三垂直模型.docx
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三垂直模型
线三等角模型
一.一线三等角概念
“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二•一线三等角的分类
全等篇
相似篇
异侧
异侧
“一线三等角”的性质
1.一般情况下，如图3-1，由/1=/2=/3,易得△AE3ABDE.
.如图3-1，若CE=ED则^AEC^ABDE.
4•“中点型一线三等角“的变式（了解）
5.“一线三等角”的各种变式（图3-5，以等腰三角形为例进行说明
Am才■
fi
{}
如图3-3，当/仁/2且
BOC90
BAC时,
O是^ABC的内心.可以考虑构
图3-5
其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？
不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题
四、“一线三等角”的应用
1.“一线三等角”应用的三种情况.
a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；
c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.
体会：
感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.
2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在X轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造线三等角解决问题更是重要的手段.
3.
构造一线三等角的步骤：
找角、定线、构相似
AC
m,1-6
在DC的延长銭上CE=—,在CD的延长址DFw竺.
tanacitu
mm^AEP^诡£PFB-怛em14IWZAEP=ZPFB=ZAPE,所以APM«^ABPF.
A
口c在CP上截取CE=—IEDF®取DF=—,tanatana
HJanZAEC=tmZBFD=tma』则ZAEC=ZBFD=a=乙，所臥APAE«ZiBPF・
坐标系中，要讲究“线”的特殊性
如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角
C、D
当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过两点作直线I的垂线是必不可少的。
两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握.
解题示范
例2如图所示，四边形ABCD中，/C=90°/ABD=/DBC=22.5°AE丄BCADE=67.5°AB=6,则CE=.
例3如图，四边形ABCD中，/ABC=/BAD=90的长.
£
Tv
£
z
XJ
wJ
f-
I
3
In
G
2
例4如图，△ABC中，/BAC=45
AD丄BC,BD=2,CD=3,求
AD的长.
一线三等角，补形最重要，内构勤思考,比例不能少.巧设未知数，妙解方程好
e
还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造
A
A
Lin（u1/
例5如图，在△ABC中，/BAC=135,AC=
J2AB,AD丄AC交BC于点D,若AD=,
求AABC的面积
当然有45。
或135。
等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角
一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种
大练身手：
】.如图，心皿一中，tan/lC7J=i•/月=9｛户，Q=2・=求的比
牡柱直角三角形上430"川D为AC的屮点*若^D聲为止三肃昭求CF的辰.
5.如图，杞曲厶ABC中TZACR-3D"*/JM平分ZCAB^若Zcn5-60',CA=4忑求40的长.
氐如图，在等腰直角三角f^ABC中，・D为异5上一点’连接CD,尸为m上一点.
ZMD-4#，若CP-6*△*<7）时面积为1&,则鶴段DH胎长为・
號如圏.任平血程箱坐标条中.点川（4.0X点他点C任第一象屉内’若3C为畀边三甬略朝
点C的塑标为
laMi形/牝D/t直曲坐标聚的位S如图所示，点』（2』恳0）点C（哄），反比倒帽取厂扌的图像交边皿acTzxE两民_azno£45*,駅匕
H.如图，rt銭y-k_4交坐标柚与不fl两点t交双曲缁，・£仗》0）于点Gns^cc-S.点戸在点
的右團的双曲线上tNP再C轻*.则点F的哗插为
12.ftAjfiC中…4fi=2jIZE=斗霁’W点卫为貢角顶点柞彗聲宜角△北DE.点D枉5<7上”点£在应'上,
=则CD的检为
13.如悔k貢用AABC中*ZC=90°-^C?
=6,BC^S.D是斜边的中点*E为月匚上动鼠DP丄血于点E连按。
民若△DEF是WMM三肃形.求OE的怅度.
14.itAABC中.,NC=30",点Q是SC上一点，堆接AD.过点/作北G丄血>、在貝G丄収点尺连厝D尺延长；£>?
1至民AE=AF.连接EG.DG、且GE=DF.
若AB=2^AB=2.求FC的长;
如叭芳点处处曲求向叫g如妣当点妨牲/C的垂宜平分线上时”肓接写出寻的値.
/>
例7:
在平面直角坐标系中，已知点A（1,0）,B（0,3）,C（-3,0）,D是线段AB上一
点，CD父y轴于E,且S^BCE=2S^aob.
（1）
（2）
（3）
如图，直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=ax2交于A、B两点（A在B的左侧），
例8
BC=2AC,点P是抛物线上一点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；
（3）
若点P在直线AB的上方，且/BPC=45°求所有满足条件的点P的坐标.
练1:
.如图，抛物线的顶点为C（-1,-1）,且经过点A、点B和坐标原点O,点B的横坐标为-3.
（1）
（2）标；
（3）
求抛物线的解析式；
若点D为抛物线上的一点，且△BOD的面积等于△BOC的面积，请直接写出点D的坐
若点E的坐标为（0,2）,点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P,使得/OPE
?
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
=45
课后作业：
如图，点A（0,-1）,B（3,0）,P为直线y=-x+5上一点，若/APB=45
在四边形ABCD中，/ABC=/BAD=90°，/ACD=45°,AB=3,AD=4,求AC的长.
如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，△EFG为等边三角形，求证:
BE+GC=百BC
如图，△ABC:
△DBA，且AC=72BC,求证：
CD=2AB.
如图，在四边形ABCD中，/ABC=90°AB=3,BC=4,CD=10,DA=5正，求BD的长
如图，点A是反比例（X>0）图形上一点，点B是X轴正半轴上一点，点C的坐标为（0,2）,点^ABC是等边三角形时，求点A的坐标.
抛物线_>=工'-牡+3有坐标轴交于*、氐C三点，成尸在撫物綾上，PE丄EC于点民若昭2CE・
求尸点半标-
如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,
D（5,-"2），点P是直线I上方的抛
1
直线I：
y=-2x+m经过点A,与抛物线交于另一点
物线上的动点，连接PCPD.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当^PCD为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设^PCD的面积为S,请你探究：
使S的值为整数的点P共有几个，说明理由.
4222
1.如图1,已知直线y=kx与抛物线/27X—交于点
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线重合），交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM段QM与线段QN的长度之比是否为定值？
如果是
A（3,6）.
PM,交x轴于点M（点M、O不的垂线，交y轴于点N.试探究：
线
求出这个定值,如果不是,说明
（3）如图合）究:
理由；
2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重，点D（m,0）是x轴正半轴上的动点,且满足/BAE=/BED=/AOD.继续探m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
如图，直线AC:
y=-2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c（a>0）过A、C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且△OCA.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上一点，/DCA=45°求点D的坐标；
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