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概率论基本公式

概率论与数理统计基本公式

第一部分概率论基本公式

1、AB

ABA

AB;A

BA（BA）

例：

证明：

（AB）B

AAB

ABAB.

证明：

由（A

B）B，知B不发生，

A发生，则

AB不发生，从而

（AB）B

AAB成立，也即

AB成立，也即A

B成立。

得证。

2、对偶率：

AB

AB；AB

AB.

3、概率性率：

（1）

有限可加：

A1、A2为不相容事件，则

P（A1

A2）

P（A1）

P（A2）

（2）

P（AB）

P（A）

P（AB）,特别，B

A时有：

P（AB）

P（A）

P（B）;P（A）P（B）

（3）对任意两个事件有：

P（A

B）P（A）

P（B）

P（AB）

例：

已知：

P（A）

0.5，P（AB）

0.2，P（B）

0.4.求：

（1）P（AB）;P（A

B）;P（A

B）;P（AB）

解：

ABAB

B,且B、AB是不相容事件，

P（AB）

P（AB）

P（B）

即P（AB）

0.2.,又

P（A）

0.5,

P（AB）

P（A）

P（AB）

0.3

P（AB）

P（A）

P（B）

P（AB）

0.7,P（AB）

PAB

1P（A

B）0.3.

4、古典概型

例：

n双鞋总共2n只，分为

n堆，每堆为

2只，事件

A每堆自成一双鞋的概率

2n

解：

分堆法：

C2

（2n）!

自成一双为：

n！

，则P（A）n!

C

2n

（2n-2）！

2！

2

5、条件概率

P（B|A）

P（AB）

P（A）

称为在事件

A条件下，事件

B的条件概率，

P（B）称为无条件概率。

乘法公式：

P（AB）

P（A）P（B

|A）

P（AB）

P（B）P（A

|B）

全概率公式：

P（B）

P（Ai）P（B|

i

Ai）

贝叶斯公式：

P（Ai

|B）

P（AiB）

P（B）

P（Ai）P（B|Ai）

P（Aj）P（B|Aj）

j

例：

有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2

黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，

（1）求取得红球的概率；

（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？

解：

（1）设Bi

{球取自

i号罐}，i

1,2,3。

A

{取得是红球

}，由题知

B1、B2、B3是一个完备事件

由全概率公式

P（B）

P（Ai

i

）P（B|Ai

），依题意，有：

P（A|B1）

2;P（A|B）

2

3

3;P（A|B）1.

3

42

P（B1）

P（B2）

P（B3）

1，P（A）

3

0.639.

（2）由贝叶斯公式：

P（B1|A）

P（A|B1）P（B1）P（A）

0.348.

6、独立事件

（1）P（AB）=P（A）P（B）,则称A、B独立。

（2）伯努利概型

如果随机试验只有两种可能结果：

事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即：

P（A）=p,

P（A）1p

q（0

相同条件独立重复n次，称之为n重伯努利试验，简称伯努利概型。

伯努利定理：

b（k;n,p）

Ckpk（1

p）nk

（k=0,1,2）

n

事件A首次发生概率为：

p（1

p）k1

例：

设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，

（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；

（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。

解：

（1）设B

5

5

“5次独立试验发出指示信

号”，则由题意有：

P（B）

Ckpk（1

i3

p）5

k，代入数据得：

P（B）

0.163

（2））设C

“7次独立试验发出指示信

号”，则由题意有：

P（C）

7

C

7

kpk（1

i3

p）7k

2

7

1Ckpk（1

i0

p）n

k，代入数据，得：

P（C）

0.353

第二章

7、常用离散型分布

（1）两点分布：

若一个随机变量X只有两个可能的取值，且其分布为：

P{X

x1}

p;P{X

x2}

1p（0

x1、x2处参数为p的两点分

布。

特别地，若X服从x1

1，x2

0处参数为p的两点分布，即：

X01

piqp

则称X服从参数为0—1分布。

其中期望E（X）=p,D（X）=p（1-p）

（2）二项分布：

若一个随机变量X的概率分布由

P{X

k}Ckpk（1-

p）nk

n

（k=0,1,2）给出，则称X服从参数为n，p的二项分布，记为：

X~b（n,p）（或B（n，p）

n

其中P{X

k0

k}1，当n=1时变为：

P{Xk}

pk（1

p）1k

（k=0,1）,此时为0

—1分布。

其期望E（X）=np，方差D（X）=n（1-p）

（3）泊松分布：

若一个随机变量X概率分布为：

P{X

k

k}e,k!

0，k

0,1,2

则称X服从参数为的泊松分布，记为：

X~P（

）（或X~

（）,其中

k

P{X

0

k}1，

称为泊松流强度。

泊松定理：

在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为

Pn,如果n时，

C

n

n

nPn

（0的常数），则对任意给定的k，

n

有lim

n

b（k;n,p）

lim

kpk（1

n

k

pn）

k

e，这表明，当n很大时，p接近0或1

k!

C

n

时，有

kpk（1

n

k

pn）

k

e（np）。

k!

n

其期望方差相等，即：

E（X）=D（X）=。

8、常用连续型分布

f（x）

1/（b

a）,axb

（1））均匀分布：

若连续随机变量X的概率密度为

（a，b）上服从均匀分布，记为X~U（a,b）。

其中-

f（x）dx

0,其他则称X在区间

1，分布函数为：

F（x）

0,x

（xa）/（b1,x

aa）,a

b.

xb.

其期望E（X）=

ab

，方差D（X）=

2

（ba）2

。

12

ex,x0

（2））指数分布：

若随机变量的概率为

f（x）

，

0,其他

0，则称X服从参数

为的指数分布，简记为X~e（）.其分布函数：

F（x）

1ex,x0

，0

其期望E（X）=

11

方差D（X）=2.

0,其他，

（3）正态分布：

若随机变量X的概率密度为

f（x）

（x）2

1e22,x

2

，则称X

服从参数为μ和2的正态分布，记为X~N（μ,2）,其中μ和（>0）都是常数。

分布函

数为：

F（x）

（t

1xe2

2

）2

2

dt,x

x2

.。

当

0,1时，称为标准正态分布，

t2

概率密度函数为：

（x）

1e2

2

分布函数为：

（x）

1xe2

2

dt.

定理：

设

X~N（,

2）,则YX

~N（0,1）

其期望E（X）=μ,D（X）=2。

9、随机变量函数的分布

（1）离散型随机变量函数分布一般方法：

先根据自变量X的所有

可能取值确定因变量Y的所有可能值，然后通过Y的每一个可能的取值

yi（i=1,2,）来确

定Y的概率分布。

（2）连续型随机变量函数分布方法：

设已知X的分布函数

FX（x）或者概率密度

fX（x），则

随机变量Y=g（X）的分布函数

FY（y）

P{Y

y}P{g（X）y}

P{X

CY}

其中

Cy{x|g（x）

y}，

FY（y）

P{X

CY}

fX（x）dx，进而可通过Y的分

Cy

布函数

FY（y），求出Y的密度函数。

1|x|,1x1

例：

设随机变量X的密度函数为

fX（x）

0,其他

，求随机变量

YX2

1的分布函数和密度函。

数

解：

设

FY（y）和fY（y）分别是随机变量

Y的分布函数和概率密度

函数，则由

1x1得：

1y2,那么当y

1时FY（y）

P{Y

y}P{X21y}

P（）

0,当1y

2时，得：

Y（y）

P{Y

y}P{X21y}P{

y1xy1

y1

（1|x|）dx

0（1

x）dx

y1

（1x）dx

2y1

（y1）,当y

2时，F

（y）

P{Y

y1

y}P{X21y}

y1

1

0dx

0

1

（1|x|）dx

0dx

1,所以，

FY（y）

Y

2y1

0,y

（y

-

1

1）,1y2,

11

11,1y2

1,y2

fX（x）

FY（y）'

y1

0,其他

10、设随机变量X~N（

2）

Y=aX

b也服从正态分布.即

YaX

b~N（a

b,（a

）2）。

11、联合概率分布

（1）离散型联合分布：

Pij1

ij

XYy1yj

P{X=

xi}

x1xi

P{Y=

yj}

p11

Pi1

i

p1j

Pij

Pi1

i

Pij

P1j

j

Pij

j

1

（2）连续型随机变量函数的分布：

例：

设随机变量（X，Y）的密度函数

1（xy）,0

f（x,y）8

0,其他

x2,0y2

求f（x）,

f（y）,E（X）,E（Y）,cov（

X,Y），XY，D（X+Y）.

解：

①当0≤x≤2时由

fX（x）

x

[1/8（x

0

y）dy

，得：

fX（x）

2

1/8x

1/4x

，当x<0

或x>2时，由

fX（x）

0

0dy

0dy

2

0，所以，

f（x）

1/8x2

1/4x,0x2

X0,其他

同理可求得:

fY（y）

1/8y21/4y,0y2

0，其他；

②E（X）=

2

X

xf（x）dx

0

7/6,由对称性同理可求得，E（Y）=7/6。

2

③因为E（XY）=

0

2

xyf

0

（x,y）dxdy

22

1/8xy（x

00

y）dxdy

4/3.

所以，cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=4/3-（7/6）2=-1/36。

④D（X）

E（X2）

[E（X）]2

22x2

00

f（x，y）dxdy

（7）211

636

同理得D（Y）=

11

所以，XY=

36

cov（X,Y）1

D（X）D（Y）11

5

⑤D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2cov（X,Y）=

9

12、条件分布：

若

F（x|A）

P{X

x|A}

P{X

P{

x,A}A}

称F（x|

A）为在A发生条件下，

X的条件分布函数

13、随机变量的独立性：

由条件分布设A={Y≤y},且P{Y≤y}>0,则：

F（x|Yy}

P{X

P{Y

x,Yy}y}

F（x,y）

，设随机变量（X,Y）的联合分布概率为F（x,y），

FY（y）

边缘分布概率为

FX（x）、FY（y），若对于任意x、y有：

P{X

x,Y

y}P{X

x}P{Y

y}，即：

F（x,y）

FX（x）FY（y），则称X和Y独立。

14、连续型随机变量的条件密度函数：

设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为

f（x,

y）,

边缘概率密度函数为

fX（x）、fY（y），则对于一切使

fX（x）>0的x,定义在X=x的条件下Y

的条件密度函数为：

fY|X（y|x）

f（x,y）

，同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密

fX（x）

度函数为：

fX|Y（x|y）

f（x,y）

，若

fY（y）

f（x,y）=

fX（x）

fY（y）几乎处处成立，则称X,Y相互

独立。

例：

设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为：

ce（2x

y）,x

0,y0

f（x,y）

0,其它

，求

（1）确定常数c；

（2）X,Y的边缘概率密

度函数；（3）联合分布函数F（x,y）;（4）P{Y≤X};

（5）条件概率密度函数

fX|Y（x|

y）；（6）P{X<2|Y<1}

解：

（1）由

00

f（x,y）dxdy

ce（2x

00

y）dxdyc

0

e2xdx

1c1,c2

2

（2）由c

2得到：

f（x,y）

2e（2x

y）,x

0,y

0

，则：

当x

0时，f

（x）

2e（2x

y）dy

2e2x

fX（x）

2e,x

0

，当y

0,其它

0时，fY（y）

2x

2e（2x

y）dx

ey,

X

fY（y）

0

y

e,y0

.

0,其它00,其它

（3）当x

0,y

0时，F（x,y）

xy2e（2x

y）dxdy

x

（2e2x

2e（2x

y）dx

（1e

2x）（1

ey）

000

xy

（1e

2x）（1

ey）,x

0,y0

当x0,y

0时，F（x,y）

0dxdy0,

00

F（x,y）

.

0,其它

（4）P{YX}

x2e（2x

00

y）dxdy

（2e2x

0

2e3xdx1;

，

2x

3

（5）当x

0,y

0时，fX|Y（x|y）

f（x,y）2e

fX|Y（x|y）

2e2x，x

0,y0.

（6）（6）

FY（y）

eydy

y

0

1ey

fY（y）

0，其它

P{X

2|Y1}

P{X2,Y1}F（2,1）

1e4.

P{Y1}FY

（1）

15、数学期望：

（1）离散型：

E（X）

xipi

i1

（2）连续型：

E（X）

xf（x）dx，因为并不是每一个函数都能积分，所以并非所有随机

变量都有数学期望。

数学期望的性质：

①E（CX）=CE（X）①E（X1

X2）

E（X1）

E（X2）

③设X,Y独立，

则E（XY）=E（X）E（Y）.

例：

10个人随机进入15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X表示有人的房间数，求

E（X）（设每个人进入房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立）

附：

二项分布b（n,p）和两点分布b（1,p）的另一个关系，仍设一个实验只有两个结果：

A和A,

且P（A）=p,现在将试验独立进行n次，记为n次试验中结果A出现的次数，则X

~b（n,

p），

若记Xi为第i次试验中结果

A出现的次数，即：

Xi

1，第i次试验A出现

0，第i次试验A不出现

其中：

XX1X2Xi

解：

引入随机变量xi

1,第i号房间有人；

i

1,2,3,

15.

易知XX1X2

0，第i号房间没人；

X15

由题意，任意房间没有

人的概率为

14，则10个人都不在第

15

i号房间的概率为：

（

14）10，

15

那么在第

i号房间有人的概率为

1（-

14）10，即：

15

P{xi

0}（14）10,P{x

i

15

1}1（-

14）10,i

15

1,2,3，

，15

E（xi）

1（-

14）10,i

15

1,2,3,

，15.

E（X）

E（X1X2

X15）

E（X1）

E（X）

E（X15）

15[1（-

14）10]

15

7.48

16、方差：

（1）

D（X）

E[X

E（X）]2

E（X2）

[E（X）]2

（2）方差性质：

①D（CX）=C2D（X）;②若X.Y相互独立，则：

D（XY）

D（X）

D（Y）

17、协方差：

（1）cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）,特别，X,Y独立时，有：

cov（X,Y）=0.

（2）协方差性质：

①cov（X,X）=D（X）;②cov（aX,bY）=abcov（X,Y）;③cov（C,Y）=0;④

cov（

X1X2

Y）=

cov（X1,Y）

cov（X2，Y）

⑤随机变量和的方差与协方差的关系

D（XY）

D（X）

D（Y）

2cov（X,Y）.

（3）相关系数

cov（X,Y）

XY,性质：

①

D（X）D（Y）

|XY|

1;②若X和Y相互独立，则XY=0，

即X和Y不相关。

③若D（X）>0，D（Y）>0，则当且仅当存在常数a，b（a0），使：

P{Y

aXb}

1时，|

XY|

1，而且a

0时，XY

1;当a

0时，XY1.

附注：

XY0时，只能说明Y与X之间不是线性关系，但

可能有其他函数关系，

从而不能推注Y与X独立。

④设e=E[Y-（aX

b）]2,称为用aX

b来近似Y的均方差，则：

设D（X）>0，D（Y）>0,有：

cov（X,Y）

a0

D（X）

b0

E（Y）

a0E（X）,使均方误差达到最小。

2

18、切比雪夫不等式：

设随机变量X的期望E（X）=μ,方差D（X）=,则对于给定任意正数，

有：

P{|X

2

|}2

，或者为：

P{|X

2

|}12.

19、大数定理：

设随机变量X1,X2,Xn相互独立，且具有相同的期望和方差：

n

21

E（Xi）

D（Xi）

，i=1,2,3，记YnXi

，则对于任意>0,有：

n

lim

n

P{|Yn

|}1,推论lim

P{|nA

n

n

p|}

i1

1（其中n

A为n重伯努利中

20、中

A发生的次数，p为概率。

心极限定理；

（1）设随机变量X1,X2,Xn相互独立，服从同一分布，且

E（Xi）

D（Xi）

2

，i=1,2,3，则：

n

Xin

n

i1

limP{n

x}x1

2

et/2dt.一个结论：

n

Xi

i1~

/n

2

N（0,1）

（2）棣莫佛—拉普拉斯定理：

设随机变量X1,X2,Xn相互独立，并且都服从参数为p

的两点分布，则对任意实数x，有：

n

Xinp

i1

limP{x}

x1et2/2dt

（x）

nnp（1p）2

第二部分数理统计

21、由于样本方差（或样本标准差）很好的反应总体方差（或标准差）的信息，因此，当

2

方差未知时，常用

S2去估计，而总体标准差则常用样本标准差S去估计。

22、常用统计分布

（1）分位数：

设随机变量X的分布函数F（x）,对给定的实数

（01）,若实数F

满足P{XF}

则称F

为随机变量

X分布的