相交与垂直教学设计综述.docx

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相交与垂直教学设计综述

“相交与垂直”教学设计综述

研究已公开发表的教学设计，是我们研究一节课的重要途径。

因为这不仅可以使我们从中了解这些名家的对这节课的思考，取其精华，而且可以使我们总体上把握对不同的教学类型，从而做到心中有数。

笔者查阅了80年代以来公开发表的有关“相交与垂直”的教学设计共28篇。

这些教学设计按内容可分为两类：

把“垂直”作为单独一课教学、把“垂直”与“平行”放在同一课内学习。

笔者将对这两类教学设计分别进行综述。

一、“垂线”教学设计综述

把“垂直”作为单独一课教学的教学设计共查到15篇，它们的学习内容主要有两块：

垂直的概念与垂线的画法。

笔者将从概念的引入、概念的形成、概念的巩固、概念的应用（即垂线的画法）四个方面分别加以阐述。

1、概念的引入方式主要有哪些？

各有什么特点？

从概念的引入途径看，引入方式主要有三类：

复习引入、操作引入、情境引入。

（1）复习引入

复习引入主要是复习与垂直有关的数学知识，如直线、线段、角、两条直线相交并量一量相交所成的四个角等，然后引出垂直。

如特级教师钱守旺在《小学数学教育》1994年第4期发表的“垂线”教学设计是这样引入的：

钱老师先复习角的类型，再计算相交之后各个角的大小，然后让学生用三角板画一个90度的角，并指出角的两条边。

钱老师通过这些复习，给新知识做好了铺垫：

角的类型的复习，是为了观察相交所成的四个角；计算相交所成角的度数，是为了计算当其中一个角是直角时其他三个角的度数，体会垂直的本质属性所准备；而用三角板画直角，既是为了垂直的定义准备，同时为了画垂线做准备。

在复习了相关知识之后，钱老师通过两条直线相交旋转成两条直线垂直，从而引出新的知识。

复习引入，注重知识之间的内在联系，为新知识的学习做好铺垫。

（2）操作引入

操作引入主要是通过操作活动，直接引出相交与垂直，从而展开新知识的学习。

如谢蕊老师在《小学数学教育》1995年第7~8期中发表的“垂线”教学设计中用“摆纸条”引入的。

谢老师先让每位学生把两根纸条当作两条直线摆一摆，要求形成四个角，然后引出“相交”与“垂直”。

又如，李七键老师编著的《小学数学教学设计大全》中收录的“垂线”一课是这样引入的：

教师先让每个学生用一张正方形纸来折角，每人只能折两次，但两条折痕处要形成四个角；然后把折出的四个角用彩笔画一画，展示不同的折法，从而引出“相交”与“垂直”。

通过操作活动增强了学生的直观体验，同时，学习材料是由学生实时生成的，更有利于激发学生的学习兴趣。

（3）情境引入

情境引入就是通过生活情境来引入新课。

情境引入的教学设计共有5篇，都是2000年以后发表了，可能也是体现了新课程标准的理念，即“结合生活情境了解平面上两条直线的平等和相交（包括垂直）关系”。

根据情境所发挥的作用不同，又可以把这些教学设计分为三类。

第一类是用情境来设疑提问，激发学生的学习兴趣。

如，王庆老师在《四川教育》2000年第6期发表的“垂线的认识”教学设计中创设了这样一个情境：

植树节两个小朋友植树（多媒体演示），一棵树栽得很“直”，一棵树栽得有点“斜”。

然后教师引导学生观察并思考“哪一个小朋友栽得好?

哪一个小朋友栽得不好?

为什么?

”学生回答后，教师指出：

一棵树栽得很“直”，是因为这棵树的树干垂直于地面，一棵树栽“斜”了，是因为这棵树的树干不与地面垂直。

可见，研究“垂直”问题在生产和生活中有重要的意义。

从而引出“垂直”。

又如，《读讲精练教学理论与实践》一书收录的吴阳民老师关于“垂直”一课教学设计中的引入部分是这样设计的：

第二类是从生活情境中抽象出数学图形，从而引出相交与垂直。

如朱向明老师在《江苏教育——小学数学教学版》2008年第7~8期中关于苏教版“平行与相交”备课参考中对“垂直”是这样引入的：

第三类是作为问题解决模式的生活情境，即不仅从生活情境中抽象出数学图形，并且根据生活情境提出数学问题，并在学习新知之后解决这一问题。

如蔡娟老师在《小学数学教师》2003年第4期发表的《注重生活应用，体现数学魅力——“垂线的认识与画法”教学例谈》一文中设计了这样一个问题情境：

安装电表铺水管，设计管道铺设方案；反馈各种不同的方案，思考哪一种方案的材料最省，然后引出“垂直”。

在学习点到直线的距离之后，老师又回到问题情境中，让学生来解释哪一种方案材料最省。

通过这个生活情境的引入，不仅激发了学生的学习兴趣，引出了要学的知识，而且让学生经历了问题解决的过程，体验了数学知识的实际应用价值。

我们知道，“相交”是学习“垂直”的基础，因此，这些教学设计在学习垂直之前都先认识“相交”。

那么，如何从“相交”过渡到“垂直”呢？

从这个角度出发，我们可以把概念引入可分为两大类：

和。

静态抽象方式就是指“垂直”与“相交”相对独立的，我们可以从具体的生活情境中抽象出“相交”与“垂直”，也可以通过学生摆一摆、折一折等操作活动直接呈现“相交”与“垂直”。

动态形成方式就是通过动态的演示，把两条直线“相交”过渡到两条直线“垂直”。

如上文提到的特级教师钱守旺在这个环节中是这样设计的：

有的老师为了让学生经历从“相交”到“垂直”的过程更充分些，让学生自己思考：

如何使相交所成的四个角相等？

然后通过不同方法的旋转，引出“垂直”。

如《小学数学课堂教学设计》中关于“垂直”的教学设计片段：

显然，通过动态演示从“相交”过渡到“垂直”，更有利于学生理解“垂直”是“相交”的特殊形式，同时在这个过程中，对“垂直”的本质属性的体验进一步加深。

2、概念的形成过程是否相同？

各有什么特点？

概念的形成是概念教学的核心。

这些教学设计都重视让学生经历概念形成的过程，但在具体的操作程序或方式上，它们还是有区别的。

笔者将从概念的体验、概念的揭示、概念的强化等方面分别进行阐述。

（1）概念的体验

概念的体验就是对“垂直”概念的本质属性的体验，即体验两条直线相交成直角。

从这些教学设计看，体验可分为以下三个层次：

直观判断层次。

即教师让学生直观判断两条直线相交是否成直角？

其他三个角是否也是直角？

在此基础上教师揭示垂直概念。

操作验证层次。

即教师让学生通过用三角板或量角器量一量相交所成的角是否是直角，从而加深对“直角”的体验。

显然，通过学生动手操作，经历验证是否是直角的过程，比直观判断的体验更为深刻。

大部分教学设计都采用这种方式。

逻辑推理层次。

即教师让学生通过数学化的推理，得到当两条直线相交其中一个角为直角时，其他三个角也都是直角。

如《名师课堂实录》一书中卢淑春老师在“垂线的认识”教学设计中对这一环节是这样安排的：

显然，通过数学化的逻辑推理，不仅加深了学生对相交成直角的体验，而且发展了学生的数学推理能力。

（2）概念的揭示

从概念的揭示过程看，这些教学设计主要采用了三种方式：

教师正面揭示概念、学生抽象概括概念、学生自学口述概念。

教师正面揭示概念往往是在学生已经体验到垂直的本质属性（即两条直线相交成直角）之后，教师直接口述揭示概念（如钱守旺老师）。

学生抽象概括概念是指在学生充分感知“垂直”的本质属性的基础上，教师只揭示“互相垂直”的名称，而让学生通过比较概括，补充“互相垂直”的内涵。

（如蔡娟老师）

学生自学口述概念是指教师先布置自学的任务，让学生围绕问题进行自学，然后通过反馈来揭示概念。

（如卢淑春老师）

（3）概念的强化

概念的强化是指当揭示概念之后，如何促使学生进一步理解概念。

从这些教学设计看，老师们通常采用以下方式：

a）复述概念。

即教师在揭示概念之后，让学生自己再来说说什么叫“互相垂直”、“垂线”、“垂足”。

通过学生的复述，学生用语言把概念表达出来，表达的完整程度，一定程度是体现了他对概念的内化程度。

b）追问辨析。

即在学生明确概念之后，教师通过追问，让学生进一步辨析概念，明确概念的内涵。

如教师追问：

为什么说是“互相”垂直？

能不能说直线a是垂线？

这两条直线（相交）的交点是垂足吗？

c）举例说明。

即教师让学生以一组已知的互相垂直的直线为例，根据上述概念来说一说这两条直线的关系，并指出它们的垂足。

通过举例说明，使学生进一步熟练表达概念，明确概念之间的逻辑关系。

3、概念的巩固阶段，这些教学设计有什么共同点与特色？

这些教学设计在概念的巩固阶段，大都安排了以下类型的练习：

（1）生活举例。

即教师在学生学习了垂直概念之后，让学生找一找生活中垂直的现象，并利用概念说说“谁与谁互相垂直”、“谁是谁的垂线”、“垂足在哪里”等。

从抽象的概念回到生活原型，就是把数学知识与学生的实际生活经验相结合，从而对概念进行内化。

（2）变式判断。

即教师让学生进行图形的判断，是否是互相垂直。

如黄辉老师在《中小学教学》（小学版）1998年第5期发表的《“垂直”教学设计与评析》中设计了如下练习：

通过学生判断与验证，进一步强化了对垂直概念的理解。

其中，第4组是第一组的变式，因为它的方向已经改变，但它们的位置关系没有改变，相交的角仍然是直角，进一步巩固垂直的本质属性。

又如，钱守旺老师在概念巩固阶段安排了这样的练习：

在这组练习中，不仅有方向的变式，还有图形的变式：

图3、4、6相交形成的角已经不再是4个了，但它们的位置关系仍然没有变，即相交成直角，从而进一步巩固概念的本质属性。

通过上面的例子我们可以发现，变式练习不仅巩固了垂直概念的内涵，而且拓展了垂直概念的外延，从而使垂直概念的建立更全面。

在练习巩固阶段，还有些教学设计特别注重从两条直线垂直过渡到两条线段垂直，从而避免“垂直一定相交成四个直角”的认识误区。

如黄丽华老师在《小学数学教育》1995年第1期《垂线》教学设计中是这样安排的：

4、在垂线的画法教学方面有哪些类型？

各有什么特色？

在垂线的画法方面，这些教学设计也各有特色。

笔者将从教学方式、操作工具、教学内容等方面分别加以阐述。

（1）教学方式

从教学方式上看，大致可分为以下三类：

a）自学型。

即教师先让学生自学课本，根据书上的图示尝试练习，然后教师进行讲评演示。

如吴阳民老师的教学设计片段：

这种教学方式，强调学生自学为先，能充分发挥学生学习的自主性与教材的作用，培养学生的自学能力。

b）讲解型。

即教师先演示讲解操作步骤，然后让学生进行模仿练习。

李丽英老师在《小学数学教育》1995年第5期的教学设计中有这样的片段：

这种教学方式，能充分发挥教师的主导作用，教学的时间相对比较节省，但学生学习的自主性、创造性较难发挥。

c）尝试型。

即教师先让学生进行尝试，学生可能选用不同的工具、不同的方法画垂线，然后进行反馈、讲评、纠正。

如蔡娟老师的教学设计片段：

这种教学方式基于学生对垂直概念的理解，能充分调动学生的主观能动性，培养学生的发散思维、创新精神及实践能力。

（2）操作工具

从操作工具上看，教师都采用一把三角板来教学画垂线的。

但有的教学设计在画垂线之前先介绍工具，并解释为什么可以利用这些工具画垂线，在为画垂线方法铺垫的同时，进一步了巩固垂直概念。

如钱守旺老师在教学画垂线之前先提出问题：

“我们可以用三角板画垂线。

想一想为什么用三角板能画垂线？

”

（3）教学内容

从教学内容看，我们可以把这些教学设计分成三类：

第一类，先学习画已知直线的垂线，再学习过直线上一点画已知直线的垂线，最后学习过直线外一点画已知直线的垂线；第二类，先学习画已知直线的垂线，然后把过直线上一点与直线外一点画垂线放在一些学习；第三类，直接从过直线上一点画垂线开始教学，再学习过直线外一点画已知直线的垂线。

15篇教学设计按上述分类整理如下：

类别

教学设计

第1类

朱向明：

江苏教育小学教学版2008.7~8

周兆华：

湖南教育1994.4

李丽英：

小学数学教育1995.1

黄丽华：

小学数学教育1995.1

谢蕊：

小学数学教育1995.7~8

卢淑春：

名师课堂录

第2类

蔡娟：

小学数学教师2003.4

第3类

王庆：

四川教育2000.6

杨艳：

小学数学教育2005.5

钱守旺：

小学数学教育1994.4

黄辉/陈松坡：

中小学教学1998.5

邹庆禅：

名师课堂录

李七健：

小学教学设计大全

陈植根：

小学数学课堂教学设计

吴旭民：

读讲精练教学法的理论与实践

笔者比较欣赏蔡娟老师的设计，不仅是因为她的设计与众不同，更重要的是过直线上一点与过直线外一点画已知直线的垂线在具体操作步骤上是完全相同的，是可以放在一些教学的，这样设计教学时间会比较节约。

二、典型教学设计案例（见附录）

1、问题解决型（蔡娟）

2、自主学习型（周兆华）

3、精讲精练型（钱守旺）

三、“平行与垂直”教学设计综述

笔者查阅“平行与垂直”（或“平行与相交”）教学设计共13篇，从作者看，其中3篇是新教师设计的，刊登在《湖南教育》2007年第7期上，是用来讨论的对象；有3篇类同，都是由陈华忠老师设计或指导的。

从所选用的教材看，11篇选用人教版教材，1篇选用青岛版教材，1篇没有注明（特级教师范新林设计）。

从发表的时间看，都是在2005年之后发表的，也就是在新课程改革的背景下，把“平行”与“垂直”放在同一课内学习。

当然，这也与他们选用的教材有关。

从教学的内容看，这些教学设计都安排“平行”与“垂直”的概念，没有涉及它们的画法。

下面，笔者就课的引入、概念的引入、概念的巩固等方面进行阐述。

1、课的引入

从课的引入环节的设计看，这些教学设计大致有三类：

生活情境引入、数学活动引入、复习引入。

生活情境引入。

创设一个生活情境，让学生体验数学来源于生活，同时需要学生从具体情境中抽象出数学图形。

如两支笔掉地上了，会出现怎么样的情况，用笔或小棒摆一摆，并把不同的摆法画下来（这个情境是采用最多的）；再如，设计大桥，桥面怎么设计，引出平行。

数学活动引入。

创设一个数学活动，让学生在数学活动中展开学习。

如用正方形纸折一折，折两次，看折痕有哪些不同的情况；又如，先让学生想一想，平面内的两条直线有哪几种情况，然后画一画。

复习引入。

如先在画板上画一条直线，复习直线有什么特征，然后思考：

如果再画一条直线，两条直线的位置会有哪些不同的情况？

引入新课。

因为平行与垂直是研究平面内两条直线的位置情况，因此，先从一条直线出发，复习直线的意义，既是为了引出两条直线，更重要的是为认识“看上去不相交的两条直线延长后会相交”这一知识点作好铺垫。

上文提到的三种具体的引入方法：

摆小棒、折纸、“想一想，画一画”，它们在教学中所起的作用有哪些共同点与区别？

笔者认为，它们的共同点在于：

都是为进一步学习提供丰富的学习材料，且学习材料是由学生在课堂内动态生成的，充分体现了“以生为本”的教学理念，发挥学生的主观能动性。

它们的区别在于：

“摆小棒”与“折纸”虽然都是动手操作，但“摆小棒”是把两根小棒当作两条直线，而这两条“直线”是现成的，学生摆的过程就在思考两条直线的位置关系；而“折纸”是把折痕当作两条直线，不同的折法所呈现的两条“直线”的位置关系也就可能不同，但在操作的过程中思考“两条直线的位置关系”相对比较弱。

而以“想一想，画一画”引入，两条直线不是“现呈”的，是不能直观可操作的，而是需要在头脑中想象的，因此，它能更好地发展学生的空间想象能力。

2、概念的引入

从概念的引入看，除了有两篇是先学习平行再学习垂直外，其余都是分类引入的。

即在学生操作活动提供丰富的学习材料（两条直线位置关系的不同情况）基础上进行分类，分成相交与不相交；先研究不相交的情况，引出平行；再研究相交中的特例，引出垂直。

但在具体的教学过程中，这些教学设计还是有区别的，主要体现在以下几方面：

（1）在引出平行的过程中是“一次分类”还是“二次分类”？

“一次分类”是把平面内两条直线的位置情况直接分成相交与不相交，不相交的这类就是平行。

“二次分类”是先把各种情况分成看上去相交与不相交；然后在看上去不相交的这类中进一步分类，即在一类是延长后会相交，另一类是延长后不会相交，对第一次分类进行调整；之后从延长后不会相交的这类引出平行。

这两种设计的主要区别在于对“延长后会相交”的这类是先考虑还是后考虑。

笔者还是比较欣赏“二次分类”，因为人的认识从直观到抽象是一个渐进的过程，第一次分类是直观地判断两条直线有没有相交，第二次分类是需要进行空间的想象，即要思考把两条直线延长之后会情况。

通过二次分类，可以进一步凸显平行的本质属性。

（2）垂直是从相交中找特例引出的，还是把相交分类引出的？

“垂直”概念的引入也有两种不同的情况。

一种是从相交的图形中找出特例，即相交成直角，引出垂直。

如樊曹阳老师的设计片段：

第二种是把相交的各种图形再次分类，即相交成直角的为一类，非直角的为一类。

如林玉春老师的设计片段：

那么，哪一种引入方式比较好呢？

第一种引入，比较突出垂直是相交的一种特殊情况；第二种引入，比较突出垂直的本质属性，因为它是通过概括得出相交成直角的。

笔者比较欣赏第一种引入。

因为第二种引入方法比较容易把相交与垂直割裂开来，而且从分类的角度讲，相交与垂直是从属关系不是并列关系，分类的标准一般不用“A”与“非A”。

3、概念的巩固

从概念的巩固看，这些教学设计的练习设计的相似程度较高，这可能与所选用的教材有关。

主要有以下几类：

（1）找一找。

这类练习有三种形式，即：

教师提供生活情境中，让学生在情境图中找一找（垂直与平行）；让学生自己举例，结合周围的生活情境找一找；教师提供数学图形，让学生在图形中找一找。

（2）辨一辨。

这类练习也有三种形式，即：

教师举例让学生辨一辨；教师呈现不同的图形，让学生辨一辨；教师呈现文字表述，让学生辨一辨。

（3）做一做。

这类练习是属于动手操作，一般也有两种形式：

用纸折一折，使折痕是平行或垂直；用小棒摆一摆，摆出垂直与平行，并验证。

（4）用一用。

即把平行与垂直概念运用到实际生活中去，体验平行与垂直的实际运用价值。

如贴挂图的练习，如何让挂图在黑板上贴得正？

学生可以运用平行的概念，即让挂图的横边与黑板的横边平行；也可以运用垂直的概念，即让挂图的竖边与黑板的横边垂直。

如谢玉娓老师的设计片段：

四、“平行与垂直”典型教学设计。

1、分类辨析型（范新林）

2、动手操作型（樊曹阳）