黄冈中学届高三数学理科试题.docx
《黄冈中学届高三数学理科试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黄冈中学届高三数学理科试题.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
黄冈中学届高三数学理科试题
湖北省黄冈中学2010届高三10月份月考
数学理科试题
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{
}
3,2a
M=,{},Nab=,若{}2MN=,则MN=
A.{}1,2,3
B.{}0,2,3
C.{}0,1,2
D.{}0,1,3
1答案:
A
解析:
由题易知1,2ab==.
2.已知ABC∆中,12
cot5
A=-,则cosA=A.1213B.513C.513-D.1213
-
2答案:
D解析:
由12
cot5
A=-知A为钝角,又cos12cotsin5AAA=
=-,22sincos1AA+=求得12
cos13
A=-
.3.已知两点（4,9（2,3PQ--,,则直线PQ与y轴的交点分有向线段PQ
的比为
A.
13B.1
2
C.2D.33答案:
C
解析:
设所求的分比为λ,则由4（2021λ
λλ
+-=
⇒=+.
4.记等比数列{}na的公比为q,则“1q>”是“*1（nnaanN+>∈”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
4答案:
D
解析:
可以借助反例说明:
①如数列:
1,2,4,8,----公比为2,但不是增数列;
②如数列:
1111,,,,248----是增数列,但是公比为1
12
<.
5.已知函数（yfx=
的图象与函数21logy=-+的图象关于直线yx=对称,则（1fx-=
A.4x
B.1
4
x+C.2xD.1
2
x+
5答案:
A
解析:
由题1（4xfx+=,故（14xfx-=.
6.同时具有性质:
“①最小正周期为π;②图象关于直线3
xπ
=对称;③在,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上是增函数”的一个函数是
A.sin（26xyπ=+B.sin（23
yxπ
=+C.sin（26yxπ=-D.5sin（26
yxπ
=+
6答案:
C
解析:
逐一排除即可.
7.已知函数213
（log（2fxxx=+,则（fx的单调增区间为
A.1（,4-∞-B.1（,4-+∞C.（0,+∞D.1（,2
-∞-7答案:
D
解析:
令2
20xx+>且14x<-
即得（fx的单调增区间为1（,2
-∞-.8.已知ABC、、是锐角ABC∆的三个内角,向量（1sin,1cosAA=++p,（1sin,1cosBB=+--q,则p与q的夹角是
A.锐角B.钝角C.直角D.不确定8答案:
A
解析:
锐角ABC∆中,sincos0,sincos0ABBA>>>>,
故有（1sin（1sin（1cos（1cos0ABAB⋅=++-++>pq,同时易知p与q方向不相同,故p与q的夹角是锐角.
9.设G是ABC∆的重心,且（56sin（40sin（35sin0AGABGBCGC++=
则B的大
小为
A.45°B.60°C.30°D.15°9答案:
B
解析:
由重心G满足0GAGBGC++=
知,56sin40sin35sinABC==
同时由正弦定理,
sinsinsin564035
ABC
==
故可令三边长111,,564035akbkck===取578k=⨯⨯,则5,7,8abc===,借助余弦定理求得1
cos2
B=.
10.数列{}na满足2*
113,1（2nnnaaaanN+==-+∈,则122009
111maaa=+++的整数
部分是
A.0B.1C.2D.3
10答案:
B
解析:
由题1（11nnnaaa+=-+,则
11111111
1
111
nnnnnnaaaaaa++=
-⇒=-
----,故有1201020101112111maaa=
-=----,由于337216a=>且1nnaa+>,故20101
（0,11
a∈-,所以（1,2m∈,其整数部分是1.
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.11.已知1sin（6
3π
α-=
则2cos（
23
π
α+=11答案:
7
9-
.解析:
22cos（22cos（133ππαα+=+-,且1cos（sin（363ππαα+=-=所以27cos（239
πα+=-.12.已知向量（2,3=a,（2,1=-b,则a在b方向上的投影等于.
12
答案:
5
-
解析:
a在b
方向上的投影为cos,===ababaabaabb13.已知函数（cos（fxAxωϕ=+的图象如图所示,2
（2
3
fπ
=-
则（0f=
13答案:
2
3
解析:
由图象可得最小正周期为23
π.所以2（0（
3ffπ=,注意到23π与2
π关于712π对称,故22（（323ffππ=-=.14.已知数列{}{}nnab、都是公差为1的等差数列,其首项分别为11ab、
且115ab+=,*11abN∈、.设*（nnbcanN=∈,则数列{}nc的前10项和为.
14答案:
85
解析:
设11naan=+-,11nbbn=+-,则1111（113nbncaabnn+-==++--=+.
所以10（41310
852
S+⨯=
=.
15.已知函数（22
sin122x
fxxxxπ=
+-+.（Ⅰ方程（0fx=在区间[100,100]-上实数解的个数是__________;（Ⅱ对于下列命题:
①函数（fx是周期函数;
②函数（fx既有最大值又有最小值;
③函数（fx的定义域是R,且其图象有对称轴;
④对于任意（1,0,（0xfx'∈-<（（fx'是函数（fx的导函数.其中真命题的序号是.（填写出所有真命题的序号15答案:
201;②③
解析:
（Ⅰ由于2210,220xxx+>-+>,故（0sin0,fxxxkkZπ=⇒=⇒=∈在[100,100]-中的整数个数201N=
故（0fx=在区间[100,100]-上实数解的个数为201.
（Ⅱ命题①:
由分母为22
（1（11xx⎡⎤+-+⎣⎦,易知（fx不是周期函数,故为假命题;
命题②:
由于（fx是R上的连续函数,且lim（lim（0xxfxfx→+∞
→-∞
==,可知（fx既有最大
值又有最小值,故为真命题;命题③:
由于2222
sinsin（（1（22（1（11xx
fxxxxxxππ=
=+-+⎡⎤+-+⎣⎦
故（fx的定义域是R看到22
（1（11yxx⎡⎤=+-+⎣⎦的对称轴为12x=
且1
2
x=为sinyxπ=的一条对称轴故1
2
x=
为（fx图象的对称轴,故为真命题;命题④:
由（fx在定义域R上连续,且（1（00ff-==,可知（fx不可能在（1,0-上为减函数,故为假命题.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本题满分12分
ABC∆中,角ABC、、的对边分别为abc、、,且lglglgcoslgcos0abBA-=-≠.
（1判断ABC∆的形状;
（2设向量（2,ab=m,（,3ab=-n,且⊥mn,（（14+⋅-+=mnmn,求,,abc.
16解:
（1由题lglgcoslglgcosaAbB+=+,故coscosaAbB=,由正弦定理sincossincosAABB=,即2sin2sinAB=.又cos0,cos0AB>>,故,（0,
2
ABπ
∈,2,2（0,ABπ∈
因abAB≠⇒≠,故22ABπ=-.即2
ABπ
+=,故ABC∆为直角三角形...............6
分
（2由于⊥mn,所以22
230ab-=①
且22（（14+⋅-+=-=mnmnnm,即22
8314ba-=②
联立①②解得226,4ab==,故在直角ABC∆
中,2,abc===......12分
17.（本题满分12分
已知函数2
2（sincos（cos44
fxxxxxπ
π
=++
--.（1求函数（fx的最小正周期和单调递减区间;（2求（fx在25（,1236
ππ
-
上的值域.
17解:
（1
2
2（sincos（cos44
fxxxxxπ
π
=++
---
2（cos22cos22sin（246
xxxxxππ
=+--=-=-
..............3
分
故函数（fx的最小正周期22
Tπ
π==令3222,262kxkkZπππππ+≤-≤+
∈,得5（36
kxkkZππ
ππ+≤≤+∈故（fx的单调递减区间为5,（3
6kkkZπ
πππ⎡
⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
...............6分
（2当25（,
1236xππ
∈-
知112（,6
39xπ
ππ
-
∈-
故sin（2（6xπ-∈.所以（fx在25（,1236
ππ
-
上的值域是（...............12
分
18.（本题满分12分
已知ABC∆中,8,3,7ABACBC===,A为圆心,直径4PQ=,求BPCQ⋅
的最大值、最小值,并分别指出取得最值时BC与PQ
夹角的大小.
18解:
在ABC∆中,由余弦定理知2228371
cos2832
BAC+-∠=
=⨯⨯,故60BAC∠=.............3
分
所以（（BPCQBAAPCAAQBACAAPAQAPCABAAQ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅
=1124（882
AQBAACAQBCPQBC-+⋅+=+⋅=+⋅
..........7
分
故BPCQ⋅的最大值为1
847222
+⨯⨯=,此时BC与PQ夹角为0.
BPCQ⋅的最小值为1
84762
-⨯⨯=-,此时BC与PQ夹角为π..........12
分
19.（本题满分12分
已知二次函数2
（（0fxxaxaa=-+≠,不等式（0fx≤的解集有且只有一个元素,设数
列{}na的前n项和为（nSfn=.（1求数列{}na的通项公式;
（2设各项均不为0的数列{}nc中,满足10iicc+⋅<的正整数i的个数..
称作数列{}nc的变号数,令*1（nn
a
cnNa=-
∈,求数列{}nc的变号数.19解:
（1由于不等式（0fx≤的解集有且只有一个元素,404aaa2
∴∆=-=⇒=故2
（44fxxx=-+...................2分
由题2
2
44（2nSnnn=-+=-
则1n=时,111aS==;2n≥时,2
2
1（2（325nnnaSSnnn-=-=---=-
故1
（125（2
nnann=⎧=⎨-≥⎩...................6
分
（2由题可得,3
14
1225
nncnn-=⎧⎪
=⎨-≥⎪-⎩由1233,5,3ccc=-==-,所以1,2ii==都满足10iicc+⋅<..............8分
当3n≥时,1nncc+>,且413c=-
同时4
10525
nn-
>⇒≥-,可知4i=满足10iicc+<;5n≥时,均有10nncc+>.
∴满足10iicc+<的正整数1,2,4i=,故数列{}nc的变号数3.............12分
20.（本题满分13分
已知函数[]1（（,1,13
x
fxx=∈-,函数2
（（2（3gxfxafx=-+的最小值为（ha.
（1求（ha的解析式;
（2是否存在实数,mn同时满足下列两个条件:
①3mn>>;②当（ha的定义域为[]
nm时,值域为22,nm⎡⎤⎣⎦?
若存在,求出,mn的值;若不存在,请说明理由.
20解:
（1由[]1
（（,1,13
x
fxx=∈-,知1（,33fx⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,令1（,33tfx⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
............1
分
记2
（23gxytat==-+,则（gx的对称轴为ta=,故有:
①当13a≤
时,（gx的最小值282（93
a
ha=-
②当3a≥时,（gx的最小值（126haa=-③当
1
33
a<<时,（gx的最小值2（3haa=-
综述,2
2821933
1
（3331263
aahaa
aaa⎧-≤
⎪⎪⎪=-<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩
............7分
（2当3a≥时,（612haa=-+.故3mn>>时,（ha在[],nm上为减函数.所以（ha在[],nm上的值域为[]（,（hmhn.............9分
由题,则有22
22
（612（612hmnmnhnmnm⎧⎧=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=-+=⎪⎪⎩⎩
两式相减得22
66nmnm-=-,又mn≠所以6mn+=,这与3mn>>矛盾.故不存在满足题中条件的,mn的值.
............13
分
21.（本题满分14分
已知数列{}na中,11a=,且21231
nnnn
aann--=+⋅-*（2,nnN≥∈.（Ⅰ求数列{}na的通项公式;
（Ⅱ令1
3nnn
ba-=*（nN∈,数列{}nb的前n项和为nS,试比较2nS与n的大小;
（Ⅲ令11nnacn+=
+*（nN∈,数列2
2（1
n
ncc-的前n项和为nT.求证:
对任意*nN∈,都有2nT<.
21解:
（Ⅰ由题21231nnnn
aann--=
+⋅-知,21231nnnaann--=+⋅-,由累加法,当2n≥时,22
122323231
nnaan--=+⨯+⨯++⨯
代入11a=,得2n≥时,112（131313
nnnan---=+=-又11a=,故1
*3（nnannN-=⋅∈.
................4分
（II*
nN∈时,131
nnnban
-==.
方法1:
当1n=时,121112S=+
>;当2n=时,22111
12234
S=+++>;当3n=时,321111111
132345678
S=+++++++<.
猜想当3n≥时,2nSn<.................6分
下面用数学归纳法证明:
①当3n=时,由上可知323S<成立;
②假设（3nkk=≥时,上式成立,即111
1232
kk+
+++<.当1nk=+时,左边111111
1232212
kk
k+=++++++++1112121221
k
kkkkkk+<+++<+<+++,所以当1nk=+时成立.
由①②可知当*3,nnN≥∈时,2nSn<.综上所述:
当1n=时,121S>;当2n=时,222S>;
当*3（nnN≥∈时,2nSn<................10
分
方法2:
2111
1232
nnS=++++记函数2111
（（1232
nnfnSnn=-=++++-
所以1111
（1（1（1232
nfnn++=++++-+.........6
分
则11112（1（（1102122221
n
n
nnnfnfn++-=+++-<-<+++所以（1（fnfn+<.
由于121（11（1102fS=-=+->,此时121S>;
22111
（22（120234
fS=-=+++->,此时222S>;
321111111
（33（1302345678
fS=-=+
++++++-<,此时323S<;由于,（1（fnfn+<,故3n≥时,（（30fnf≤<,此时2nSn<.
综上所述:
当1,2n=时,2nSn>;当*3（nnN≥∈时,2nSn<............10分（III1
31
nnnacn+=
=+当2n≥时,121123232311
（31（31（33（31（313131nnnnnnnnnn
---⨯⨯⨯≤==--------.所以当2n≥时22222233232331111
（（2（31（3122313131
nnnT⨯⨯=+++≤+-+------
+11
11（
22313131nnn
-+-
=-<---.且1322
T=<
故对*
nN∈,2nT<得证..................14分
升级会员 