新高考论坛新课标数学理一轮教师备课练习87抛物线.docx

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新高考论坛新课标数学理一轮教师备课练习87抛物线

第七节　抛物线

[考情展望]　1.考查与抛物线定义有关的最值、距离、轨迹问题.2.考查抛物线的标准方程及几何性质.3.考查直线与抛物线的位置关系、突出考查函数思想、数形结合思想．

一、抛物线的定义

　平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线．

二、抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y2＝2px（p>0）

y2＝－2px（p>0）

x2＝2py（p>0）

x2＝－2py（p>0）

图形

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

焦点坐标

准线方程

x＝－

x＝

y＝－

y＝

离心率

e＝1

焦半径

|PF|＝x0＋

|PF|＝－x0＋

|PF|＝y0＋

|PF|＝－y0＋

抛物线的焦半径

抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（x0，y0）到焦点F的距离|PF|＝x0＋.

1．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（　　）

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．0

【解析】　M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M（x，y），则y＋＝1，∴y＝.

【答案】　B

2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是（　　）

A．y2＝－8xB．y2＝8x

C．y2＝－4xD．y2＝4x

【解析】　因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以＝2，

所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.

所以选B.

【答案】　B

3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P（m，－2）到焦点的距离为4，则m的值为（　　）

A．4B．－2

C．4或－4D．12或－2

【解析】　设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），

由题意知＋2＝4，

∴p＝4，

∴抛物线方程为x2＝－8y，

∴m2＝16，∴m＝±4.

【答案】　C

4．双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．

【解析】　双曲线的左焦点坐标为，抛物线的准线方程为x＝－，

∴－＝－，∴p2＝16，

又p＞0，则p＝4.

【答案】　4

5．（2013·四川高考）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是（　　）

A.B.C．1D.

【解析】　由题意可得抛物线的焦点坐标为（1,0），

双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，

则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.

【答案】　B

6．（2013·北京高考）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为（1,0），则p＝________；准线方程为________．

【解析】　∵抛物线y2＝2px的焦点坐标为，∴准线方程为x＝－.又抛物线焦点坐标为（1,0），故p＝2，准线方程为x＝－1.

【答案】　2　x＝－1

考向一[154]　抛物线的定义及应用

（1）设圆C与圆C′：

x2＋（y－3）2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为（　　）

A．抛物线　　　　　　　B．双曲线

C．椭圆D．圆

（2）（2012·重庆高考）过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.

【思路点拨】　

（1）根据圆C与圆外切、和直线相切，得到点C到圆心的距离，到直线的距离，再根据抛物线的定义可求得结论．

（2）由抛物线定义，将|AB|、|AF|转化为到焦点的距离，数形结合求解．

【尝试解答】　

（1）设圆C的半径为r，又圆x2＋（y－3）2＝1的圆心C′（0,3），半径为1.

依题意|CC′|＝r＋1，圆心C到直线y＝0的距离为r，

∴|CC′|等于圆心C到直线y＝－1的距离（r＋1）．

故圆C的圆心轨迹是抛物线．

（2）由y2＝2x，得p＝1，焦点F.

又|AB|＝，知AB的斜率存在（否则|AB|＝2）．

设直线AB的方程为y＝k（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．

将y＝k代入y2＝2x，得

k2x2－（k2＋2）x＋＝0.（*）

∴x1＋x2＝1＋，

又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝，

因此x1＋x2＝1＋＝，k2＝24.

则方程（*）为12x2－13x＋3＝0，

又|AF|＜|BF|，∴x1＝，x2＝.

∴|AF|＝x1＋＝＋＝.

【答案】　

（1）A　

（2）

规律方法1　1.

（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.

（2）第

（2）题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点A的坐标.

2.若P（x0，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.

对点训练　已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A，求|PA|＋|PM|的最小值．

【解】　设抛物线的焦点为F，

则|PF|＝|PM|＋，

∴|PM|＝|PF|－，

∴|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－，

将x＝代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±，

∵＜4，∴点A在抛物线的外部，

∴当P、A、F三点共线时，|PA|＋|PF|有最小值，

∵F，

∴|AF|＝＝5，

∴|PA|＋|PM|有最小值5－＝.

考向二[155]　抛物线的标准方程与几何性质

（1）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（　　）

A．18　　　　B．24　　　　C．36　　　　D．48

（2）（2012·山东高考）已知双曲线C1：

－＝1（a>0，b>0）的离心率为2.若抛物线C2：

x2＝2py（p>0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（　　）

A．x2＝yB．x2＝y

C．x2＝8yD．x2＝16y

【思路点拨】　

（1）由于准线与AB平行，将点P到直线AB的距离转化为焦点F到准线的距离，只需求P.

（2）根据双曲线的离心率为2，求出双曲线的方程，再利用抛物线x2＝2py的焦点到双曲线渐近线的距离为2求出p的值．

【尝试解答】　

（1）设抛物线方程为y2＝2px，

当x＝时，y2＝p2，∴|y|＝p，

∴p＝＝＝6，

又点P到AB的距离始终为6，

∴S△ABP＝×12×6＝36.

（2）∵双曲线C1：

－＝1（a>0，b>0）的离心率为2，

∴＝＝2，∴b＝a，

∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，

∴抛物线C2：

x2＝2py（p>0）的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，

∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.

【答案】　

（1）C　

（2）D

规律方法2　1.抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p的关系．

2．求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my（m≠0）．

3．焦点到准线的距离，简称焦准距，抛物线y2＝2px（p＞0）上的点常设为，便于简化计算．

对点训练　设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（　　）

A．y2＝±4x　　　　B．y2＝±8x

C．y2＝4xD．y2＝8x

【解析】　由抛物线方程知焦点F，

∴直线l为y＝2，

与y轴交点A.

∴S△OAF＝|OA|·|OF|

＝··＝＝4.

∴a＝±8，

∴抛物线方程为y2＝±8x.

【答案】　B

考向三[156]　直线与抛物线位置关系

　（2013·陕西高考）已知动圆过定点A（4,0），且在y轴上截得弦MN的长为8.

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）已知点B（－1,0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．

【思路点拨】　

（1）利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；

（2）设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．

图①

【尝试解答】　

（1）如图①，设动圆圆心O1（x，y），由题意，|O1A|＝|O1M|.

当O1不在y轴上时，

过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，

∴|O1M|＝

又|O1A|＝，

∴＝.

化简得，y2＝8x（x≠0）．

当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标（0,0）也满足方程y2＝8x，

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.

图②

（2）证明：

如图②，由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），

P（x1，y1），Q（x2，y2），

将y＝kx＋b代入y2＝8x中，

得k2x2＋（2bk－8）x＋b2＝0.

其中Δ＝－32kb＋64>0.

由根与系数的关系得，

x1＋x2＝，①

x1x2＝.②

∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴＝－，

即y1（x2＋1）＋y2（x1＋1）＝0，

∴（kx1＋b）（x2＋1）＋（kx2＋b）（x1＋1）＝0，

∴2kx1x2＋（b＋k）（x1＋x2）＋2b＝0，③

将①②代入③并整理得2kb2＋（k＋b）（8－2bk）＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，

∴直线l的方程为y＝k（x－1），即直线过定点（1,0）．

规律方法3　解决抛物线与直线的相交问题，一般采取下面的处理方法：

设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），直线方程为Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0.

m≠0

Δ＞0

直线与抛物线有两个公共点

Δ＝0

直线与抛物线只有一个公共点

Δ＜0

直线与抛物线没有公共点

m＝0

直线与抛物线只有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴

对点训练　已知抛物线C：

y2＝2px（p＞0）过点A（1，－2）．

（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？

若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

【解】　

（1）将A（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，所以p＝2.

故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.

（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.

由得y2＋2y－2t＝0.

因为直线l与抛物线C有公共点，

所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.

另一方面，由直线OA与l的距离d＝可得＝，解得t＝±1.

因为－1∉，1∈，

所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.

思想方法之二十　等价转化思想在抛物线中的应用

等价转化思想在抛物线中应用广泛，如焦半径问题常利用抛物线的定义转化解决，与线段的长度、角等有关问题可转化为相应向量的模与夹角解决．

————[1个示范例]————[1个对点练]————

（1）已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是（　　）

A.＋2　　　　　　　　B.＋1

C.－2D.－1

（2）已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若