同济第五版高数习题答案.docx

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同济第五版高数习题答案

习题7-1

1.设u=a−b+2c,v=−a+3b−c.试用a、b、c表示2u−3v.

解2u−3v=2（a−b+2c）−3（−a+3b−c）=2a−2b+4c+3a−9b+3c=5a−11b+7c.

2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试用向量证明这是平行四边形.

证明;,

而,,

所以.

这说明四边形ABCD的对边AB=CD且AB//CD,

从而四边形ABCD是平行四边形.

3.把ΔABC的BC边五等分,设分点依次为D1、D2、D3、D4,再把各分点与点A连接.试以、表示向量、、A3、A4.

解,

.

4.已知两点M1（0,1,2）和M2（1,−1,0）.试用坐标表示式表示向量及.

解,.

5.求平行于向量a=（6,7,−6）的单位向量.

解,

平行于向量a=（6,7,−6）的单位向量为或.

6.在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限？

A（1,−2,3）;B（2,3,−4）;C（2,−3,−4）;D（−2,−3,1）.

解A在第四卦限,B在第五卦限,C在第八卦限,D在第三卦限.

7.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？

指出下列各点的位置:

A（3,4,0）;B（0,4,3）;C（3,0,0）;D（0,−1,0）.

解在xOy面上,的点的坐标为（x,y,0）;在yOz面上,的点的坐标为（0,y,z）;在zOx面上,的点的坐标为（x,0,z）.

在x轴上,的点的坐标为（x,0,0）;在y轴上,的点的坐标为（0,y,0）,在z轴上,的点的坐标为（0,0,z）.

A在xOy面上,B在yOz面上,C在x轴上,D在y轴上.

8.求点（a,b,c）关于

（1）各坐标面;

（2）各坐标轴;（3）坐标原点的对称点的坐标.

解

（1）点（a,b,c）关于xOy面的对称点为（a,b,−c）;点（a,b,c）关于yOz面的对称点为（−a,b,c）;点（a,b,c）关于zOx面的对称点为（a,−b,c）.

（2）点（a,b,c）关于x轴的对称点为（a,−b,−c）;点（a,b,c）关于y轴的对称点为（−a,b,−c）;点（a,b,c）关于z轴的对称点为（−a,−b,c）.

（3）点（a,b,c）关于坐标原点的对称点为（−a,−b,−c）.

9.自点P0（x0,y0,z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线,写出各垂足的坐标.

解在xOy面、yOz面和zOx面上,垂足的坐标分别为（x0,y0,0）、（0,y0,z0）和（x0,0,z0）.

在x轴、y轴和z轴上,垂足的坐标分别为（x0,0,0）,（0,y0,0）和（0,0,z0）.

10.过点P0（x0,y0,z0）分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面,问在它们上面的点的坐标各有什么特点？

解在所作的平行于z轴的直线上,点的坐标为（x0,y0,z）;在所作的平行于xOy面的平面上,点的坐标为（x,y,z0）.

11.一边长为a的立方体放置在xOy面上,其底面的中心在坐标原点,底面的顶点在x轴和y轴上,求它各顶点的坐标.

解因为底面的对角线的长为,所以立方体各顶点的坐标分别为

,,,

,,.

12.求点M（4,−3,5）到各坐标轴的距离.

解点M到x轴的距离就是点（4,−3,5）与点（4,0,0）之间的距离,即

.

点M到y轴的距离就是点（4,−3,5）与点（0,−3,0）之间的距离,即

.

点M到z轴的距离就是点（4,−3,5）与点（0,0,5）之间的距离,即

.

13.在yOz面上,求与三点A（3,1,2）、B（4,−2,−2）和C（0,5,1）等距离的点.

解设所求的点为P（0,y,z）与A、B、C等距离,则

.

由题意,有

即

解之得y=1,z=−2,故所求点为（0,1,−2）.

14.试证明以三点A（4,1,9）、B（10,−1,6）、C（2,4,3）为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.

解因为

所以,.

因此ΔABC是等腰直角三角形.

15.设已知两点和M2（3,0,2）.计算向量的模、方向余弦和方向角.

解;

;

,;

,.

16.设向量的方向余弦分别满足

（1）cosα=0;

（2）cosβ=1;（3）cosα=cosβ=0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？

解

（1）当cosα=0时,向量垂直于x轴,或者说是平行于yOz面.

（2）当cosβ=1时,向量的方向与y轴的正向一致,垂直于zOx面.

（3）当cosα=cosβ=0时,向量垂直于x轴和y轴,平行于z轴,垂直于xOy面.

17.设向量r的模是4,它与轴u的夹角是60°,求r在轴u上的投影.

解.

18.一向量的终点在点B（2,−1,7）,它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,−4,7.求这向量的起点A的坐标.

解设点A的坐标为（x,y,z）.由已知得

解得x=−2,y=3,z=0.点A的坐标为A（−2,3,0）.

19.设m=3i+5j+8k,n=2i−4j−7k和p=5i+j−4k.求向量a=4m+3n−p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

解因为a=4m+3n−p=4（3i+5j+8k）+3（2i−4j−7k）−（5i+j−4k）=13i+7j+15k,

所以a=4m+3n−p在x轴上的投影为13,在y轴上的分向量7j.

习题7−2

1.设a=3i−j−2k,b=i+2j−k,求

（1）a⋅b及a×b;

（2）（−2a）⋅3b及a×2b;（3）a、b夹角的余弦.

解

（1）a⋅b=3×1+（−1）×2+（−2）×（−1）=3,

.

（2）（−2a）⋅3b=−6a⋅b=−6×3=−18,

a×2b=2（a×b）=2（5i+j+7k）=10i+2j+14k.

（3）.

2.设a、b、c为单位向量,且满足a+b+c=0,求a⋅b+b⋅c+c⋅a.

解因为a+b+c=0,所以（a+b+c）⋅（a+b+c）=0,

即a⋅a+b⋅b+c⋅c+2a⋅b+2a⋅c+2c⋅a=0,

于是.

3.已知M1（1,−1,2）、M2（3,3,1）和M3（3,1,3）.求与、同时垂直的单位向量.

解,.

为所求向量.

4.设质量为100kg的物体从点M1（3,1,8）沿直线称动到点M2（1,4,2）,计算重力所作的功（长度单位为m,重力方向为z轴负方向）.

解F=（0,0,−100×9.8）=（0,0,−980）,.

W=F⋅S=（0,0,−980）⋅（−2,3,−6）=5880（焦耳）.

5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处,有一与成角θ1的力F1作用着;在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处,有一与成角θ1的力F1作用着.问θ1、θ2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？

解因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零,再注意到对力矩正负的规定可得,使杠杆保持平衡的条件为

x1|F1|⋅sinθ1−x2|F2|⋅sinθ2=0,

即x1|F1|⋅sinθ1=x2|F2|⋅sinθ2.

6.求向量a=（4,−3,4）在向量b=（2,2,1）上的投影.

解.

7.设a=（3,5,−2）,b=（2,1,4）,问λ与μ有怎样的关系,能使得λa+μb与z轴垂直?

解λa+μb=（3λ+2μ,5λ+μ,−2λ+4μ）,

λa+μb与z轴垂⇔λa+μb⊥k

⇔（3λ+2μ,5λ+μ,−2λ+4μ）⋅（0,0,1）=0,

即−2λ+4μ=0,所以λ=2μ.当λ=2μ时,λa+μb与z轴垂直.

8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.

证明设AB是圆O的直径,C点在圆周上,则,.

因为,

所以,∠C=90°.

9.设已知向量a=2i−3j+k,b=i−j+3k和c=i−2j,计算:

（1）（a⋅b）c−（a⋅c）b;

（2）（a+b）×（b+c）;（3）（a×b）⋅c.

解

（1）a⋅b=2×1+（−3）×（−1）+1×3=8,a⋅c=2×1+（−3）×（−2）=8,

（a⋅b）c−（a⋅c）b=8c−8b=8（c−b）=8[（i−2j）−（i−j+3k）]=−8j−24k.

（2）a+b=3i−4j+4k,b+c=2i−3j+3k,

.

（3）,

（a×b）⋅c=−8×1+（−5）×（−2）+1×0=2.

10.已知,,求ΔOAB的面积.

解根据向量积的几何意义,表示以和为邻边的平行四边形的面积,于是ΔOAB的面积为

因为,,

所以三角形ΔOAB的面积为

.

12.试用向量证明不等式:

其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为任意实数,并指出等号成立的条件.

解设a=（a1,a2,a3）,b=（b1,b2,b3）,则有

于是,

其中当=1时,即a与b平行是等号成立.

习题7−3

1.一动点与两定点（2,3,1）和（4,5,6）等距离,求这动点的轨迹方程.

解设动点为M（x,y,z）,依题意有

（x−2）2+（y−3）2+（z−1）2=（x−4）2+（y−5）2+（z−6）2,

即4x+4y+10z−63=0.

2.建立以点（1,3,−2）为球心,且通过坐标原点的球面方程.

解球的半径,

球面方程为

（x−1）2+（y−3）2+（z+2）2=14,

即x2+y2+z2−2x−6y+4z=0.

3.方程x2+y2+z2−2x+4y+2z=0表示什么曲面?

解由已知方程得

（x2−2x+1）+（y2+4y+4）+（z2+2z+1）=1+4+1,

即,

所以此方程表示以（1,−2,−1）为球心,以为半径的球面.

4.求与坐标原点O及点（2,3,4）的距离之比为1:

2的点的全体所组成的曲面的方程,它表示怎样曲面？

解设点（x,y,z）满足题意,依题意有

化简整理得

它表示以为球心,以为半径的球面.

5.将zOx坐标面上的抛物线z2=5x绕x轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.

解将方程中的z