北师版七下轴对称综合题训练讲义.docx

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北师版七下轴对称综合题训练讲义

特殊三角形（讲义）

一、知识点睛

1.等边三角形

①定义：

_________________的三角形是等边三角形．

②判定：

_________________的等腰三角形是等边三角形．

_________________的三角形是等边三角形．

③性质：

等边三角形______________、________________．

2.直角三角形

性质：

____________________________________________．

____________________________________________．

3.等腰直角三角形

①定义：

有一个角是_____的等腰三角形是等腰直角三角形．

②判定：

_______________的三角形是等腰直角三角形．

③性质：

等腰直角三角形_____________，_____________．

二、精讲精练

1.如图，以BC为边在正方形ABCD内部作等边△PBC，连接AP，DP，则∠PAD=_____________．

第1题图第2题图

2.如图，在△ABC中，D，E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数为_______________．

3.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=________．

4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若BD=2，则AD的长是（）

A．4B．6C．8D．10

5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．

求证：

AE=2CE．

6.如图，∠BAC=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE=5cm，则BC=______cm，DE=_______cm．

7.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90º，M，N分别是AC，BD的中点．

求证：

MN⊥BD．

8.如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，BN，CM为高，P为BC的中点，连接MN，MP，NP，下列结论：

①NP=MP；②当∠ABC=60°时，MN∥BC；③BN=2AN；④AN:

AB=AM:

AC．其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9.已知：

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．E，F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF．

求证：

△DEF为等腰直角三角形．

10.现有两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC按如图所示方式放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

【参考答案】

一、知识点睛

1.①三边都相等

②有一个角等于60°三个角都相等

③三边都相等三个内角都是60°

2.30°角所对的直角边是斜边的一半

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

3.①直角

②有两个角是45°

③两直角边相等，两底角都是45°

二、精讲精练

1.15°

2.120°

3.8cm

4.B

5.证明略（提示，连接BE，由DE垂直平分AB得AE=BE，转移角可得∠EBC=30°，利用直角三角形性质可得AE=2CE）

6.105

7.证明略（提示：

利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=MB，由等腰三角形三线合一可得MN⊥BD）

8.C

9.证明略（提示：

连接AD，证明△ADF≌△BDE，转移边转移角证明△DEF为等腰直角三角形）

10.△EMC为等腰直角三角形

证明略（提示：

连接AM，证明△MDE≌△MAC，转移边转移角证明△EMC为等腰直角三角形）

特殊三角形（随堂测试）

1.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为__________．

2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，点P是BD的中点，若AD=6，求CP的长．

【参考答案】

1.14

2.

解：

如图，

∵∠ACB=90°，∠ABC=60°

∴∠A=30°

∵BD平分∠ABC

∴∠1=∠2=30°

∴∠2=∠A

∴BD=AD

∵AD=6

∴BD=6

在Rt△BCD中，

∵点P是BD的中点

∴

特殊三角形（习题）

例1：

已知：

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF=60°．

求证：

△AEF是等边三角形．

【思路分析】

①读题标注：

②梳理思路：

要证△AEF是等边三角形，已知∠EAF=60°，只需证△AEF是等腰三角形即可，考虑证AE=AF，可以把这两条线段放在两个三角形中证全等．

观察图形，连接AC，可以把线段AE和AF分别放在△ABE和

△ACF中．结合题中条件∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD，可知△ABC和△ACD均为等边三角形，所以∠B=∠ACF=60°，

∠BAC=∠EAF=60°，因此∠BAE=∠CAF，进而得证△ABE≌△ACF，证明成立．

【过程书写】

证明：

如图，连接AC．

∵∠B=∠D=60°，AB=BC，AD=CD

∴△ABC和△DAC是等边三角形

∴AB=AC，∠BAC=60°，∠ACF=60°

∴∠1+∠3=60°，∠B=∠ACF

∵∠EAF=60°

∴∠2+∠3=60°

∴∠1=∠2

∴△ABE≌△ACF（ASA）

∴AE=AF

∴△AEF是等边三角形

1.如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数为________．

2.如图，在△ABC的外部，分别以AB，AC为直角边，点A为直角顶点，作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，CD与BE交于点P，则∠BPC的度数为________．

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，若DE=2，则AC的长是________．

4.如图，在△ABC中，∠C=90°，D在BC上，E为AB的中点，AD，CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE的度数为________．

5.已知：

如图，在△ABC中，∠BAC>90°，BD，CE分别为AC，AB边上的高，F为BC的中点，连接DE，DF，EF．

求证：

∠FED=∠FDE．

6.

已知：

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E为AC的中点，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．

求证：

EF=EG．

【参考答案】

1.45°

2.90°

3.6

4.60°

5.证明：

如图

∵BD，CE分别为AC，AB边上的高

∴∠BDC=∠CEB=90°

∵F是BC的中点

∴DF=

BC，EF=

BC

∴DF=EF

∴∠FED=∠FDE

6.证明：

如图，连接DE．

∵AC=BC，∠ACB=90°

∴∠A=45°

∵CD⊥AB

∴∠ADC=90°，AD=

AB

∴CD=

AB

∴AD=CD

∵E为AC中点

∴DE=

AC=AE，DE⊥AC，∠1=45°

∴∠AED=90°，∠A=∠1

∴∠2+∠DEF=90°

∵EF⊥BE

∴∠3+∠DEF=90°

∴∠2=∠3

在△AEF和△DEG中

∴△AEF≌△DEG（ASA）

∴EF=EG

等腰三角形应用（讲义）

一、知识点睛

1.垂直平分线相关定理：

①________________________________________________；

②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

已知：

如图，PA=PB．

求证：

点P在线段AB的垂直平分线上．

证明：

2.角平分线相关定理：

①________________________________________________；

②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

已知：

如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD．

求证：

点P在∠AOB的平分线上．

证明：

3.在等腰三角形中，_________________，________________，______________重合（也称“__________”），这是等腰三角形的重要性质．若在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，则尝试构造___________．

二、精讲精练

1.已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC．

求证：

直线AO垂直平分线段BC．

2.如图，已知PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA=PB．

∠MON=50°，∠OPC=30°，求∠PCA的大小．

3.已知：

如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．

求证：

AD垂直平分EF．

4.如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．

求证：

AE平分∠FAC．

5.如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于F．

求证：

EC平分∠DEF．

6.已知：

如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE交于点O．

求证：

AB=AC．

7.已知：

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于E，若CE=5cm，求BD的长．

8.如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CE平分∠ACB，交AB于E，且AE=BE．

求证：

BC=CD．

9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若要在直线BC或AC上取一点P，使△ABP是等腰三角形，符合条件的点P有________个．

10.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有________个．

【参考答案】

一、知识点睛

1.线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等

2.角平分线上的点到角的两边距离相等

3.顶角的平分线底边上的中线底边上的高三线合一

等腰三角形

二、精讲精练

1.证明略（提示：

利用等腰三角形“三线合一”）

2.55°，过程略

3.证明略（提示：

利用等腰△DEF“三线合一”，证明AD垂直平分EF）

4.证明略（提示：

过点E作EM⊥BF于M，EN⊥BD于N，EP⊥AC于P，证EP=EM）

5.证明略

6.证明略（提示：

连接BC，证△ABC是等边三角形）

7.BD=10cm（提示：

延长BA交CE的延长线于F，先证△BCF等腰，再证△ADB≌△AFC）

8.证明略（提示：

过点E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，证明

△ABC是等腰三角形）

9.6个，作图略（两圆一线）

10.8个，作图略（两圆一线）

等腰三角形应用（随堂测试）

11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，

，DE=3，AB=6，则AC=__________．

2.如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AF=FC，连接AD，DE平分∠ADB．

求证：

BD=CD．

【参考答案】

1.4

2.证明略（提示：

利用DF垂直平分AC，证明AD=CD；利用DE⊥AB，DE平分∠ADB，转移角证明△ABD等腰）

等腰三角形应用（习题）

例1：

已知：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD，E，F分别为AB，AC边上的点，BE=CF．

求证：

DE=DF．

【思路分析】

①读题标注：

②梳理思路：

要证DE=DF，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等．

观察图形，可以放在△BDE和△CDF中，发现有两边对应相等，考虑找夹角．

结合题中条件，AD既是角平分线又是中线，三线中有两线重合，考虑证明△ABC是等腰三角形，需利用倍长中线进行证明（见中线，要倍长），进而得到∠B=∠C，再证明△BDE≌△CDF即可．

【过程书写】

证明：

如图，延长AD到点G，使DG=AD，连接CG．

∵BD=CD，∠ADB=∠GDC

∴△ADB≌△GDC（SAS）

∴AB=GC，∠1=∠G

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

∴∠2=∠G

∴AC=GC

∴AB=AC

∴∠B=∠ACD

∵BE=CF

∴△BDE≌△CDF（SAS）

∴DE=DF

1.已知：

如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．

求证：

OP是CD的垂直平分线．

2.已知：

如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．

求证：

点F在∠DAE的平分线上．

3.已知：

如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．

求证：

BM=EM．

4.已知：

如图，在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，E是BC上一点，连接AD，AE，DE．

求证：

∠EAD=∠EDA．

5.在已知直线l上找一点C，和直线外的A，B两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？

请你在直线l上找出所有符合条件的点C．

【参考答案】

1.证明略（提示：

利用等腰△CDP三线合一）

2.证明略（提示：

作射线AF，过F作FH⊥AD于H，作FM⊥BC于M，作FG⊥AE于G，利用角平分线定理②证明AF平分∠DAE）

3.证明略（提示：

连接BD，证明△BDE是等腰三角形）

4.证明略（提示：

证明△ABC≌△DBC，说明直线BC是线段AD的垂直平分线，进而得到EA=ED，∠EAD=∠EDA）

5.5个，作图略（两圆一线）

轴对称作图及实际应用（讲义）

一、知识点睛

1.五种基本作图：

①作一条线段等于已知线段；

②作一个角等于已知角；

③作已知角的角平分线；

④作已知线段的垂直平分线；

⑤过平面内一点，作已知直线的垂线．

2.轴对称最值问题：

（1）特征：

有定点，有动点，动点在____________上运动，

求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小．

（2）解决方法：

以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称

点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．

例题：

在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点

P的距离之和AP+BP最小．

二、精讲精练

1.作已知线段的垂直平分线．

已知：

线段MN．

求作：

直线AB，使AB垂直平分MN．

作法：

（1）分别以_______，______为圆心，___________为半径作

弧，两弧相交于点A和点B；

（2）_______________________________________．

_______________________________________．

2.

（1）过直线上一点，作已知直线的垂线．

已知：

A为直线MN上一点．

求作：

直线AB，使AB⊥MN．

作法：

1________________________________________________

________________________________________________；

2________________________________________________

________________________________________________；

3________________________________________________．

_________________________________________________．

（2）过直线外一点，作已知直线的垂线．

已知：

A为直线MN外一点．

求作：

直线AB，使AB⊥MN．

作法：

1________________________________________________；

2________________________________________________

________________________________________________；

3________________________________________________

________________________________________________；

4________________________________________________．

_________________________________________________．

3.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？

4.为打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A，B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示．请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．

5.已知：

如图，点P，Q分别是△ABC的边AB，AC上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．

6.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE=2，当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为____________．

7.如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的最小周长为_________．

8.已知：

如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．

9.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为_________．

10.已知：

如图，点P，Q为∠AOB内部两点，点M，N分别为OA，OB上的两个动点，作四边形PMNQ，请作图说明当点M，N在何处时，四边形PMNQ的周长最小．

【参考答案】

一、知识点睛

2.定直线，

（2）将折线转直图略

二、精讲精练

1.图略

（1）点M，点N，大于

长

（2）作直线AB

直线AB即为所求

2.

（1）图略

①以点A为圆心，任意长为半径作弧，交MN于C，D两点；

②分别以点C、点D为圆心，以大于

长为半径作弧，两弧交MN上方于一点B；

③作直线AB．

直线AB即为所求．

（2）图略

①在MN下方任取一点P；

②以点A为圆心，AP长为半径作弧，交MN于C，D两点；③分别以点C、点D为圆心，以大于

长为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；

④作直线AB．

直线AB即为所求．

3.略（提示：

AB的垂直平分线和m，n所成角的平分线的交点即为所求，共2个）

4.略（提示：

先作出AB的垂直平分线，再以点C为圆心，以

长为半径作弧，交AB的垂直平分线于点M，共2个）

5.

略（作点P关于BC的对称点

，连接

交BC于点R）

6.30°

7.8cm

8.作图略（分别作点P关于AB，BC的对称点

，

，连接

，分别交AB，BC于点M，N），△PMN周长的最小值为4．

9.120°

10.如图所示：

点M，N即为所求．

轴对称作图及实际应用（随堂测试）

1.近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村座落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：

①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定P点的位置（不写作法，保留作图痕迹）．

2.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为_________．

【参考答案】

1.图略，提示：

作两公路夹角的平分线，以及李张所连线段的垂直平分线，两者交点即为所求点P．

2.100°

轴对称作图及实际应用（习题）

例1：

如图，∠AOB=60°，点P在∠AOB的平分线上，OP=10cm，点E，F分别是∠AOB两边OA，OB上的动点，当△PEF的周长最小时，点P到EF的距离是________．

【思路分析】

此题求解应分为两步：

1找出△PEF的周长最小时E，F的位置；

2求出点P到EF的距离．

结合题目条件：

特征：

有定点（点P），有动点（点E，F），动点在定直线OA，OB上运动，满足△PEF的周长最小，判断这是轴对称最值问题．

操作方法：

作定点关于定直线的对称点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P′和P′′，折转直，利用两点之间，线段最短，找到当△PEF的周长最小时E，F的位置，进而求解．

如图1：

图1图2

如图2，连接OP′，OP′′，

∵∠AOB=60°，OP平分∠AOB，

∴∠AOP=∠BOP=30°，

由轴对称性质可知OP=OP′，OP=OP′′，∠AOP′=∠AOP=30°，

∠BOP′′=∠BOP=30°，

∴OP′=OP′′，∠POP′=∠POP′′=60°，

∴OP平分∠P′OP′′，

∴OP⊥P′P′′

∴点P到EF的距离为线段PC的长．

在△POP′中，∠POP′=60°，OP=OP′

∴△POP′是等边三角形

又∵OP⊥P′P′′，OP=10

∴

1.作已知线段的中点．

已知：

线段MN．

求作：

MN上一点O，使OM=ON．

作法：

（1）分别以_______，_______为圆心，__________为

半径作弧，两弧相交于_______和________；

（2）___________________________________．

___________________________．

2.已知△ABC，利用直