《整式》例题讲解与同步练习学案1.docx
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《整式》例题讲解与同步练习学案1
整 式
本讲知识要点:
（一）单项式:
1.单项式是只含数与字母的乘法运算的代数式，单独一个数或字母也叫单项式。
如mn是数、字母m、
n的积，它是单项式，但不是单项式，因它分母中含有字母，相当于含有字母与字母的除法运算。
，a，b都是单项式。
在a2b，，2x2+3x+5中，只有a2b是单项式。
2.单项式的系数:
单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数。
如的系数是，5a3的系数是5。
3.单项式的次数:
单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如:
x3y2的次数是x的指数3与y的指数2的和为5，即x3y2的次数是5；ab的次数是2；4abc的次数是
3，2a的次数是1，4的次数是0。
下面我们通过填表来进一步练习:
单项式
x3y
-
0.6x2y2z2
-15a2b2
0.7pq
-p
x2
系数
-
0.6
-15
0.7
-
次数
4
3
6
4
2
1
2
（二）多项式:
1.几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常
数项。
如：
多项式-2x+3中，-2x，3是它的项，3是常数项；多项式5x2-3x+4中，5x2，-3x，4是它的项，4是它
的常数项.
注意:
多项式的项包括它前面的符号。
2.多项式的项数:
一个多项式含有几项，就叫做几项式.如3x-1是二项式，7x2-5x+3是三项式，a3+3a2b+
3ab2+b3是四项式。
3、多项式的次数:
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
如:
多项式5x2-x+2中5x2项的次数最高，次数为2，所以，此多项式的次数是二，它是二次三项式；4x-3
是一次二项式；m2+mn+n2是二次三项式；x4y+xy4是五次二项式。
4.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若
按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
如:
多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式，按x的降幂排列为-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6，在这里
只考虑x的指数，而不考虑其它字母；按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4。
注意:
（1）重新排列一个多项式时，各项都要带着符号移动位置；
（2）对含有两个以上字母的多项式，一般都按其中某一个字母的降幂排列。
（三）整式:
单项式和多项式统称为整式。
即
如:
-3，a2b，，a2-b2都是整式。
二.例题:
例1.下列整式中，哪些是单项式，哪些是多项式?
说出各单项式的系数、次数；各多项式是几次几项
式，并按某一个字母降幂排列:
-12，-2a，x2yz，m2-n2，x2+2x+1，-3x2+2y2-xy，0.5，4-3a2b-ab2-b3。
解:
单项式有:
-12，-2a，x2yz，0.5；-12的系数就是-12，次数是0；-2a的系数是-2，次数是1；x2yz的
系数是1，次数是4；0.5的系数是0.5，次数为0。
多项式有m2-n2，x2+2x+1，-3x2+2y2-xy，4-3a2b-ab2-b3；m2-n2是二次二项式，按m的降幂排列为m2
-n2；x2+2x+1是二次三项式，它本身就是按x的降幂排列；-3x2+2y2-xy是二次三项式，按y的降幂排列为2y2
-xy-3x2；4-3a2b-ab2-b3是三次四项式，按a的降幂排列为：
-3a2b-ab2-b3+4。
例2.指出下列各式中的单项式、多项式和整式:
13，，，，-x，5a，abc，，
ax2+bx+c，a3+b3。
解:
单项式有:
13，5a，abc；
多项式有:
，-x，ax2+bx+c，a3+b3；
整式有:
13，5a，abc，，-x，ax2+bx+c，a3+b3。
例3.当x=-，y=-时，求x2y+xy2-y3的值。
解:
当x=-，y=-时，
x2y+xy2-y3=（-）2×（-）+（-）×（-）2-（-）3=--+=
例4.m是大于-1的负整数，n是绝对值为2的有理数，
求:
m3-2n2m2+6n3m的值。
解:
首先要确定m，n的取值，依题意得m=-1,
|n|=2，∴n=±2，要分两种情况讨论:
①当m=-1，n=2时，
m3-2n2m2+6n3m=×（-1）3-2×22×（-1）2+6×23×（-1）=--8-48=-56
②当m=-1，n=-2时，
m3-2n2m2+6n3m=×（-1）3-2×（-2）2×（-1）2+6×（-2）3×（-1）=--8+48=39
例5.已知:
3xmy2m-1z-x2y-4是六次三项式，求m的值。
解:
∵3xmy2m-1z-x2y-4是六次三项式，而
-x2y的次数是3；-4的次数是0，
∴3xmy2m-1z的次数应是六，
∴m+2m-1+1=6
∴3m=6
∴m=2
例6.已知|a-5|=0，且（a-5）|b+7|=a+5，求b的值。
分析:
由已知|a-5|=0就可以求出a的值，将a的值代入第二个等式就可求出b的值。
解:
∵|a-5|=0，∴a-5=0，∴a=5，∴a=15。
将a=15代入（a-5）|b+7|=a+5得，
（15-5）|b+7|=15+5
∴10|b+7|=20
∴|b+7|=2
∴b+7=2或b+7=-2
∴b=-5或b=-9。
三.练习:
（一）判断正误:
1.单项式-的系数是-，次数是n+1。
（ ）
2.多项式6x3-4x2y+3xy2-y3的项是6x3，4x2y，3xy2，y3。
（ ）
3.多项式ab3-a2b2-3a3b+2是按a的升幂排列的。
（ ）
4.m2n没有系数。
（ ）
5.-13是一次一项式。
（ ）
（二）填空:
1.下列代数式中:
x2-2x-1，，，π，m-n，，-，x，，。
单项式有
________________，多项式是_____________整式有____________。
2.填表:
单项式
25m
-x
-7.6
-2m3
a3b2c
-
系数
次数
3.3x2-4x+5是___________次________项式。
4.（k-2）x2-5x+9是关于x的一次多项式，则k=______。
5.把多项式-5x6+x2y2-2x3y+6x2y3按y降幂排列为__________________，其中最高次项
_____________。
6.4xn+6xn+1+xn+2-xn+3（n是自然数）是_________次________项式，其中最高次项的系数是
________。
7.-3xm+5xm+1-6xm+2-1.5xm-1+4xm-2（m是大于2的自然数）按x降幂排列为__________________。
8.若（|m|-2）2+（2n+1）2=0，则mn=____________。
9.若x，y互为相反数，那么，3x+2y=________。
10.如果多项式x2-7x-2和3x2+5x+n的常数相同，则n-=_______。
11.当m=______时，多项式8x2+3mxy-5y2+xy-8中不含xy项。
12.若1 练习参考答案:
（一）判断正误:
1.√ 2.× 3.× 4.× 5.×
（二）填空:
1、单项式有：
，π，-，x，；
多项式有：
x2-2x-1，m-n，；
整式有:
，π，-，x，，x2-2x-1，m-n，.
2、填表:
单项式
25m
-x
-7.6
-2m3
a3b2c
-
系数
25
-1
-7.6
-2
1
-
次数
1
1
0
3
6
4
3、二 三 4、2 5、6x2y3+x2y2-2x3y-5x6；-5x6
6、n+3次 四 - 7、-6xm+2+5xm+1-3xm-1.5xm-1+4xm-2
8、1或-1 9、x 10、-1 11、- 12、2
测试
选择题
1．单项式的（ ）
A、系数是-1，次数是k；
B、系数是1，次数是k+1；
C、系数由k确定，次数是2k+1；
D、系数由k确定，次数是k+1。
2．下列说法中错误的是（ ）
A、a（b+c）不是单项式；
B、6+13x-4x2-2x3是按x的升幂排列；
C、多项式2x3y-4x4y4-y2x+5是八次四项式；
D、3x2-x4y+2xy2的各项分别是3x2，x4y，2xy2。
3．-52π2a4b是单项式，它的系数和次数是（ ）
A、系数是-5，次数是9；
B、系数是52，次数是7；
C、系数是-52，次数是7；
D、系数是-52π2，次数是5。
4．如果是五次单项式，则n的值是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、5
5．若（|x|-1）2+（2y+1）2=0,则xy的值是（ ）
A、 B、 C、-1 D、或-
答案与解析
答案：
1、D 2、D 3、D 4、A 5、D
解析：
1、分析：
因为k的奇偶性没有确定，所以-1的k次方也无法确定，另外，单项式的次数与系数无关，只
与字母的指数和有关系。
2、略。
3、分析：
考察单项式的系数和次数，主要根据定义即可判断出来，但是要注意的是，π是我们所熟悉
的圆周率，它是一个常数，因此我们在计算单项式的次数时不能把它看成是字母。
4、分析：
根据单项式的次数的定义，我们知道，3+1+2n-1=5，可以解得n=1。
5、分析：
根据已知条件可以得到|x|=1，且2y+1=0，解得x=1或-1，y=，因此xy的值为或-。
中考解析
整 式
考点扫描
1．了解整式、单项式及其系数、次数的概念。
2．了解多项式、多项式的次数、项与项数的概念，会把一个多项式按某个字母降幂排列或升幂排列。
名师精讲
1．单项式有关概念
（1）单项式：
数与字母的积的形式的代数式叫做单项式。
单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点
是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算。
在含有除法运算时，除数（分母）只能是一个具体的
数，可以看成分数因数。
单独一个数或一个字母也是单项式。
指数是正整数的幂看作乘法的特殊形式。
（2）单项式的系数：
单项式由数字因数和字母因数两部分组成。
单项式中的数字因数叫做这个单项式
的系数。
要注意的是，单顶式的系数包括它前面的符号，当单项式的系数是1或-1时，通常把“1”省略不
写。
（3）单项式的次数：
在一个单项式里，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
求一个单项式的
次数时，要特别注意不要漏掉字母指数是1省略不写的情况。
2．多项式有关概念
（1）多项式：
几个单项式的代数和叫做多项式。
也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的。
把
组成多项式的每一个单项式叫做这个多项式的项（注意：
每一项都包括它前面的符号）。
不含有字母的项叫
做常数项。
一个多项式有几项，就叫做几项式。
（2）多项式的次数与各项的次数：
因为组成多项式的项是单项式，而每个单项式是有次数的，所以多
项式的每一项都有次数。
若某项是几次，则这项就叫做几次项。
把其中次数最高的项的次数叫做这个多项式
的次数。
不要把多项式次数与单项式的次数混淆。
（3）升幂排列与降幂排列：
为了应用方便，我们往往对多项式进行升幂排列或降幂排列，即按多项式
中某一个字母的指数大小，从低到高或从高到低的次序排列。
3．单项式和多项式统称整式。
中考典例
1．（龙岩市、宁德市）把多项式3xy3+x3y+6-4x2y2按x的升幂排列。
考点：
多项式的排列
评析：
多项式的排列是指按某个字母的指数由小到大或由大到小排列，升幂排列是按字母的指数从小到
大进行排列，原式可排列为6+3xy3-4x2y2+x3y。
真题专练
1．（荆州市）多项式是______次______项式，最高次项系数是______。
答案：
三，三，
课外拓展
尖子生尖在何处
尖子生是家长寄托的希望，老师培养的目标，同学羡慕的对象。
那么，尖子生到底尖在何处呢？
一是基础知识特别牢固。
尖子生在基础知识上比普通生打得更牢固、更坚实，更过硬、更突出而冒尖。
从简单的词语、概念、定义到基本语法、逻辑、章法，从抽象的定理、公式到具体的运用计算，都烂熟于
心，信手拈来，而不需苦思冥想，绞尽脑汁。
二是坚持多想。
尖子生与普通生在智商上没有什么区别，只不过尖子生比普通学生想得更多更广更深更
远而已。
多想就要多问几个“为什么”，有打破沙锅（问）到底的精神。
学习的关键在于要消化吸收，多想
就是消化吸收的过程。
三是善于转化。
尖子生善于将所学的知识通过分析判断归纳综合转化成自己的东西，由表及里，由此及
彼，活学活用，创新知识推陈出新。
四是善于抓要点。
尖子生在学习、听讲、做笔记时善于抓住要点、重点、难点和知识点，而不是一字不
漏地听进去、记下来，而是把知识分解成若干个点，扣住知识点去理解记忆并运用。
五是善于比较。
尖子生在学习的时候不是孤立地去学，而是形成体系、联成网络、比较学习、求同存
异，区别运用。
比较的范围很广，小到学科内词语的比较，概念定义的比较，人物性格、思想内容，技巧手
法的对比，大到学科与学科之间的比较。
通过比较掌握得更牢固，理解的更透彻。
六是讲究方法。
尖子生在学习的时候善于总结经验，探索规律，摸索方法，巧妙地学习，科学地记忆。
而不是象许多同学一样，不总结、不思考，遇到问题“试试看”。
如果你想成为尖子生，不妨从这几个方面努力试行，会让你美梦成真的。
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