考研数学二真题与解析docx.docx
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2019年考研数学二真题解析
一、选择题
1—8小题．每小题
4分，共
32分．
1．当x
0时，若xtanx与xk是同阶无穷小，则k
（
）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
【答案】（C）
【详解】当x
0时，tanx
x
1x3
o（x3），所以x
tanx
1x3
o（x3），所以k
3．
3
3
3
2．曲线y
xsinx
2cosx（
2
x
）的拐点是（
）
2
（D）（3,
3）
（A）（0,2）
（B）（
2）
（C）（
）
2
2
2
2
【答案】（D）
【详解】y
xsinx
2cosx
，y
xcosx
sinx，y
xsinx，y
sinx
xcosx；
令y
xsinx
0得x1
0,x2
，且f
（
）
0，所以（,
2）是曲线的拐点；
而对于点（0,0），由于f
（0）
0，而f
（4）
（0）
0，所以不是曲线的拐点．
3．下列反常积分发散的是
（
）
x
x
2
arctanx
x
（A）
0
xe
dx
（B）
xe
dx
（C）
01
x
2dx
（D）
1x
2
dx
0
0
【答案】（D）
【详解】
（1）当x
时，f（x）
1
x
是关于
1的一阶无穷小，当然
x
dx发散；
x2
x
01x2
（2）用定义：
01
x2dx
1
ln（x2
1）|0
，当然
x
2dx发散．
x
2
01
x
4．已知微分方程
y
ay
by
cex
的通解为y
（C1C2x）ex
ex，则a,b,c依次为（
）
（A）
1,0,1
（B）1,0,2
（C）
2,1,3
（D）
2,1,4
【答案】（D）
【详解】
（1）由非齐次线性方程的通解可看出
r1
r2
1是特征方程r2
arb
0的实根，从而确定
a2,b1；
（2）显然，y*ex是非齐次方程的特解，代入原方程确定c4．
5．已知平面区域D{（x,y）|xy
}，记I1
x2
y2dxdy，I2
sinx2
y2dxdy，
2
D
D
1
I3
（1
cos
x2
y2）dxdy，则
（
）
D
（A）I3
I2
I1
（B）I2
I1
I3
（C）I1I2I3
（D）I2
I3
I1
【答案】（A）
2
【详解】（1
）显然在区域D0
x2
y2
，此时由结论当x
0时xsinx
知道
2
sin
x2
y2
x2
y2，所以I1I2；
（2）当x
0时，令
f（x）1cosx
sinx，则f（x）
sinxcosx，f（x）
sinxcosx；
令f（x）
0得到在（0,
）唯一驻点x
4
，且f
0，也就是f（x）1cosx
sinx在x
取得
2
4
4
极小值f
0
，在x
0,x
同时取得在[0,]上的最大值f（0）f（）
0，也就有了结论，当
4
2
2
2
x（0,）时，1
cosx
sinx，也就得到了
I3
I2；
2
由
（1）、
（2）可得到I3
I2
I1．
6．设函数f（x）,g（x）的二阶导函数在
x
a处连续，则
lim
f（x）
g（x）
0
是两条曲线y
f（x），
（x
a）
2
xa
yg（x）在x
a对应的点处相切及曲率相等的
（
）
（A）充分不必要条件
（B）充分必要条件
（C）必要不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
【答案】（A）
【详解】充分性：
（1）当lim
f（x）g（x）
0
进，由洛必达法则，
（x
a）
2
x
a
0
lim
f（x）g（x）
1
lim
f（x）g（x）
1
（a）
g（a））
f
（a）g（a）
（xa）2
xa
（f
xa
2xa
2
也就是两条曲线在
x
a对应的点处相切；
（2）0lim
f（x）
g（x）
1lim
f
（x）
g（x）
1（f
（a）
g（a））
f
（a）
g（a）
xa
（xa）2
2xa
xa
2
由曲率公式k
y
可知两条曲线在
x
a对应的点处曲率相等．
（1
y2）3
必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到f（a）g（a），但在相切前提下，曲率相等，只能得到
2
f
（a）
g（a），不能确定f（a）
g（a），当然得不到
lim
f（x）
g（x）
0
．
（x
a）
2
x
a
7．设A是四阶矩阵，A*为其伴随矩阵，若线性方程组
Ax
0的基础解系中只有两个向量，则
r（A*）
（
）
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
【答案】（A）
【详解】线性方程组
Ax0
基础解系中只有两个向量，也就是
4
r（A）
2
r（A）
2
n
1
3，
所以r（A*）
0．
8．设A是三阶实对称矩阵，
E是三阶单位矩阵，若A2
A
2E，且A
4
，则二次型xTAx的规范形
是
（
）
（A）y12
y22
y32
（B）y12
y22
y32
（C）y12
y22
y32
（D）y12
y22
y32
【答案】（C）
【详解】假设
是矩阵A的特征值，由条件
A2
A2E可得
2
2
0，也就是矩阵
A特征值只可
能是1和
2．而A
123
4
，所以三个特征值只能是
1
1,
2
3
2，根据惯性定理，二次型的
规范型为y12
y22
y32．
二、填空题（本题共
6小题，每小题
4分，满分
24分.把答案填在题中横线上）
x
2
9．limx
2
x
．
x0
【答案】4e2
2
2
lim
2（x2x
1）
解：
limx2
x
x
lim1x2
x
1
x
x
2（1ln2）
2
x0
e
e
4e
x0
x0
x
t
sint
在t
3
y的截距为
．
10．曲线
1
cost
对应点处的切线在
y
2
【答案】2
3
2
【详解】dy
1
sint
dy|
3
1，所以切线方程为y1（x
3
1）
x
3
2，在y的截距为
dx
cost
dxt
2
2
2
2
3
．
2
11.设函数f（u）可导，zyf
y2
，则2xz
yz
.
x
x
y
3
【答案】
【详解】
2xz
y
z
yf
y2
x
y
x
z
y3
f
y2
z
y2
2y2
y2
，2x
z
z
y2
x
x
2
f
x
x
f
y
yf
．
x
y
x
x
y
x
12．曲线ylncosx（0x）的弧长为．
6
【答案】1ln3
2
【详解】ds
1
y2dx
1tan2xdx
secxdx
s
6secxdx
ln（secx
tanx）|06
1ln3.
0
2
13．已知函数f（x）
xsint
2
1
f（x）dx
．
x
t
dt，则
1
0
【答案】1（cos1
1）．
4
【详解】
（1）用定积分的分部积分：
1
1
1
（x）dx
1
xsint2
dt）dx
1
xsinx
2
dx
f（x）dx
xf（x）|0
xf
（x
1
t
0
0
0
0
2
1
1
（
xsint
2
1
2
dx
20
t
dt）dx
xsinx
1
2
0
1
x
2
xsint
1
1
1
2
dx
1
1
2
dx
t
dt|0
2
xsinx
2
xsinx
2
1
0
0
1
cosx2|10
1
（cos1
1）
4
4
（2）转换为二重积分：
1
1
xsint2
dt
dx
1
1sint2
dt
1sint2
dt
t
1
1
2
dt
1
（cos11）
f（x）dx
x
t
xdx
t
t
xdx
tsint
4
0
0
1
0
x
0
0
20
1
1
0
0
14．已知矩阵A
2
1
1
1
A11
A12
3
2
2
，Aij表示元素aij
的代数余子式，则
．
1
0
0
3
4
【答案】4
1
1
0
0
【详解】A11
A12
A11
A12
0A130A14
2
1
1
1
4．
3
2
2
1
0
0
3
4
4
三、解答题
15．（本题满分10分）已知函数
f（x）
x2x
x
0，求f
（x），并求函数
f（x）的极值．
xex
1,x
0
【详解】当x
0时，f（x）
x2x
e2xlnx，f
（x）
2x2x（lnx
1）；
当x
0时，f（x）
xex
1，f（x）
（x1）ex；
在x
0处，f
（0）
lim
f（x）
f（0）
x2x
1
2x2x（lnx1）
，所以f（x）在x0
处不
x
lim
x
lim
1
x0
x0
x
0
可导．
综合上述：
f（x）
2x2x（lnx
1）,x
0
（x
1）ex,
x
；
0
令f（x）
0得到x1
1,x2
1
．
e
1
1
当x
1时，f
（x）
0，当
1
x
0
时，f
（x）0，当0
x
0，当x
0；
时，f（x）
时，
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