平差知识点总结.docx

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平差知识点总结

平差知识点总结（总10页）

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测量平差知识点

观测误差包括：

粗差、系统误差、偶然误差。

粗差：

即粗大误差，或者说是一种大量级的误观测差，是由观测过程中的差错造成的。

发现粗差的方法：

进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的检核、验算等，发现后舍弃或重测。

系统误差：

在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号表现出一致性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，这种误差称为系统误差。

消除或削弱的方法:

采取合理的操作程序（正、倒镜,中间法，对向观测等）；用公式改正，即加改正裁（如钢尺量距时的尺长误差等）。

偶然误差：

在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出偶然性，即就单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，或者随机误差。

采臥措施：

处理带仔偶然误差的观测值，就是木课程的内容，也叫做测量平差。

偶然谋差又称随机误差，有以I、•四个特性：

1）一定观测条件下，误差绝对值有一泄限值（有限性）；

2）绝对•值较小的课差比绝对值较人的课差出现概率人（渐降性）：

3）绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）；

4）偶然谋差的数学期望为零（抵偿性）。

衡量精度的指标有五个，分别眉中矗、平均矗、或然i灵差、极限i灵差以及相对中谋差。

其中中矗和极限误差以及相对中保差是工程測量中常用的指标。

5、相对谋差

颠差、屮促差、极限促差等指标，对于菜些观测结果，有时还•侮全表达观测结果的好坏，例如，分别丈1000m及500⑴的两段距离，它们的中课差均为±2cn】，虽然两者■的中误差相同，但就M位长度而言，两者精度并彳、相同。

显然询耆的郴对蒂度比后者耍高。

一般:

而言，一些与长度有关的观测俺或其函数值，单纯用中误苣还不能区分出蒂度的高低，所以常用相对课差。

相对误筮没有单位，定义是：

谋差绝对值与观测值之比，测量中一般将分子化为1,即用丄表示c

N

13、观测向量的精度指标是协力差阵。

它是个对称方阵；其中主对角统上元素代表各随机变虽的方差、非主对角线上元素代表两两随机变虽的互协方差，反应了随机向虽的相关程度。

若互协方差等『零，则说明两向蜀足不相关的。

1、

（1）协方差传播律:

将描述观测值的协方差阵与观测值函数的协方差阵以及两组函数

的互协方差阵Z间关系式称为协方差传播律：

（2）它是用来根据已知量的方差阵，求其函数方差的以及互协方差的；

（3）应用协方丼传播律步骤：

（G按要求写出函数式（非线性需线性化〉；（b）将线性

化后函数式写成矩阵形式；（c）应用协方差传播律公式求方差或协方差阵.

（1）水准测量中常用定权两个公式：

“,=£；»=£

ns

第个公式应川前提址：

水准测星屮，各测站观测周差为等梢度观测;

第二个公式应用前提是：

每公里观测雋差为同粘度观测。

n

（2）同粘度观测值算术平均值的权：

"'一：

，n为观测次数。

（1）测量平斧的基本任务是处理一系列带冇偶然误慕的观测值，求出未知量的最個占值，并评定测量成果的粘丿血

（2）精度是指误差分布的密集或离散的程度。

准确度是指被观测量的具值与观测值数学期望之间的差值。

（3）各种平差方法的共性与特性：

共性：

第建立四种经典平差函数模型均与参数选取有关；第二，平差准侧均足采用最小二乘原理；第三，四种经典平差函数模型都可以看成足附冇限制条件的条件平差法函数模型的一个特例；第四，四种函数平差模型最麻平料结杲（平璋值及其精度）和同，即四种经典平差模型可以等价转换。

第五，经典平差函数模型均祸足：

c+s=—_

特性：

第一，条件平差、间接平差和附有参数的条件平差中的条件方程称为般条件方程，特别的汕接平差的般条件方程称为观测方程,而附有条件的I'EIJ接平差称中的条件方程为限制条件力■程;

第二，四种经典平差函数模型参数选取务不和同。

如条件平差不加入任何参数，汕接平差在r■个多余观测皐础上，再加了u=t个独立参数等等：

第三，务经典平羞方法用途不用，适用性不同。

如间接平羞和附有限制条件的网接平差采用较多，内为间接平差规律性较强，形式统一，

便丁程序计算，而且参数往往是所求FI标。

（1）经典自由网和秩亏自由网养别在于是否有起算数据参与计算,前者足必须冇足够的起算数据，肩者足没冇任何起算数据参与。

（2）产生秩弓的原因是控制网中没有起算数据,水准网、测角网、测边网、GPS网秩亏数分别足1,3,3,4。

（3）秩亏自III网平差的中心思想就足在满足最小二乘=min和故小范数=的条件下，求参数-纽垠住佔值的平差方法。

（1）衡量精度的指标有:

中误差，方差，平均误差，或然误差，极限误差以及相对误差。

对于某些长度元素的观测结果，冇II寸中绷中谋差还不能完全表达观测结果好坏。

例如，分别丈虽了1000m及500m的两段距离，它们的中误差均为土2cm虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言,两者梢度并不和同。

显然前者的相对梢度比眉者耍高。

此时，须采用另一种办法來衡量精度，通常采用相对中谋羌，它是中:

吴旁h观测值之比。

（2）观测误差产生的原因大体上有以卜-三个來源：

仪器工具、观测者、观测时的外界条件，这三方面总称为观测条件。

观测条件相同的观测称为等粘度观测；观测条件不同的观测称为不等粘度观测。

观测条件越好，观测质星越高。

（3）在测量工程中，为了求得一个儿何模型中各个量的大小，必须进行观测，能够唯一确定这个儿何模型所必耍的元素简称为必要元素，在测量工程中这些元素是要必须进行观测的，共个数称为必要观测数，用t表示。

当观测的总个数（用n表示），多于必要观测个数时就产生了多余观测（用r表示）。

…+仁

五、答：

（1）点位误差川1线虽然冇许多用途，但它不是一种典型冊线，作图不太方便，因此降低了它的实用价值。

但其总体形状与以&、F为长短半轴的椭圆很相似，而且可以证明,通过一定的变通方法,用此椭圆可以代替点位误差川|线进行各类误差的星取，故将此椭圆称点位谋差椭圆（习惯上称谋差椭圆），%、E、F称为点位谋差椭圆的参数。

故实用上常以点位误差椭|员|代替点位误差曲线。

（2）误差椭圆三耍素计算公式为：

E=EJQee•戶=%QQpp.Qee-Qyy

99

0厂妬+2严）

QlT=+Qy厂k）

—J（2+0丿+4氐

（3）用途：

在测量工程中，点位谋差IW线图的应用很广泛，在它上If『口J以图解出控制点〃各个力向上的位差，从而进行精度评龙。

这些中谋差包括：

1•坐标轴方向上的中误差2.极人值E和极小值F3.平差后的边长中误差4.平差后的方位角的中误差。

5、任意方向上的位差。

1、按平差基准不同可将口市网平差分为三类：

1）以全部网点垂心为基准（简称重心基准）的秩亏自由网平差；（Px=I）

2）以网屮部份和対稳定点重心为基准（简称拟稳基准）的拟稳「I山网

平差（简称拟稳平差）:

3）即网中存在〃个起始数据,这就是固定基准下的经典自由网平差。

2、秩亏的原因是网屮没冇必耍的起算数据，秩亏数d就是秩弓自市网中的基准亏损数，

d=R'（B）・R（B）（R・（B）是B的列满秩数，R（B）足实际秩数。

）

1、何谓必要卿？

何谓多余观测？

为何删量中，多余輔収是必须的？

2、在平差的函数模型中,n,hr,u,s,c等字母代表什么量？

它们Z间有什么关系?

3、各种平差方法中，函数模型以及随机模型是如何定义的？

4、非线性鹹模型怎样线性化?

有何要求？

5、何谓最小二剩古计？

什么是最优无偏崩值?

最小二乘触是否是最优无偏估值？

为什么？

6、条件平差时,若飙测总数为n,必要观测数为I,则平差时,条件方酬个数、法方程个数以及改正数方程的个数各是多少个?

建立的条件方程有何要求？

1、必要观测指能够唯一确定一个儿何模型所必要的元素，该观测量称为必要观测。

必耍观测Z外的就称为多余观测，明显，名余观测数等/总观测数与必耍观测数Z差：

名余观测乂是必须的，因为通过多余观测可以发现和剔除粗差，H.还可提高观测精度。

2、分别代表：

总观测数、必耍观测数、禺余观测数、参数个数、多选参数（不独立参数个数）以及条件方程总个数；它们关系是：

r=n-t=c-u,S=u-to

3、函数模型：

观测值数学期望之间的函数式为条件平差的函数模型；若为了方便问题处理，选了少于必耍观测数的参数，则观测血期望与参数间的函数关系以及观测值数学期望间的函数关系--起称为附有参数的条件平差函数模世。

将毎-个观测值的平差傅表达为所选参数的函数，为间接平差的函数模型、若多选了参数，则参数间就存衣确定的函数关系，这两类模型为附有条件的间接平差函数模型；

I®机模型是描述平差问題中随机变量（观测量）及其相互间统计相关性质模型,用

值的方差•协方差阵表示。

4、测最平差中，非线性的数模型线性化常用泰勒级数展开,取其零次项以及--次项，其它二次以上项舍去，就为线性函数了。

5、就小二乘估计是指在观测值的改止数平方和最小的条件卞求估值：

所谓估计量是最优的是指估计量应具有无偏性（估计量的数学期望等于估计量）、—致性、有效性（估计量方差最小）；最小二乘估计满足以上条件,所以是最有无偏估计。

6、条件方程个数为r个，法方程个数也是r个，改正数条件式个数是n个。

建立的r个条件方程必须是线性无关的。

14、概括平差函数模型包括哪儿类?

有何区别？

15、附有限制条件的条件平差模型在平差问题中能解决什么麵问题?

何种情况下应用之？

17、为何半询釆用较多的是间接平茸法和附有限制条件的间接平并法？

14、概括平差函数模型包括两大类：

一是一傲:

条件方程，二是限制条件方程。

一般条件方程是观测值的数学期望之间或观测值数学期望与所选参数之间建立的函数式，表示为：

尸（"）=0；而限制条件是只参数之间确定的函数关系式，用収£）=°表示。

15、附有限制条件的条件平差模型概括了条件平差、附有参数的条件平差、间接平差以及附有条件的间接平差四种两数模型。

当所选参数小于或等F必要观测数，且参数之间不彼此独立，或者选定大丁•必要观测数的参数，但其中没有包含i个独沉参数，这时就需耍建立一般条件方程和限制条件方程作为平差函数模型，这种平差方法即附有限制条件的条件平差。

1人当前采用较*的是间接平差法和附有限制条件的间接平差法的原因在于：

这两种平差方法中的误差方程、其形式统一，规律性强，便于计算机程序设讣；所选参数往往都是平差后所需要的最后成果。

1、答：

高斯约化法包括两个过程：

一是逐次消去法方程中的未知数,使法方程系数阵变为上三角阵的消化过程：

二是按照未知数的相反次序，逐个回代解出全部未知数的回代过程。

用髙斯约化解算方程必需是线性対•称方程组。

2、答：

经过高斯约化后，得到的逐次消去未知数后的方程称为等值方程，而将等值方榨中笫--个未知数系数化为1的方程称为消化方程组。

K是从消化方程按次序相反求出的。

1、答：

独立测角网中必要起算数是4,即一点坐标、一边方位角以及一条已知边长或者是两个已知点坐标；独立测边网中必耍起并数据是3个，即一点坐标和一条已知边方位角；独立边角网中足算数据是3,即一点坐标和一条已知边方位角，和独立测边网一致。

2、答，独立三角网中条件方程的类型有:

（I）图形条件;

（2）圆周条件^（3）极条件（边长条件）

3、答:

三角网进行间接平差时，通常取待定点的坐标为参数,通过平差也接求得待定点的坐标半差值，这种平差法亦称为坐标平差。

测角网坐标半差的误差方程‘出

V严（%-勺K+（如一如）兀一J乙一bj仇+a.kxh+bjhyh-lt,具中

特点：

（I）角度谋差方程不存在定向角参数

（2）当端点为已知点时，氏坐标的改正数为零

（3）当两端点均为已知点时，无俣遊方程；

测边网处标半差的误耒方程：

（I）上式为某边两端均为待定点下的误差方程。

式+，X与•―几与必系数的绝对值分别相等。

⑵若某点为已知点，则该点项为零，如j为已知点，贝忖寸疔0；两端点均为已知点，无课差方程。

（3）某边的误差方程,按jk方向和kj方向的结果ffie

1、答：

点位谋差：

是用来评定待定点的点位精度的。

可由任意两个相互垂直方向上的

中谋并求的，即；bp=+

2、答：

点位稱度可以分解在不同方向，若以位差的极大以及极小值作为椭圆的长短半轴，则该椭圆称为“误差椭圆”。

3、答：

谖差曲线是由点的不同方向上的中课差连成的一闭合初线，该Illi线把各个方向的位差清楚的图斛出来了.而谋差椭圜只是谋差曲线的一个近似表达，所以二者并不完全和等，只是误差椭圆是一个典空Illi线，便于作图，故用涙坯椭例來近似代替误差曲线，且至椭圆做某方向的切垂线，则垂足点的轨迹即为误差曲线。

4、答：

由误差椭圆可以图解该点任意方向上的位差以及位差的极大利极小值：

也可疑出X、Y方向上位差人小、己知点与待定点之间的边长中误差，以及方位角中误差。

6、答：

谋差椭岡是用来衡童已知点与待定点之间的相对粘度的，而相对谋差椭圆则是用来衡量待定点与待定点之间的相对粘度的；相对決差椭圆参数是用两待定点间处标差的协因数以及互协因数来计算的；误差椭圆作图时一般以点中心为椭圆中心，而相对误差椭圆是以两点连线的中点为中心绘制的。

1、答：

按平差基准不同可将自由网平差分为三类：

1）以全部网点重心为基准（简称重心基准）的秩亏自由网平差：

（PX=I）

2）以网中部份和対稳足点亟心为基准（简称拟稳基准）的拟稳自由网平差（简称拟稳平差）；

3）即网中存在d个起始数据，这就是固定基准下的经典自由网平差<■

门山网在莹心基准下的参数估计具有垠小迹的性质，而拟稳基准下仅拟稳点堆标参数佔计具有最小迹。

3、经典口由网平差与秩亏口由网平差结果有何并同点？

3、答:

相同点：

所遵循的原则都是:

厂丹'=min,所以他们的方法的参数估计•都是一种披小二乘

解；他们的解都满足法方程N7,而且求得的改正数V也不因所取得基准的不同而不同，其相对网形相似，他们可以采用相似变换法进行基准变换。

不同点：

经典Hrh网平差需假定必要的起算数据，然后按间接平差求解。

秩亏Hrh网平差不设起算数据，全部网点作为末知参数；秩亏自曲网平差的最小二乘准则与末知参数附加的基准约束无关，亦即厂P?

是个不变值，平差所得的改止数不因所取得基准的不同而不同。

誠小二乘佔计之所以存实际屮得到广泛应用，足山于它具有以下三个优良性庇

1、求估值时，不需要事先知道它屈于什么分们：

2、它是一种线性估计;

3、按该准则估计,具结果唯

最小二乘法是从误差拟合角度对回归模型进行参数估计或系统辨识