(2)根据题意,函数f(x)的图象关于直线x=3对称,则有f(x)=f(6-x),
又由函数为奇函数,则f(-x)=-f(x),
则有f(x)=-f(6-x)=f(x-12),
则f(x)的最小正周期是12,
故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f
(2)=-(-2)=2.
答案
(1)D
(2)2
赢得高分 高考中函数性质“瓶颈题”突破
函数的单调性、奇偶性、周期性在高考中占有重要地位,不仅单独考查,且常融合渗透于一体,考查性质的综合应用,如2019·全国Ⅰ卷·T11,2019·全国Ⅲ卷·T11,2018·全国Ⅱ卷·T11,2017·全国Ⅲ卷·T15等,着重考查利用函数性质求值、比较大小、求解参数或解不等式.
【典例】(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f
(1)=2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50B.0C.2D.50
解析 法一 ∵f(x)在R上是奇函数,且f(1-x)=f(1+x).
∴f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x).
因此f(x+4)=f(x),则函数f(x)是周期为4的函数,
由于f(1-x)=f(1+x),f
(1)=2,
故令x=1,得f(0)=f
(2)=0,
令x=2,得f(3)=f(-1)=-f
(1)=-2,
令x=3,得f(4)=f(-2)=-f
(2)=0,
故f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,
所以f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f
(1)+f
(2)=2.
法二 取一个符合题意的函数f(x)=2sin
则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.
故f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)]+f
(1)+f
(2)=12×[2+0+(-2)+0]+2+0=2.
答案 C
思维升华 1.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
2.对于选择题、填空题,还常借助特殊性(如法二),或函数图象的几何直观进行优化求解.
【训练】(2020·沈阳模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时,f(x)=log2(x+2)+x+b,则|f(x)|>3的解集为( )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.(-2,2)D.(-4,4)
解析 由题意,f(0)=log22+b=0,解得b=-1.
所以f(x)=log2(x+2)+x-1,f
(2)=3,且在R上单调递增,又|f(x)|>3,所以|f(x)|>f
(2),即f(x)>f
(2)或f(x)2或x<-2.
答案 A
数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论
数学运算是解决数学问题的基本手段,通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二级结论”解决数学问题,可优化数学运算的过程,使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
类型1 奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.
【例1】设函数f(x)=
的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.
解析 显然函数f(x)的定义域为R,
且f(x)=
=1+
设g(x)=
则g(-x)=-g(x),
∴g(x)为奇函数,
由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,
∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.
答案 2
类型2 抽象函数的周期性
(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T=2a.
(2)如果f(x+a)=
(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(3)如果f(x+a)=-
(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
(4)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.
【例2】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,有f(x+3)=-f(x),且当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,则f(-2023)+f(2024)=( )
A.3B.2C.1D.0
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(-2023)=-f(2023),
因为当x≥0时,有f(x+3)=-f(x),
所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即当x≥0时,自变量的值每增加6,对应函数值重复出现一次.
又当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,
∴f(2023)=f(337×6+1)=f
(1)=2,
f(2024)=f(337×6+2)=f
(2)=3.
故f(-2023)+f(2024)=-f(2023)+3=1.
答案 C
类型3 抽象函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=
对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.
【例3】已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.[-3,1]B.(-∞,-3)∪[1,+∞)
C.[-4,2]D.(-∞,-4]∪[2,+∞)
解析 由于f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),
因此函数y=f(x)的图象关于x=1对称.
由f(x)在[1,+∞)上递减,知f(x)在(-∞,1]上递增.
又x∈[-1,0],知x-1∈[-2,-1],
①当m+2≤1,即m≤-1时,f(m+2)≥f(x-1)对x∈[-1,0]恒成立,
则有m+2≥x-1对x∈[-1,0]恒成立,∴-3≤m≤-1,
②当m+2>1,即m>-1时,f(m+2)≥f(x-1)=f(3-x),
则有m+2≤3-x对x∈[-1,0]恒成立,则-1由以上知,实数m的取值范围是[-3,1].
答案 A
【例4】函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f
(1)=4,则f(2020)+f(2021)+f(2022)的值为________.
解析 因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,
所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,即函数f(x)是R上的奇函数,
所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.
所以f(2021)=f(505×4+1)=f
(1)=4,
所以f(2020)+f(2022)=f(2020)+f(2020+2)
=f(2020)+f(-2020)=f(2020)-f(2020)=0,
所以f(2020)+f(2021)+f(2022)=4.
答案 4
A级 基础巩固
一、选择题
1.下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( )
A.y=|log3x