菱形证明专题训练.docx
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菱形证明专题训练
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乐学教育菱形证明专题训练
1.已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求证:
四边形ABCD为菱形.
【答案】∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF.
∵DF∥BE,
∴∠BEF=∠DFE,
∴∠AEB=∠CFD.
又∵AE=CF,
∴△AEB≌∠CFD,
∴AB=CD.
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAF.
又∠BAE=∠DCF,
∴∠DAF=∠DCF,
∴AD=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
2.如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB=60°，FO=FC.
求证:
（1）四边形EBFD是菱形;
【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴B,D, O三点共线且BD=DO=CO=AO.
在矩形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，∴∠FCO=∠EAO.
在△CFO和△AEO中，
∴△CFO≌△AEO，∴FO=EO.
又∵BO=DO，∴四边形BEFD是平行四边形.
∵BO=CO，∠COB=60°，
∴△COB是等边三角形.∴∠OCB=60°.
∴∠FCO=∠DCB-∠OCB=30°.
∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°.
∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°.
∴EF⊥BD.∴平行四边形EBFD是菱形.
（2）MB∶OE=3∶2.
【答案】∵BO=BC，∴点B在线段OC的垂直平分线上.
∵FO=FC，∴点F在线段OC的垂直平分线上.
∴BF是线段OC的垂直平分线.
∴∠FMO=∠OMB=90°.
∴∠OBM=30°.∴OF=BF.
∵∠FOC=30°，∴FM=OF.
∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF.
即FO=EO，∴BM∶OE=3∶2.
3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:
四边形BGFD是菱形.
【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形.
∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°,点D是AC的中点,∴BD=DF=AC,
∴平行四边形BGFD是菱形.
4.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.
求证:
OE=BC.
【答案】∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OB=OD,
∴∠BOC=∠COD=90°,
∴四边形OCED是矩形,
∴∠ODE=90°,∵OB=OD,∠BOC=∠ODE=90°,
∴BC=,OE=,
∵DE=OC.
∴OE=BC.
5.[2015·兰州中考,25] （9分）如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.
（1）求证:
AD=BC;
【答案】作BM∥AC,BM交DC的延长线于点M,则∠ACD=∠BMD. 1分
∵AB∥CD,BM∥AC,
∴四边形ABMC为平行四边形. 2分
∴AC=BM.
∵BD=AC,∴BM=BD.
∴∠BDM=∠BMD.
∴∠BDC=∠ACD.
在△BDC和△ACD中,
∴△BDC≌△ACD. 4分
∴BC=AD. 5分
（2）若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:
线段EF与线段GH互相垂直平分.
【答案】连接EG,GF,FH,HE. 6分
∵E,H为AB,BD的中点,∴EH=AD.
同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.
∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH. 8分
∴四边形EGFH为菱形,
∴EF与GH互相垂直平分. 9分
6.[2015·长春中考,18] （7分）如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G,求证:
四边形ACGF是菱形.
【答案】因为AF∥CD,FG∥AC,
所以四边形ACGF是平行四边形①,
又因为∠ACE=∠ECG,∠ECG=∠AFC,
所以∠ACE=∠AFC,所以AC=AF②,
由①②得四边形ACGF是菱形.
7.[2010·上海中考，23]已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连结DE.
（1）在图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形ABED是菱形；
【答案】
∵∠BAE＝∠DAE，
∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，AB＝BE＝AD，
AD∥BE，∴四边形ABED的平行四边形，又AB＝AD，
∴四边形ABED为菱形
（2）∠ABC＝60°，EC＝2BE，求证：
ED⊥DC.
【答案】过D作DF∥AE，则DF＝CF＝1，
∴∠C＝30°，而∠DEC＝60°，
∴∠EDC＝90°，∴ED⊥DC.
8.[2010·沈阳中考，19]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：
四边形AEOF是菱形.
【答案】∵点E，F分别为AB，AD的中点
∴AE＝AB，AF＝AD（2分）
又∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝AD
∴AE＝AF（4分）
又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O
∴O为BD的中点
∴OE，OF是△ABD的中位线（6分）
∴OE∥AD，OF∥AB
∴四边形AEOF是平行四边形（8分）
∵AE＝AF
∴四边形AEOF是菱形（10分）
9. [2010·安徽中考，20]如图，AD∥FE，点B,C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.
（1）求证：
四边形BCEF是菱形；
【答案】∵AD∥FE，∴∠FEB＝∠2.
∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1.
∴BF＝EF
∵BF＝BC，∴BC＝EF.
∴四边形BCEF是平行四边形
∵BF＝BC，
∴四边形BCEF是菱形（5分）
（2）若AB＝BC＝CD，求证：
△ACF≌△BDE.
【答案】∵EF＝BC，AB＝BC＝CD，AD∥FE，
∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形，∴AF＝BE，FC＝ED.（8分）
又∵AC＝2BC＝BD，（9分）
∴△ACF≌△BDE.（10分）
10.[2013·长沙中考，24]如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O.
（1）求证：
△ABN≌△CDM；
【答案】∵∠ABN＝∠CDM，AB＝CD，
BN＝BC＝AD＝DM，
∴△ABN≌△CDM（SAS）.
（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长.
【答案】∵M，O分别为AD，ND的中点，
∴AN∥MO且AN＝2MO，
∴∠MOD＝∠AND＝90°，即平行四边形CDMN是菱形，
在Rt△MOD与Rt△NEC中，
∵∠1＝∠2，MD＝NC，∴Rt△MOD≌Rt△NEC，
∴MO＝NE.
根据菱形的性质可知，∠MND＝∠CND，∠1＝∠CND，所以∠MND＝∠CND＝∠2＝30°，所以在Rt△ENP中NE＝PE÷tan30°＝，
即AN＝2.
11.如图,在△ABC中,∠A=90°,AH⊥BC于点H,∠B的平分线交AC于点D,交AH于点E,DF⊥BC于点F,求证:
四边形AEFD是菱形.
【答案】∵∠ABD=∠FBD,BD=BD,∠BAD=∠DFB=90°,
∴△ABD≌△FBD,∴AD=DF,AB=FB.
又∠ABE=∠FBE,BE=BE,
∴△ABE≌△FBE.
∴∠BAE=∠BFE.
又∠BAE=90°-∠ABC=∠C,
∴∠BFE=∠C,∴EF∥AD.
∵DF⊥BC,AH⊥BC,∴AE∥DF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
又AD=DF,∴四边形AEFD是菱形.
12.[2012·南宁中考,25]如图,已知矩形纸片ABCD,AD＝2,AB＝4,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.
图1图2
（1）如图1,求证：
A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；
【答案】证法一：
证明：
在矩形ABCD中,CD∥AB
∴∠1＝∠3（1分）
由折叠可知：
AG＝EG,∠1＝∠2
∴∠2＝∠3
∴EF＝EG（2分）
∴EF＝AG
∴四边形AGEF是菱形（3分）
证法二：
证明：
连接AF,由折叠可知
OA＝OE,AG＝EG（1分）
在矩形ABCD中,AB∥CD
∴∠AEF＝∠EAG
∵∠AOG＝∠EOF
∴△AOG≌△EOF（ASA）（2分）
∴AG＝EF
∴四边形AGEF是菱形（3分）
（2）如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证,点N是线段BC的中点；
【答案】证明：
连接ON,O是Rt△ADE外接圆圆心.
∵⊙O与BC相切于点N
∴ON⊥BC（4分）
在矩形ABCD中,DC⊥BC,AB⊥BC
∴CD∥ON∥AB
∴＝（5分）
∵OA＝OE ∴CN＝NB
即N为BC的中点（6分）
（3）如图2,在第2问的条件下,求折痕FG的长.
【答案】解法一：
过点O作OM⊥AB于点M,则四边形OMBN是矩形
设⊙O半径为x,则OA＝OE＝ON＝x（7分）
∵AB＝4,AD＝2 ∴AM＝4－x
由第2问得,NB＝OM＝1
在Rt△AOM中,OA2＝AM2＋OM2
∴x2＝（4－x）2＋12 ∴x＝（8分）
AM＝4－＝
∵∠FEO＝∠OAM
又∵∠FOE＝∠OMA＝90°
∴Rt△EFO∽Rt△AOM
∴＝ ∴＝（9分）
∴OF＝ ∴FG＝2OF＝（10分）
解法二：
延长NO交AD于点M
∴四边形ABNM是矩形
∴AM＝BN＝AD＝1
∵O为Rt△ADE外接圆圆心
∴OA＝OE＝ON
设ON为x,则OM＝4－x（7分）
在Rt△AMO中,AM2＋OM2＝OA2
即12＋（4－x）2＝x2
x＝（8分）
∴OM＝4－＝
∵FG⊥AE,MN∥DC ∴∠FEO＝∠MOA ∠AMO＝∠EOF＝90°
∴△EOF∽△OMA
∴＝ ∴＝（9分）
∴OF＝ FG＝2OF＝（10分）
13.[2013·葫芦岛中考,20] （本小题满分8分）
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于点E.
（1）求证:
△ABD≌△EBD;
【答案】如图,
∵AD∥BC,
∴∠1=∠DBC.
∵BC=DC,∠2=∠DBC.
∴∠1=∠2. 2分
又∵∠BAD=∠BED=90°,
BD=BD,∴△ABD≌△EBD. 4分
（2）过点E作EF∥DA,交BD于点F,连
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