成都市七年级上期培优专题绝对值.docx
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成都市七年级上期培优专题绝对值
子与已知的式子联系起来。
【绝对值必考题型】
例1:
已知卜一21+年一31=0,求x+y的值。
【例瞄青讲】
（-）绝对值的非负性问题
1.非负性：
若有几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为0.
2.绝对值的非负性；若同+问+上|=0,则必有”=0,b=0,c=0
【例题】若卜+3|+|），+1|+,+5|=0，则x-y-z=。
总结：
若干非奂数之和为0,O
【巩固】若卜〃+3|+〃一1+2一1|=0，则p-\-2n+3m=
【巩固】先化简，再求值：
3。
6-2ab2-2（ab-^a2b）+2ab.其中。
、%满足|。
+3匕+1|+（2〃-4）2=0.
（二）绝对值的性质
【例1】若a<0,则4a+71al等于（）
A.1laB.-1laC.-3aD.3a
【例2］一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）
A.1,0B.正数C.非正数D,非负数
【例3】已知1x1=5,lyl=2，且xy>。
，则x-y的值等于（）
A.7或-7B.7或3C.3或-3D.-7或-3
【例4】若刊=7,则*是（）
x
A.正数B.负数C.非负数D.非正数
【例5】已知：
2>0/<0,团<山<1,那么以下判断正确的是（）
A.l-b>-b>l+a>aB.l+a>a>1-b>-b
【例6］已知a.b互为相反数，且la-bl=6,则lbJ的值为（）
A.2B.2或3C.4D.2或4
【例7】a<0,ab<0,计算lb-a+ll-la-b-51,结果为（）
【例9］已知：
x<00,且lyl>lzl>Ixlf那么Ix+zhdy+zl-lx-yl的值（）
A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号
【例10］给出下面说法：
（1）互为相反数的两数的绝对值相等；
（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；
（3）若Iml>m,则m<0；
（4）若lai>Ibl,则a>b,其中正确的有（）
A.
（1）
（2）（3）B.
（1）
（2）（4）
C.
（1）（3）（4）D.
（2）（3）（4）
【例11】已知a,b,c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则IIIIII
lc-bl-lb-al-la-cl=・10°'b
【巩固】知a、b、cxd都是整数，且la+bl+lb+cl+lc+dl+ld+al=2,求la+dl的值。
【例12]若x<-2,贝!
Jll-ll+xll=
若lal=-a,则la-ll-la-2l=
【例13】计算+....+—-———?
—=
23220072006
【例14]§lal+a=0flabl=ab,lcl-c=0，化简：
lbl-la+bl-lc-bl+la-cl=
【例15】已知数〃，4c的大小关系如图所丞__一^
b0ac
则下列各式：
①Z?
+a+（-c）>0；@（-6r）-Z?
+c>0；（3）—+—+y=l；®bc-a>0；HH。
⑤卜/一M-+/?
|+\a—c|=-2b.其中正确的有.（请填写番号）
【巩固】已知：
abc^O,且M=H+1^+L!
，当azb,c取不同值时，M有种不同可能.
ahc
当a、b、c都®E数时，M=；
当a、b、c中有一个负数时，则M=；
当a、b、c中有2个负数时，则M=；
当a、b、c都是负数时，M=.
【巩固】已知“，从c是非零整数，且“+A+c=O,求言+箸一半的值
回\b\kl\abc\
（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）
零点分段法的一般步骤：
找零点分区间定符号去绝对值符号.
【例题】阅读下列材料并解决相关问题：
x（x>0）
我们知道凶=]0（.r=0）,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,
-r（x<0）
如化简代融|x+l|+|x—2|时，可令x+l=0和X—2=0，分别求彳导x=—l,x=2（称一1,2分另U为k+1|与k一2|的
零点值），在有理数范围内，零点值八=-1和“=2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：
（1）当x<-l时，原式=-（工+1）-（刀-2）=-2刀+1
⑵当-1，<2时，原式=、+1-（工-2）=3
⑶当Q2时，原式=x+l+x-2=2x-l
^2a+1（x<-1）
综上讨论，原式=3（-1Wx<2）
2%-1（x22）
（1）求出卜+2|和|x-4|的零点值
（2）化简代数式|x+2|+|x-4|
解：
（1）lx+21和lx・4l的零点值分别为x=-2和x=4.
（2）当xV-2时，lx+2l+lx-4l=-2x+2：
当-2&V4时，lx+2l+lx-4l=6;
当应4时，lx+2l+lx-4l=2x-2.
【巩固】化简
1.|x+l|+|x+2|2.网+|〃1-1|+|〃?
-2|的值
3.|x+5|+|2a-3|.4.（l）|2x-l|；
变式5.已知k一3|+卜+2|的最小值是“，卜一3|—k+2|的最大值为。
，求4的值。
（四表示数轴上表示数“、数b的两点间的距离.
【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2,3与5,-2与-6,-4与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？
答：
.
（2）若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为一1,则A与B两点间的距离可以表示为:
⑶结合数轴求得lx-2l+lx+3l的最小值为一,取得最小值时x的取值范围为一.
（4）满足卜+1|+卜+4|>3的x的取值范围为:
（5）若--1|+卜-2|+卜-3|+一+.一2008|的值为常数，试求式的取值范围.
（五,绝对值的最值问题
例题1：
1）当X取何值时，IX-II有最小值，这个最小值是多少？
2）当x取何值时,lx-11+3有最小值，这个最小值是多少？
3）当x取何值时，lx-11-3有最小值，这个最小值是多少？
4）当x取何值时，-3+lx-ll有最小值，这个最小值是多少？
例题2：
1）当x取何值时，-lx-II有最大值，这个最大值是多少？
2）当x取何值时，-lx-11+3有最大值，这个最大值是多少？
3）当x取何值时，-lx-11-3有最大值，这个最大值是多少?
4）当x取何值时，3-lx-ll有最大值,这个最大值是多少？
若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点；
1）非负数：
0和正数，有最小值是0
2）非正数：
。
和负数，有最大值是0
3）任意有理数的绝对值都是非负数，即昨0，则-同里）
4）x是任意有理数，m是常数，贝服口叫沙,有最小值是0,
-|x+m|<0有最大值是0
（可以理解为X是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|*,-|x+3区0或者lx-l|NO,-lx-l|<0）
5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|g,有最小值是n
-|x+m|+n（可以理解为lx+ml+n是由lx+ml的值向右（n>0）或者向左（nvO）平移了Ini个单位，为如lx-1|沙，则Ix-1I+3n3,相当于
lx-II的值整体向右平移了3个单位,lx-l|>0,有最小值是0,则lx-ll+3的最小值是3）
总结：
根据3[4）、5）可以发现，
当绝对值前面是号时，代数式有最小值，
有号时，代数式有最大值.
例题1：
1）当X取何值时，IX-II有最小值，这个最小值是多少？
2）当x取何值时，lx-11+3有最小值，这个最小值是多少？
3）当x取何值时，lx-11-3有最小值，这个最小值是多少？
4）当x取何值时，-3+lx-II有最小值，这个最小值是多少？
解1）当x-l=O时，即x=l时，lx-11有最小值是0
2）当x-l=O时，即x=l时，lx-11+3有最小值是3
3）当x-l=O时，即x=l时，lx-ll-3有最小值是-3
4）此题可以将~3+k-11变形为收-11-3,即当x-l=O时，即x=l时,lx-ll-3有最小值是-3
例超2：
1）当x取何值时，-lx-II有最大值，这个最大值是多少？
2）当x取何值时，-lx-11+3有最大值，这个最大值是多少？
3）当x取何值时，-lx-ll-3有最大值，这个最大值是多少？
4）当x取何值时，3-lx-ll有最大值,这个最大值是多少？
思考L若x是任意有理数，a和b是常数,贝！
J
1）Ix+al有最大（小）值？
最大（小）值是多少？
此时x值是多少？
2）lx+al+b有最大（小）值？
最大（小）值是多少?
此时x值是多少？
3）-lx+al+b有最大（小）值？
最大（小）值是多少？
此时x值是多少?
例题3：
求lx+ll+lx-21的最小值，并求出此时x的取值范围
例题4：
求*+111+收-121+"131的最小值,并求出此时x的值？
例题4：
求代数式lx・ll+lx・2l+lx-3l+lx，4l的最小值
归档总结：
若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值
若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值
例题5:
求"111+双-121+"131的最小值,并求出此时x的值？
[例题6]lx-II的最小值
lx-ll+lx-21的最小值
lx-ll+lx-2l+lx-3l的最小值
lx-1l+lx-2l+lx-3l+lx⑷的最小值
lx-1l+lx-2l+lx-3l+lxlx-ll+lx-2l+lx-3l+lxlx-1l+lx-2l+lx-3l+lxlx-1l+lx-2l+lx-3l+lx4l+lx-5l+lx-6l+lx-7l+lx-8l的最/J\值
lx-1l+lx-2l+lx-3l+lxlx-1l+lx-2l+lx-3l+lx-4l+lx-5l+lx-6l+lx-7l+lx-8l+lx-91+lx-101的最直
【例题7]
（1）已知1x73,求x的值
（2）已知|x饪3,求x的取值范围
（3）已知1x1<3,求x的取值范围
（4）已知国之3,求x的取值范围
（5）已知1x1>3,求x的取值范围
[例题8]
（1）已知闲§,则满足条件的所有x的整数值是多少？
且所有整数的和是多少?
（2）已知1x1<3,则满足条件的x的所有整数值是多少？
且所有整数的和是多少?
【乘方最值问题】
（1）当a取何值时，代数式（a-3）2有最小值，最小值是多少？
（2）当a取何值时，代数式（a-3）44有最小值，最小值是多少？
（3）当a取何值时,代数式（a-3产<有最小值，最小值是多少？
（4）当a取何值时，代数式-（a-3）2有最大值，最大值是多少？
（5）当a取何值时，代数式-（a-3）44有最大值，最大值是多少？
（6）当a取何值时，代数式一⑶3%4有最大值，最大值是多少？
（7）当a取何值时，代数式4-（a-3）嘴最大值，最大值是多少？
［探究1］某公共汽车运营线路AB段上有A.D.C.B四个汽车站，如图现在要在AB段上修建一个加油站
M,为了使加油站选址合理，要求A.B.C.D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在
何处选址最好？
【探究2］如果某公共汽车运营线路上有Al,A2,A3A4,A5五个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中
加油站M建在何处最好？
【探究3］如果某公共汽车运营线路上有Al,A2,A3，…，An共n个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M建在何处最好？
A用工
【探究4】根据以上结论，求lx・ll+lx・2l+.•…+lx-616l+lx-617l的最小值。
探究：
根据绝对值的几何意义，就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1.2,….617各点的距离之和最小。
【课就习】1.
（1）当X取何值时，卜-3|有最小值？
这个最小值是多少？
（2）当x取何值时，5-卜+2|有最大值？
这个最大值是多少？
（3）求卜―4|+,-5怕勺最小值。
（4）求卜一7|+打一8|+卜一9|的最〃'值。
2.已知,设“=,+»+卜+1|+的一“一4|，求M的最大值与最小值.
3、若.+H1I与伍一HD?
互为相反数，求3。
+力-1的值。
4.若卜，+〃+1|与（〃-"1）2互为相反数，则a与b的大小关系是（）.
A.a>bB.a=bC.ab
5.利用数轴分析lx-2l+lx+3l,可以看出，这个式子表示的是x到2的距离与x至53的距离之和，它表示两条线段相加：
⑴当x>时,发现,这两条线段的和随x的增大而越来越大；
⑵当x<时，发现，这两条线段的和随x的减小而越来越大；
⑶当因此，总结，lx-2l+lx+3l有最小值,即等于到的距离。
6.利用数轴分析lx+71-lx-ll,这个式子表示的是x到-7的距离与x至I」1的距离之差
它表示两条线段相减：
⑴当烂时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；
⑵当x>时，发现,无论X取何值，这个差值是一个定值；
⑶当<工<时，随着X增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。
因此，总结，式子lx+71-lx-ll当x时，有最大值；当x时，有最小值
7.设.+〃+c=0fabc>0，则的值是（）.
A.-3B.1C.3或-1D.-3或1
8.设"、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且,则上-4+84+g4可能取得的最大值是
绝对值（零点分段法、化简、最值）
一、去绝对值符号的几种常用方法
解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。
1利用定义法去掉绝对值符号
X（Y>0）
根据实数含绝对值的意义，即1X1=一］，有
-x（x<0）
x<一c或％>c（c>0）
xH0（c=0）
xeR（c<0）
%
2利用不等式的性质去掉绝对值符号
利用不等式的性质转化Ixlvc或1,门>。
（。
>0）来解，如Ica+〃I>C（c>0）可为O¥+〃>C或at+〃<-c；\ax+b\对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论”〃£x饪人O〃SxW〃或WXW-。
”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。
3利用平方法去掉绝对值符号
对于两边都含有''单项"绝对值的不等式，利用IW2=/可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数（式）时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。
4利用零点分段法去掉绝对值符号
所谓零点分段法，是指：
若数为，X2,……，五分别使含有IX-xjf\x-x2\,……,lx-乙I的代数式中相应绝对值为零，称为，X,,……，/为相应绝
对值的零点，零点/4将数轴分为机+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。
5利用数形结合去掉绝对值符号
解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。
数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于lx-4l+lx-或lx-i/l+Lv-/?
l＜m（m为正常数）类型不等式。
对I仪+。
I+1ex+d1＞机（或＜〃?
），当I4罔cI时一般不用。
二、如何化简绝对值
绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。
（-X根据题设条件
例1：
设XO1,化简2-|2-|x-2|I的结果是（\
（A）2-x（B）2+x（C）-2+x（D）-2-x
（二X借助数轴
例2：
实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式lal-la+bl+lc-al+lbd的值等于（）
（A）-a（B）2a-2b（C）2c-a（D）a
i111►
ba0c
（三）、采用零点分段讨论法例3：
化简2lx-2l-lx+4l
三、带绝对值符号的运算
如何去掉绝对值符号？
既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点。
（一）、要理解数a的绝对值的定义。
数a的绝对值是这样定义的「在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。
.‘应理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么,不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。
（二）、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。
从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。
重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-屋）,以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用1
（三/掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。
1、对于形如Ia|的一类问题
只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况,便能快速去掉绝对值符号。
当a>0时，|a|=a（性质1:
正数的绝对值是它本身）；
当a=0时，|a|=0（性质2：
0的绝对值是0）；
当a<0时；Ia|=-a（性质3：
负数的绝对值是它的相反数）。
2、对于形如Ia+b|的一类问题
首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性
质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。
当a+b>0时，|a+b|=（a+b）=a+b（性质1:
正数的绝对值是它本身）；
当a+b=O时，|a+b|=（a+b）=0（性质2：
0的绝对值是0）；
当a+b<0时，|a+b|=-（a+b）=-a-b（性质3：
负数的绝对值是它的相反数）。
3、对于形如Ia-b|的一类问题
同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b的3种情况，根据绝对值的3
个性质，去掉绝对值符号进行化简。
但在去括号时最容易出现错误。
如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负\
因为I大-小I=I小-大I=大-小,
所以当a>b时，|a-b|=（a-b）=a-b,|b-a|=（a-b）=a-b0
|口诀：
无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。
4、对于数轴型的一类问题，
根据3的口诀来化简，更快捷有效。
如Ia-b|的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负）,便可得到|a-b|=（a-b）=a-b,|b-a|=（a-b）=a-b0
5、对于绝对值符号前有正、负号的运算
非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。
前面是正号的无所i胃，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之亳厘失之千里也！
6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算
万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。
四.去绝对值化简专题练习
（1）设*<-1化简2-|2-r-2||的结果是（\
（A）2-x（B）2+x（C）-2+x（D）-2-x
（2）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式lal-la+bl+lc-al+lb-cl的值
等于（）
（A）-a（B）2a-2b（C）2c-a（D）a
11-i1>ba0c
（3）已知定2,化简2lx-2l-lx+4l的结果是x-80
（4）已知x<-4,化简2lx-2l-lx+4l的结果是--x+8。
（5）已知乂夕<2，化简2lx-2Ux+4l的结果是--3x0
（6）已知a、b、c、d满足a<-l那么a+b+c+d=（）（提示：
可借助数轴完成）
（7）若|-a|>-a,则有（A\
（A）a>0（B）a<0（C）a<-l（D）-l（8）有理数“、仄c在数轴上的位置如图所示，则式子lal+lbl+la+bl+lb-cl化简
结果为（c）.（A）2a+3b-c（B）3b<（C）b+c（D）c-b
11111k
-1a0bc
（9）有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，a+b,b-2a,
la-bl,lal-lbl中负数的个数是（B）.（A）0（B）1（C）2（D）3
I11>a0b
（10）化简lx+4l+2lx-2l=
（l）-3x（x<-4）
（2）-x+8（-42）
（II）设x是实数，y=lx-ll+lx+ll下列四个结论中正确的是（D\
（A）y没有最小值
（B）有有限多个x使y取到最小值
（C）只有一个X使y取得最小值（D）有无穷多个X使y取得最小值
变式2.已知k―3|+卜+2|的最小值是“，卜一3|-卜+2|的最大值为人求a
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