24正态分布.docx
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24正态分布
2.4正态分布
100020北京市日坛中学张留杰
100025北京市东方德才中学白玉娟
正态分布（normaldistribution）也叫高斯分布（Gaussiandistribution）,是在概率论和数理统计的理论和应用中最重要、最常用的一种连续型分布。
德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。
高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差，所以很多著作中亦称之为高斯分布。
正态分布是《概率与统计》一章中的难点。
为了学好这一内容，现把这一节的知识概要作一介绍，供学习时参考。
一、知识解析
1、正态分布的概念
在频率分布直方图中，当样本容量越大，组数越多，组距越小时，那么直方图的上端就会无限接近于一条光滑曲线一一总体密度曲线。
在正常情况下，该曲线是密度函数
1
f（x）e，x，（*）
€2
的图象。
其中的参数、0分别是总体的平均数（E）与标准差
（4D）。
这种分布叫正态分布，它是由、唯一确定的，因此，正态分
布常记为，2。
这样，（*）式的图象也称为正态曲线。
而当0，1时,
正态总体称为标准正态总体，相应曲线又称为标准正态曲线。
2、正态曲线的性质
完全对称。
具体性质如下:
（1）恒正性：
由于正态曲线总位于X轴上方，故f（x）0,且以x轴为渐近线；
1
（2）最高点：
在x处取得最大值■——=；
Q2
（3）增减性：
x,f（x）单调递增，x,f（x）单调递减；
（4）奇偶性：
当0,1时，f（x）为偶函数；
（5）胖矮与瘦高性：
卩（数学期望）决定曲线的位置，c（标准差）决定
曲线的“胖瘦”，即两个参数：
位置参数和变异度参数。
一定,越大，数据越分散，曲线越平坦；一定，增大，曲线沿x轴向
右平移。
因此，不同的，不同的，对应不同的正态分布，即正态
分布由数学期望值和标准差唯一确定。
（6）曲线下面积为1:
正态曲线下，横轴上所夹的面积为1。
理论上：
范围内曲线下的面积占总面积的68.27%；
2范围内曲线下的面积占总面积的95.44%；
3范围内曲线下的面积占总面积的99.73%；
从理论上讲，服从正态分布的随机变量的取值范围是（，），但实际上，取在区间（3,3）外的数值的可能性微乎其微。
因此，往往认为它的取
值是个有限区间即区间（3,3），具体一点，就是服从正态分布的随机
变量和它的数学期望的偏差不超过它的三倍标准差的概率为0.9973，这个规
则称为3规则。
显然此概率与正态分布的数学期望和标准差的大小无关。
、正态分布的计算
1.标准正态分布（standardnormaldistribution）的计算
在使用标准正态分布表时，首先应明确（X。
）是指总体中小于X。
的概率，
即（X。
）P（xX。
）。
其次，标准正态分布表只给出了X。
0时，（X。
）的值。
因此，
（1）当Xo。
时，可直接查表得到（X。
）的值。
（2）当Xo。
时，由正态曲线的对称性，知（Xo）（Xo）1，故有
（Xo）1（Xo），然后可查表计算。
（3）标准正态总体N（。
，1）在区间X1，X2内的取值概率是
p（X2）（X1）。
2.一般正态分布的计算
一般正态总体N，2取值小于X的概率F（x），可以化成标准正态总体来
计算，其关系式是：
F（x）X—。
利用该关系式，可实现标准与非标准正
态总体概率分布的互换：
F（a
xb）
b
a
由此，
当a
或b
时，有
F（x
b）
b
F（xa）1
a
P（|X|k）（k）（k）2（k）1。
特别地，当k1,2,3时，概率分
别为0.6827,0.9545,0.9974。
三、例题解析
（3）P
2P
2P
1,
丄0.3330.5
3
m1
而0.33310.66710.430.43，故有0.43，得m0.14。
2
例2.某人上班所需的时间（单位：
分）服从N（50,100），已知上班时间为早
晨8时，他每天7时出门，试求：
（1）某天迟到的概率；
（2）某周（以五天计）最多迟到一次的概率。
P（X60）1P（X60）1
口1
10
（1）10.840.16。
解：
（1）某天迟到的概率为
（3）某周最多迟到一次的概率为
卩5（0）卩5
（1）0.84550.160.8440.82。
例3.（2006年高考湖北卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞
赛成绩近似服从正态分布N（70,100）。
已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。
（I）、试问此次参赛学生总数约为多少人？
（U）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线
约为多少分？
可共查阅的（部分）标准正态分布表（x°）P（xX0）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.2
.8849
.8869
.888
.8907
.8925
.8944
.8962
.8980
.8997
.9015
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.3
.9032
.9049
.9066
.9082
.9099
.9115
.9131
.9147
.9162
.9177
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.4
.9192
.9207
.9222
.9236
.9251
.9265
.9278
.9292
.9306
.9319
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.9
.9713
.9719
.9726
.9732
.9738
.9744
.9750
.9756
.9762
.9767
20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.0
.9772
.9778
.9783
.9788
.9793
.9798
.9803
.9808
.9812
.9817
20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.1
.9821
.9826
.9830
.9834
.9838
.9842
.9846
.9850
.9854
.9857
点评：
本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。
解：
（I）设参赛学生的分数为，因为〜N（70,100），由条件知，
P（90）=1—P（<90）=1—F（90）=1—（9070）=1—
（2）=1—
10
0.9772=0.228.
这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28%,
因此,
参赛总人数约为二2〜526（人）。
0.0228
（U）假定设奖的分数线为x分，贝UP（x）=1—P（x）=1—F（90）
/x7050小“一亦x70ccc未士/口x70
=1—（）==0.0951，即（）=0.9049，查表得心1.31,
105261010
解得x=83.1.
故设奖得分数线约为83.1分。
四、相关练习
一.选择：
1.正态曲线下、横轴上，从数学期望值到
的面积为（
）
A.95%B.50%C.97.5%D.不能确定（与标准差的大
小有关）
2.在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布（100,36），那么考试成绩在区
间88,112内的概率是（）A.0.6826B.0.3174C.0.9544D.0.9974
答案：
1.B2.C
二.填空：
3.如图，两个正态分布曲线图
若1为1,1（X）,2为22（x），贝U!
_2,12（填大于，小于）
4.已知正态总体落在区间0.2,的概率是0.5，那么相应的正态曲线在x
时达到最咼点。
答案：
3.小于大于4.0.2
三.解答题：
5.公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计
的。
如果某地成年男子的身高
〜N
（175,36）（单位：
cm）,则车门设计应
为多咼？
解:
设公共汽车门设计为
xcm
咼，依题意，
P
x0.01。
又~
N（175
36），知
175,
6
x175
所以
Px1P
x1
0.01
6
x175
x175
得
0.99
2.33,
所以——
2.33，
得x
18898
6
6
故公共汽车门的高度至少应设计为189cm。
6.某校高中二年级期末考试的物理成绩服从正态分布N（70,102）
（1）若参加考试的学生有100人，学生甲得分为80分，求学生甲的物理成绩排名；
（2）若及格（60分及其以上）的学生有101人，求第20名的物理成绩。
解：
（1）设排在学生甲前面的学生的物理成绩为分，则
又0.1610016，所以学生甲的物理成绩排名约为第17名
（2）设60分及以上的人的物理成绩为分，则
P
x1
x70
0167
10
x70
10
0833
0.97
可见及格的考生（101人）占全体考生的84.13%，因此考生总数约为
设第20名考生的成绩为x分，则有
x70
得p097，求出x797
所以第20名学生的物理成绩约为80分
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