全等三角形几种常见辅助线精典题型.docx
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全等三角形几种常见辅助线精典题型
全等三角形几种常见辅助线精典题型
一、截长补短
1、已知A4BC中zZA=60,BD、CE分别平分ZABC和・ZACB,BD、CE交于点O,试判断处、CD、BC的数量关系，并加以证明.
2、如图，点M为正三角形血的边加所在直线上的任意一点（点〃除外），作ZDM/V=60°射线MN与ZD3A外角的平分线交于点NrDM
与M/V有怎样的数量关系?
3、如图，/4Q丄ABtCBtAB,DM=CM=afAD二htCB=k,aAMD=75°,
zBMC=45°,求力3的长。
4、已知：
如图，力38是正方形，aFAD^aFAE.求证：
BE七DF二AE.
5、以AABC的加.AC为边向三角形外作等边W/AMCEr
连结CDsBE相交于点。
・求证:
04平分ZDOE.
6、如图所示，WC是边长为I的正三角形’遊是顶角为120。
的等腰三角形,
以D为顶点作一个60。
的,点M、N分别在加、求A4MN的周长•
I）
7.如图所示r在AABC中rAB=ACtD是底边BC上的一点r£是线段AD上的一点r且ZBED=2ZCED=ABACr求证加=2CD・
8、五边形ABCDE中,AB^AEtBC+DE二CD,zABC+^AED=180°,求证：
AD平分乙CDE
二、全等与角度
1.如图r在A43C中rZA4C=60°fAP是ZBAC的平分线r且AC=AB+BDr求ZABC的度数.
2、如图所示r在A4BC中fAC=BCfZC=20°r又M在AC上rN在3C上r且满足ZE42V=5O°fZABM=60°f求ZMWS.
3.在正A4BC内取一点D,使DA=DBt在A4BC外取一点E,使ZDBE=ZDBC,且
BE=BA,求ABED.
4.如图所示‘在中fZBAC=ZBCA=^c/为wc内一点，使得AMCA=3（f9ZM4C=16°r求MMC的度数•
5.如图：
在AABC内取一点M，使得ZM朋=30zZM4B=10•设ZACB=80,AC=BC,求ZAA/C.
6、如图，点M为正方形ABCD的边加上任意一点，MN丄DM且与ZABC外角的平分线交于点2,MD与MN有怎样的数量关系？
如是正五边形，正六边形呢？
参考答案：
一、截长补短
1.BE+CD=BC,
理由是：
在BC上截取=,连结OF,
利用SAS证得SBEO^^BFOt/.Z1=Z2,
VZA=60°r••・ZBOC=90+lzA=120,：
.ZDOE=\20r
2
・・・ZA+ZDOE=180,.\ZAEO+ZADO=180,/.Zl+Z3=180,•?
Z2+Z4=180,/.Z1=Z2…・・Z3=Z4,
禾IJ用A4S证彳寻△«%>更ACFO,:
.CD=CFt：
.BC=BF+CF=BE+CD・
2、DM=MN・
过点M作MG〃加交A£>于点GrAG=AM：
GD=MB又:
ZADM+ADMA=\2G,ZDMA+ZNMB=\20:
.ZADM=ZNMB，而ZDGM=ZMBN=\20,
・•・bDGMm^MBNt:
.DM=MN■
3、过点Q作必的垂线，垂足为E
-：
aAMD=7S°,zB/KM5°.*.zP/V7C=60o
•.DM二CM:
.CD=DM
\ADrAB,DE丄BC,CB丄AB,aAMD=1S°
:
•乙ADM二乙EDC
SDIV^CDE
：
・AD二DE
故ABED为正方形，AB=AD=h,迭D.
4、延长彷至M,4吏得BM=DF，连接MM
■:
AB=AD,AD^CD,AB±BM,BM=DF
:
aABM^ADF
:
.aAFD^aAMB,乙DAiBAM
\AB\\CD
:
上AFD二乙BAF二乙EAF七乙BAE二乙BAE七乙BAM二乙
EAM
「.乙AMB=zEAM:
.AE=EM=BE+BM二BE+DF.
5、因为A4BD、AACE是等边三角形,所以AB=ADfAE=ACtZC4E=ZB/W=60,贝UzBA£=ZmC,所以,
贝ZABE=ZADC,ZAEB=ZACDtBE=DC•
在PC上截取=,连结AF#容易证得A4DF9AABO,MCF^MEO•
进而由AF=AO.得ZAFO=Z4OF；
由ZAOE=ZAFO可得ZAOF=ZAOEz即Q4平分ZDOE.
6、如图所示，延长恋到£使
CE=BM•
7、如图所示，作创厂的平分线交3C于F,又过A作M〃必交处于G,交BC于Ht则知
ZEAG=ZDEF=ZBEF=ZAGE=LZBAC，从而GE=AE・2
又ZAGE=1ZBED=ZCED■贝（JZAGB=ZCEA.
2
由ZABE+ZBAE=ABED=ZBAC=ZCAE+ZBAE可得ZABG=ZC4E・
注意到AB=C4r故有A4BG今ACAE，从而BG=AE,AG=CE，
于是BG=GE・
1ajifjr\又由A//〃EF,有BH=HFrGH=-EFr且一=——・
2EFFD
EF2FD2
而ZCEDSED,从而竺二竺二竺=化少AH'HD1FDEFEFEF
即CD=HD-LfD=HF+1fD=LbF+、FD=1bDr故ED=2CD・
22222
8、延长QF至匚使得EF=BC,连接MU
•:
aABC+aAED=180q,aAEF+aAED=180q
\-AB=AErBC=EF・・QABdAEF
:
.EF^BC,AC^AF
•BC+DE二CD:
.CD=DE七EF=DF
.•.'ADaADF:
.aADC-aADF
即AD平分厶CDE.
:
•乙ABC二乙AEF
二、全等与角度
1、如图所示z延长加至E使3E=3D,连接£0、EC.
由AC=AB+BD^]AE=ACf
而ZBAC=60,则AAEC为等边三角形.
注意至UZE4D=ZC4£）zAD=ADtAE=ACf故AAED今AACD.
从而有DE=DC,ZDEC=ZDCE,
故ABED=ZBDE=ZDCE+ZDEC=2ZDEC•
所以ZDEC=ZDCE=20zZABC=ZBEC+ZBCE=60+20=80
【另解】在AC上取点E,使得A£=A3f则由题意可知CE=BD.
在和中,AB=AEtZBAD=ZEADrAD=AD,
贝!
JMBD^A4£Dz从而BD=DEz
进而有DE=CE,ZECD=Z£DCf
ZAED=ZECD+ZEDC=2AECD.
注意到ZABD=Z4£D,则：
13
ZABC+ZACB=ZABC+-ZABC*ZABC=180-ZBAC=120；
22
故ZABC=80。
.
【点评】由已知条件可以想到将折线血"拉直"成胚,利用角平分线血可以构造全等三角形•同样地,将AC拆分成两段,之后再利用三角形全等亦可,此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线"对称"的思想.
上述方法我们分别称之为"补短法"和"截长法",它们是证明等量关系时优先考虑的方法.
2、过M作M的平行线交BC于K,连接M交M3于P・连接PN,易知A4PB、A/WKP均为正三角形.
因为ZEAA^SO0,AC=BCfZC=20°#
所以ZANB=50°fBN=AB=BPtZBPN=ZBNP=S0°r贝OZP^V=40°zZA：
P^=180o-60o-80o=40oz古攵PN=&V■从而WPN竺^MKN.
进而有=zZNMB=1ZKMP=30°
3、如图所示,连接DC•因为AD=BDfAC=BC,CD=CD,
贝^SADC^ABDCz
古攵ZBCD=30•
而ZDBE=ZDBCzBE=AB=BCrBD=BDz因此ABDE今AfiDC,
故ZBED=ZBCD=30•
4、在AABC中r由ABAC=ZBC4=44°可得AB=ACfZABC=92°.
如图所示作BD丄AC于D点涎长CM交加于O点，连接Q4,
D
则有ZOAC=ZMC4=30°,
ZBAO=ABAC-ZOAC=44°-30°=14°f
AOAM=ZOAC-ZMAC=30°-16°=14°r
所以厶AO=ZM4O・
又因为ZAOD=90°-ZOAD=90°-30&=60^=ZCOD,所以XAOM=12（尸=XAOB・ZBOM=120°
而AO=AOt因此MBOMMOt
故OB=OM・
由于ZBOM=120°r
贝UZOMB=ZOBM=1"尸一‘从力"=30°,
2
故/BMC=180°一乙OMB=150°
5、如图所示zA4BC的高CH与直线BM交于点E,则=ffOZE4M=ZE4B-=30-10=20#
ZACE=-ZACB=40,
2
ZE4C=ZCAH-ZEAB=（90一40）—30=20,
ZAjVfE=ZMAB+ZMBA=10+30=40z由两角夹一边法则可知AAME竺AACE,因止匕AM=AC,
ZAMC=ZACM=丄（180-ZCAM）=70
2
6、•在A£>上截取AG=Mz
・・・DG=MB#・\ZAGM=45
/.ZDGM=ZMBN=135°,・*・ZADM=ZNMBt「・、DGM竺WBN，:
・DM=MN.
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