avectorcontainingtheeigenvaluesofthecovariancematrixofX.
返回的latent是一个向量，它是X所对应的协方差矩阵的特点值向量。
[COEFF,SCORE,latent,tsquare]=princomp（X）returnstsquare,whichcontainsHotelling'sT2statisticforeachdatapoint.
返回的tsquare，是表示对每一个样本点Hotelling的T方统计量（我也不很清楚是什么东东）。
Thescoresarethedataformedbytransformingtheoriginaldataintothespaceoftheprincipalcomponents.ThevaluesofthevectorlatentarethevarianceofthecolumnsofSCORE.Hotelling'sT2isameasureofthemultivariatedistanceofeachobservationfromthecenterofthedataset.
所得的分（scores）表示由原数据X转变到主成份空间所取得的数据。
latent向量的值表示SCORE矩阵每列的方差（见说明2）。
Hotelling的T方是用来衡量多变量间的距离，那个距离是指样本观测值到数据集中心的距离。
Whenn<=p,SCORE（:
n:
p）andlatent（n:
p）arenecessarilyzero,andthecolumnsofCOEFF（:
n:
p）definedirectionsthatareorthogonaltoX.
[...]=princomp（X,'econ'）returnsonlytheelementsoflatentthatarenotnecessarilyzero,andthecorrespondingcolumnsofCOEFFandSCORE,thatis,whenn<=p,onlythefirstn-1.Thiscanbesignificantlyfasterwhenpismuchlargerthann.
当维数p超过样本个数n的时候，用[...]=princomp（X,'econ'）来计算，如此会显著提高计算速度
举例
（下面样本数据集为ingredients，matlab自带）
ComputeprincipalcomponentsfortheingredientsdataintheHalddataset,andthevarianceaccountedforbyeachcomponent.
loadhald;载入matlab内部数据
[pc,score,latent,tsquare]=princomp（ingredients）;挪用pca分析函数
ingredients,score,pc,latent,tsquare显示取得的结果
ingredients=
726660
1291552
1156820
1131847
752633
1155922
371176
1312244
2541822
2147426
1402334
1166912
1068812
score=
pc=
latent=
tsquare=
验证
计算ingredients协方差矩阵：
cov_ingredients=cov（ingredients）
cov_ingredients=
下面为计算ingredients所对应的协方差矩阵（也确实是cov_ingredients矩阵）的特点值和特点向量，下面的矩阵V为特点向量，D为特点值（对照上面的latent）组成的对角线矩阵
[V,D]=eig（cov_ingredients）
V=
D=
000
000
000
000
说明1：
对照矩阵V和矩阵pc，易明白什么缘故COEFF是按列递减顺序排列的。
下面再验证说明2
diag（cov（score））
ans=
说明2：
以上结果显示latent确实表示SCORE矩阵每列的方差，表示第一列方差
下面做图表示结果：
咱们要的是由函数[pc,score,latent,tsquare]=princomp（ingredients）所产生的pc和latent。
由latent能够算出降维后的空间所能表示原空间的程度，只要那个积存的值大于95%。
Thefollowingcommandandplotshowthattwocomponentsaccountfor98%ofthevariance:
cumsum（latent）./sum（latent）
ans=
1
%由以上ans值能够看出前两个主成份就能够表示原空间的%,因此取pc中的前两列可
%做主成份变换矩阵tranMatrix=pc（:
1:
2）。
那么从原先的4降到2维空间。
对任意一个
%原空间样本,例如a=（7,26,6,60）变到低维空间的表达式为a1=a*tranMatrix。
（固然你也可
%以取pc中的前三列，由原先的4维空间变到3维空间）
biplot（pc（:
1:
2）,'Scores',score（:
1:
2）,'VarLabels',...
{'X1''X2''X3''X4'}）
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