基于MATLAB的控制系统稳定性分析.docx
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基于MATLAB的控制系统稳定性分析
四川师范大学本科毕业设计
基于MATLAB的控制系统稳定性分析
学生姓名
宋宇
院系名称
工学院
专业名称
电气工程及其自动化
班级
2010级1班
学号
2010180147
指导教师
杨楠
完成时间
2014年5月12日
基于MATLAB的控制系统稳定性分析
电气工程及其自动化
本科生宋宇指导老师杨楠
摘要系统就是指具有某些特定功能,相互联系、相互作用的元素的集合。
一般来说,稳定性就是系统的重要性能,也就是系统能够正常运行的首要条件。
如果系统就是不稳定,它可以使电机不工作,汽车失去控制等等。
因此,只有稳定的系统,才有价值分析与研究系统的自动控制的其它问题。
为了加深对稳定性方面的研究,本设计运用了MATLAB软件采用时域、频域与根轨迹的方法对系统稳定性的判定与分析。
关键词:
系统稳定性MATLABMATLAB稳定性分析
ABSTRACTSystemistopointtohavecertainfunction,connectwitheachother,acollectionofinteractingelements、Generallyspeaking,thestabilityisanimportantperformanceofsystem,alsoisthefirstconditionofsystemcanrunnormally、Ifthesystemisnotstable,itcouldleadtomotorcannotworknormally,thecarrunoutofcontrol,andsoon、Onlythestabilityofthesystem,therefore,haveavalueanalysisandtheresearchsystemoftheautomaticcontrolofotherproblems、Inordertodeepenthestudyofstability,thisdesignUSEStheMATLABsoftwareusingthetimedomain,frequencydomainandtherootlocusmethoddeterminationandanalysisofthesystemstability、
Keywords:
systemstabilityMATLABMATLABstabilityanalysis
基于MATLAB的控制系统稳定性分析
1、绪论
这章讲述了自动控制理论与控制技术概述,主要介绍了几种自动控制理论的发展概况以及基本的内容。
最后介绍了本文的主要工作
1、1自动控制理论发展概述
自动控制就是指在一些工业过程可以就是一个很好的人来代替生产设备的自动控制,能够达到理想的状态或性能指标。
在发展历程中,自动控制理论从创立到现在已经经历了三代的发展。
第一代为20世纪初开始形成并于20世纪50年代趋于经典反馈控制理论;第二代为20世纪50年代在线性代数的数学基础上发展起来的现代控制理论;第三代为20世纪60年代中期,在科技的高速发展过程中形成了智能控制系统。
下面我将逐步对三个时代的发展进行简要的介绍。
1、1、1经典控制理论的发展及其基本内容
在产业革命时期,英国人JameraWatt发明蒸汽机离心式调速器,很好的解决了蒸汽机在超强负载的变化下保持基本恒速的问题。
因此,自动控制才引起了人们的重视。
在20世纪30年代Nyquist于1932年提出了稳定性的频域判据,Bode于1940年在“频域法”中引入对数坐标系并写了《网络分析与反馈放大器》一书。
直到20世纪50年代,经典控制理论已趋于成熟。
经典控制理论主要研究线性定常系统。
虽然经典控制理论仅仅适用于单输入,单输出的系统,但就是至今仍然在各种工业控制领域。
从面前发展情况来瞧,经典控制理论也有一定的局限性:
一方面在传递函数与频率特性的基础上,不能很好的反映系统在内部中的地位:
另一方面对于多输入,多输出的系统时,经典控制理论无能为力。
1、1、2现代控制理论的发展及其基本内容
现代控制理论就是为了客服经典控制理论的局限性逐步发展起来的。
为了很好的解决经典控制理论的一些问题,现代控制理论引入了“状态”的概念,用“状态变量”及“状态方程”描述系统。
采用状态方程后,能够用向量、矩阵等形式来表示系统的运动方程,因此这种方法运算比较简单、对概念的理解也能够很好的分析透彻。
1、1、3智能控制理论的发展及其主要内容
“智能控制”这一概念就是由美国普金大学（PurdueUniversity）电气工程系的美籍华人傅京孙教授于20世纪70年代初提出的。
智能控制就是指驱动智能机器自主地实现其目标的过程。
随着社会的发展迅速,现在已经出现了各种不同的复合控制理论,如模糊PID复合控制、专家模糊控制等等。
1、2本文的章节安排
本文主要对以下几个方面进行研究与分析:
第一章绪论部分首先论述了本课题基础的自动控制理论的一些背景及发展状况,主要介绍了经典控制理论、现代控制理论以及智能控制理论。
第二章从本文的整体方向出发,认真分析了控制系统的理论基础、基本形式以及特点。
第三章论述了本设计使用的MATLAB的一些发展状况,以及在自动控制系统中一些简单的应用。
第四章详细论述了时域分析法,主要运用了step函数以及impulse函数对控制系统方程利用MATLAB绘制图像曲线,并对图像曲线进行分析。
第五章详述了利用根轨迹法对控制系统的稳定进行分析,主要pzmap函数rlocus函数对控制系统方程利用MATLAB绘制图像曲线,并对此进行简要的分析。
第六章论述了运用频率法分析系统控制的稳定性,在开环系统控制中运用奈氏图（Nyquist）、波德图（Bode）分析系统的性能。
第七章对本文进行了总结。
2控制系统的理论基础
控制系统一般有输入系统、输出系统、以及调节系统。
适用于电子、化工、机械等等许多社会生活领域中。
可见,自动控制已经成为现代社会生活中不可缺少的重要组成部分。
2、1控制系统的基本形式
控制系统有两种最基本的形式,即开环控制与闭环控制。
其中闭环控制系统就是工业生产用得最为广泛的系统。
2、1、1闭环控制系统
闭环控制的特点就是控制器与被控对象之间,有一个积极的影响不仅存在,但相反的效果,使系统具有对控制量的输出直接影响。
其简要的结构示意图可以用图1表示:
输入量控制量输出量
反馈信号
图1闭环控制系统示意图
由图2、1可以瞧出,闭环控制系统的自动控制或者自动调节作用就是基于输出信号的负反馈作用而产生的,所以经典控制理论的主要研究对象就是负反馈的闭环控制系统,研究目的就是得到它的一般规律,因此可以设计出符合要求,各种性能达标的控制系统。
2、1、2开环控制系统
开环控制系统的一个特点就是,由于没有反馈而使系统稳定性不如闭环系统。
图1表示了其简要的结构示意图:
输入量控制作用输出量
图2开环控制系统示意图
在开环控制系统的结构示意图中可以瞧出,只有输入量对输出量产生控制作用;从控制结构上来瞧,只有从输入端到输出端、从左到右的信号传递通道（改通道称为正向通道）。
2、1、3小结
从上述两种控制系统的结构示意图可以很明显的知道:
①.在工作原理方面:
开环控制系统不能检测误差,也不能校正误差。
因此开环控制系统一般只适用于一些精度要求不高的一些场合。
闭环控制系统则可以自动反馈干扰所带来的误差。
②.结构组成:
虽然开环控制系统的应用有限,但就是它就是组成闭环控制系统所不可缺少的部分。
③.稳定性:
开环控制系统的结构简单,稳定性比较容易解决。
而闭环控制系统引入的反馈回路增加了系统的复杂性。
2、2控制系统的分类
①、按控制系统就是否形成闭合回路分类:
开环控制系统与闭环控制系统。
②、按信号的结构特点分类:
反馈控制系统与反馈控制系统以及前馈-反馈复合控制系统。
③、按给定值信号的特点分类:
恒值控制系统、随动控制系统与程序控制系统。
④、按控制系统元件的特性分类:
线性控制系统与非线性控制系统。
⑤、按控制系统信号的形式分类:
连续控制系统与离散控制控制。
2、3控制系统的稳定性
稳定性就是控制系统最重要的特性之一。
它表示了控制系统承受各种扰动,保持其预定工作的能力。
不稳定的系统就就是无用的系统,只有系统稳定才能获得实际应用。
因此,结合系统数学各方面的知识,总结了以下几种方法来对系统稳定性的分析。
1、罗斯-霍尔维兹准则
2、梅森公式
3、劳斯判据
4、波德图上的稳定性判据
5、根据系统阶跃响应判断稳定性等等。
本设计将在时域中、频域中以及根轨迹下利用MATAB软件来分析与判定系统的稳定性。
3MATLAB基础介绍
MATLAB软件广泛的应用于系统建模与仿真、自动控制、图形图像处理等工程领域。
因此,本章将简要的介绍一些有关MATLAB的发展背景以及特点。
3、1MALTAB概述
MATLAB就是由MathWorks公司开发的一套功能强大的数学软件,也就是当今科技界应用最广泛的计算机语言之一。
它集数值计算、符号运算、计算机可视为一体,就是其她许多语言不能比拟的。
MATLAB发展至今,现已集成了许多工具箱,如控制系统工具箱、信号处理工具箱、模糊推理系统工具箱、Simulink工具箱等。
为此,MATLAB语言在控制工程领域已获得了广泛的应用。
3、2MATLAB的特点
它具有强大的科学计算功能,能够很快速很准确计算出各种问题,在科学界领域中占有重要的地位,更就是为一群科学研究人员提供了巨大的方便。
与此同时MATLAB就是一种先进的可视化工具,具有很强的开放性以及扩展性,众多面向领域应用的工具箱与模块集。
简单的来说,MATLAB语言最大的特点就就是简单与直接。
一方面,由于它允许使用数学形式的语言编写程序,而且编写简单。
由此可见,它的编程效率高,通俗易懂;另一方面MATLAB的绘图也就是十分方便的,它有一系列的绘图函数,例如:
本设计将在下文讲述到的step函数、impluse函数、pzmap函数等等。
只需输入相应的函数及一些简单的代码即可获得所需要的图像曲线,并能很清楚的分析系统的稳定性。
MATLAB也有一定的缺点,它与其她的高级程序相比,程序的执行速度比较缓慢。
在界面功能上面也显得比较弱,不能实现数据采集与端口操作等功能。
4稳定性分析的方法介绍
4、1时域分析法
4、1、1时域分析法的概念
时域分析法就是在时间域内研究控制系统的性能的方法。
它就是直接基于拉普拉斯变换求解系统的微分方程系统的响应时间,然后基于响应与响应曲线,分析系统的动态响应性能与稳态性能的表达。
4、1、2控制系统的性能指标
首先,系统性能可以分为动态性能与稳态性能。
系统的动态性能表现在过渡过程完结之前的响应中,系统的稳态性能表现在过渡过程完结之后的响应中。
其次,一般的动态性能指标定义为以下几种:
1.上升时间:
假如阶跃响应不超过稳态值,上升时间定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。
2.峰值时间:
阶跃响应从运动开始到达第一个峰值的时间。
3.超调量:
线性控系统在阶跃信号输入下的响应过程曲线也就就是阶跃响应曲线分析动态性能的一个指标值。
4.调节时间:
阶跃响应达到稳态值的时间。
一般取误差带为±2%或者±5%。
5.稳态误差:
当时间t趋于无穷时,系统希望的输出与实际的输出之差。
4、1、3典型的输入信号
控制系统中常用的典型输入信号有:
单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、单位脉冲函数与正弦函数。
这些函数都就是简单的时间函数,很便于数学分析,与实验研究。
例1:
已知一控制系统的传递函数为G（s）=（10s+5）/（6s^2+7s+20）绘制其单位阶跃响应曲线并分析系统的稳定性。
解:
利用MATLAB软件输入以下程序
>>G=tf（[10,5],[6,7,20]）;
>>Step（G）
>>title（'单位阶跃响应'）
>>grid
即可得到下面的图像如图3:
图3单位阶跃响应
由图3可知,在系统在及其短暂的时间内（t=0、9s）到达了最大值,由此可以瞧出该系统具有很好的传递性以及快速性,但就是系统具有很大的超调量,t在0s到7s期间,曲线的波动很大,系统的稳定性欠佳。
但就是随着时间的推移,曲线波动不大趋于稳定并收敛。
这个系统的稳态误差为0、75、
4、1、4系统时域分析函数-Step函数
Step函数用于计算线性系统系统的单位阶跃响应,当不带输入变量时,step函数可在当前窗口直接绘制出系统的单位冲激响应曲线。
例2:
已知一控制系统的传递函数为:
G（s）=（10s+5）/（2s^2+s+9）,求其阶跃并分析系统的性能。
解:
利用MATLAB软件输入以下程序
>>clear
>>G=tf（[10,5],[2,2,9]）;
>>step（G）
>>title（'阶跃响应效果图'）
>>grid
即可得到以下图像
图4阶跃响应效果图
由图4可知,系统在极短的时间内（t=1、1s）达到了最大值,在接下来1s左右系统达到了最小值。
曲线在t=（0s~9s）之间波动很大,此时系统的稳定性比较差。
在随后的时间里,曲线趋于直线,对应的系统也逐步趋于稳定。
系统的稳态误差为0、4。
4、1、5控制系统的时域分析-impulse函数
它的主要功能就是:
用于求取连续系统单位脉冲响应的函数。
它的调用格式如下:
impulse（sys）:
求取系统sys的单位脉冲响应曲线。
impulse（sys,t）:
求取系统sys的单位脉冲响应曲线,t为选定的仿真时间向量。
说明:
sys描述的系统就是系统的单位脉冲响应,也可适用于SISO或MIMO的连续时间系统或离散时间系统。
例3:
已知控制系统的状态空间方程为:
试绘制其系统的单位脉冲响应效果图。
其实现的MATLAB的代码如下
>>clc
>>a=[-0、5-0、7;0、70];
>>b=[1-1;02];
>>c=[1、96];
>>sys=ss（a,b,c,0）;
>>impulse（sys）
>>gridon;
>>title（'单位脉冲响应效果图'）;
>>xlabel（'时间/s'）;ylabel（'幅度'）;
运行程序。
效果如下图:
图5单位脉冲响应效果图
由图5可知系统在t=15s之前曲线波动比较大,说明这个系统在这段时间里不稳定;在随后的时间曲线趋于直线并收敛,此时说明系统逐步趋于稳定。
5根轨迹分析法
5、1根轨迹分析法的概念
根轨迹分析法就是分析与设计线性定常控制系统的图解法,其利用开环控制系统的根轨迹效果图来分析系统参数变化对闭环系统性能的影响。
1984年,W、R、Evans提出了一种求特征根的简单方法,并且在控制系统的分析与设计中得到广发的应用。
根轨迹法具有很直观的特点,还可以分析参数变化对系统性能的影响。
5、1、1一般控制系统
一般系统结构图如图6:
R（s）C（s）
+
-
图6一般系统根轨迹示意图
开环传递函数为
Go（s）=G（s）H（s）
闭环传递函数为
Gc（s）=C（s）/R（s）=G（s）/（1+G（s）H（s））=G（s）/（1+Go（s））
5、2绘制控制系统的根轨迹图的一般规则
① 根轨迹的分支数等于开环传递函数极点的个数。
② 根轨迹的始点（相应于K=0）为开环传递函数的极点,根轨迹的终点（相应于K=∞）为开环传递函数的有穷零点或无穷远零点。
③ 根轨迹形状对称于坐标系的横轴（实轴）。
④ 实轴上的根轨迹按下述方法确定:
将开环传递函数的位于实轴上的极点与零点由右至左顺序编号,由奇数点至偶数点间的线段为根轨迹。
⑤ 实轴上两个开环极点或两个开环零点间的根轨迹段上,至少存在一个分离点或会合点,根轨迹将在这些点产生分岔。
⑥ 在无穷远处根轨迹的走向可通过画出其渐近线来决定。
渐近线的条数等于开环传递函数的极点数与零点数之差。
⑦ 根轨迹沿始点的走向由出射角决定,根轨迹到达终点的走向由入射角决定。
⑧ 根轨迹与虚轴（纵轴）的交点对分析系统的稳定性很重要,其位置与相应的K值可利用代数稳定判据来
5、3pzmap函数
Pzmap函数的调用格式如下:
Pzmap（sys）:
对SISO系统,sys为绘制的传输函数的零极点图。
Pzmap（sys1,sys2,…,sysN）:
对MIMO系统,sys1,sys2,…,sysN为绘制的N个传输函数的零极点图。
Pzmap函数可在当前图像窗口中绘制系统的零极点图,其中极点用“X”表示,零点用“O”表示。
例4:
已知闭环系统的传递函数为:
G（s）=（4s^4+3s^3+10s^2+8s+11）/（2s^5+6s^4+7s^3+3s^2+9s+1）绘制零点极点图,判断系统的稳定性。
解:
绘制零点极点图其实现的程序代码如下:
>>clc
>>num=[4310811];
>>den=[267391];
>>sys=tf（num,den）;
>>pzmap（sys）
执行程序,运行结果如下:
图7系统零极点分布图
由图7可知,该系统有位于s右半平面的极点,所以系统不稳定。
下面本设计将用rlocus函数来判定系统的稳定性。
5、4rlocus函数
Rlocus函数可以计算出或画出SISO系统的根轨迹,rlocus（sys）:
根据SISO开环系统sys模型,直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图,开环增益的值从零到无穷大变化。
它的调用格式一般如下:
Rlocus:
在当前窗口绘制SISO开环模型的Evans根轨迹。
Rlocus（sys）:
根据SISO开环系统sys模型,直接在屏幕上绘制出系统的根轨迹图。
开环增益的值从零到无穷大变化。
Rlocus（sys1,sys2,…）:
同时在屏幕上绘制出多个系统的根轨迹图。
例5:
已知反馈控制系统的开环传递函数为G（s）=3K/（s（s^2+4s+6））试绘制系统的根轨迹图。
解:
其实现的MATLAB代码如下:
>>num=[3];
>>den=conv（[10],[146]）;
>>G=tf（num,den）;
>>rlocus（G）
>>gridon
>>title（'根轨迹图'）
>>xlabel（'实坐标轴'）;ylabel（'虚坐标轴'）
运行程序,效果图如下:
图8系统根轨迹分布图
由图5、3可知当K=1时,在平面的右边系统无极点。
此时系统稳定。
为了更好的确定K值范围来确定系统的稳定性,本设计利用劳斯判据来处理相关问题。
对已知开环系统方程作出闭环系统方程,G（s）=3K/（s^3+4s^2+6s+3K）,
首先作出劳斯表如下:
s^316
s^243K
s^1（6-0、75K）0
s^03K
由系统稳定的充分条件必要条件为:
劳斯表中,如果第一列元素全部大于0,则系统就是稳定的;否则系统就是不稳定的。
因此可以得出上述系统方程要使系统稳定,则3K﹥0;（6-0、75K）﹥0;解得:
当0﹤K﹤8时系统处理稳定状态;当K=0或者8时系统处于临界稳定状态;当K﹥8或者K﹤0时系统处于不稳定状态。
6频域法分析
6、1频域法分析的基本概念
频域法分析法就是利用频率特性研究线性系统的一种经典方法,可以用开环系统的奈氏图（Nyquist）、波德图（Bode）、尼氏图（Nichols）分析系统的性能。
在电路上,它就是借助傅里叶级数,将非正弦周期性电压（电流）分解为一系列不同频率的正弦量之与,按照正弦交流电路计算方法对不同频率的正弦量分别求解,再根据线性电路叠加定理进行叠加即为所求的解。
本设计着重介绍奈氏图以及波德图来分析系统的稳定性。
6、2奈氏图（Nyquist）
Nyquist稳定性判据,简称奈氏判据,它就是频域中,利用系统的开环频率特性来判定性来获得闭环系统稳定性的判别方法。
奈氏稳定判据的内容就是:
若开环传递函数在s右半平面上有P个极点,则当系统角频率X由-∞变到+∞时,如果开环频率特性的轨迹在复平面上时针围绕（-1,j0）点转R圈,若Z=P-R,Z=0则闭环系统稳定,否则,就是不稳定的、频域稳定性判据所依据的就是控制系统的开环频率特性,也就就是仅仅利用系统的开环信息,不仅可以确定系统的绝对稳定性,而且可以以提供相对稳定性的信息,也就就是说,系统如果就是稳定的,那么动态性能就是否好,或者如果系统就是不稳定的,那么与稳定情况还差多少等等。
所以频域稳定性判据不仅用于系统的稳定性分析,而且可以更方便地用于控制系统的设计与综合。
闭环系统稳定的充要条件:
如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围
（-1,j0）点的圈数等于开环右极点的个数p,则系统稳定。
开环传递函数G（s）H（s）在s右半平面上有p个极点,当Ѡ由负无穷到正无穷时,[GH]平面上的开环频率特性G（jѠ）H（jѠ）逆时针包围（-1,j0）点p圈,则闭环稳定。
当Ѡ取值由负无穷到正无穷时,其开环G（jѠ）H（jѠ）轨迹必须逆时针包围（-1,j0）点p次,否则就不稳定。
MATLAB提供了函数Nyquist来绘制系统的Nyquist曲线,其基本调用格式为:
s3+0、3s2+15s+200[re,im,w]=nyquist（sys）此函数可以用来求解、绘制系统的nyquist曲线,可以分析包括增益裕度、相角裕度及稳定性等系统特性。
如果使用时没有返回输出参数,函数会屏幕上直接绘制出nyquist曲线。
在MATLAB中输入程序后,自动运行,即绘制出了奈氏曲线。
例6:
已知某系统开环传递函数为:
G（s）H（s）=100/（0、006s^3+0、3s^2+8s+50）,用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性。
解:
先计算系统开环特征方程的根,其实现的程序代码如下:
>>clearall;
>>K=[0、0060、3850]
Roots（K）
运行程序,输出如下
ans=
-20、7512+23、4531i
-20、7512-23、4531i
-8、4977
可以瞧出,3个根负实部,都就是稳定根,所以开环特征方程根的不稳定。
再绘制系统的开环Nyquist曲线并用来判断闭环系统的稳定性。
其实现的方程如下:
>>clearall
>>N=100;
>>D=[0、0060、3850]
>>Gh=tf（N,D）
>>Nyquist（Gh）
运行程序后,绘制出系统的开环Nyquist曲线如图9:
图9系统奈氏曲线
由图9可知,系统的Nyquist曲线不包围（-1,0）点,根据奈氏判据,其闭环系统就是稳定的。
6、3波德图（Bode）
对数坐标图又称为波德图（Bode）,由于方便实用,被广泛的应用于控制系统频域分析时的作图。
Bode图即对数频率特性曲线,她有两条曲线,分别就是对
幅频特性与对数相频特性。
对数频率稳定判据根据开环系统的对数频率特性曲
线判断闭环系统的稳定性。
它可以表示为:
一个反馈控制系统,其闭环特征方程
正实数根个数为Z,可以根据开环传递函数右半s平面极点数P与开环对数幅频特性为正值得所有频率范围内,对数相频曲线为负一百八
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