高中数学苏教版必修三教学案第2章 24 线性回归方程 解析版.docx
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高中数学苏教版必修三教学案第2章24线性回归方程解析版
房地产涨价一直是受关注的民生问题之一，以下是某房地产开发商在2013年前两季度销售的新楼盘中的销售价格y（单位：
万元）与房屋面积x（单位：
m2）的数据.
x
115
110
80
135
105
y
49.6
43.2
38.8
58.4
44
问题1：
在平面直角坐标系中，以x为横坐标，y为纵坐标作出表示以上数据的点．
提示：
问题2：
从上图中发现x，y有何关系？
是函数关系吗？
提示：
从图中发现x逐渐增大时，y逐渐增大，但有个别情况．不是函数关系．
1．变量间的常见关系
（1）函数关系：
变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性关系．
（2）相关关系：
变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．
2．散点图
从一个统计数表中，为了更清楚地看出变量x与变量y是否有相关关系，常将x的取值作为横坐标，将y的相应取值作为纵坐标，将表中数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，我们称这样的图形叫做散点图.
某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
气温/℃
26
18
13
10
4
－1
杯数
20
24
34
38
50
64
问题1：
判断气温与杯数是否有相关关系？
提示：
作散点图可知具有相关关系．
问题2：
若某天的气温是－5℃，能否根据这些数据预测小卖部卖出热茶的大体杯数？
提示：
可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．
1．线性相关关系：
能用直线＝bx＋a近似表示的相关关系．
2．线性回归方程：
设有n对观察数据如下：
x
x1
x2
x3
…
xn
y
y1
y2
y3
…
yn
当a，b使Q＝（y1－bx1－a）2＋（y2－bx2－a）2＋…＋（yn－bxn－a）2取得最小值时，就称方程＝bx＋a为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．
3．用回归直线进行数据拟合的一般步骤：
（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近．
（2）如果散点在一条直线附近，用公式
求出a，b，并写出线性回归方程．
1．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，如试验田的施肥量x与水稻的产量y.当自变量x每取一确定值时，因变量y的取值带有一定的随机性，即还受其他环境因素的影响．
2．用最小平方法求回归直线的方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系（可用散点图判断）．否则求出的线性回归方程是无意义的．
[例1] 关于人体的脂肪含量（百分比）与年龄关系的研究中，得到如下一组数据：
年龄
23
27
39
41
45
49
50
53
脂肪
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
29.6
（1）将上表中的数据制成散点图；
（2）你能从散点图中发现年龄与脂肪含量近似成什么关系吗？
（3）若成线性相关关系，请你画一条直线近似地表示这种线性关系．
[思路点拨] 作出散点图判断相关关系．
[精解详析]
（1）以年龄作为x轴，脂肪含量为y轴，可得相应散点图，如图所示．
（2）从散点图可以发现，年龄与脂肪含量之间具有线性相关关系，且是正相关的．
（3）画出的一条直线如上图．
[一点通]
判断变量间有无线性相关关系，一种常用的简便可行的方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量是线性相关的．
1．根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________．（填“是”或“否”）
解析：
从散点图看，形状呈团状，无任何规律，故不具有线性相关关系．
答案：
否
2．5名学生的数学成绩和化学成绩如下表：
学生
成绩
学科
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
化学
70
66
68
64
62
试画出散点图，并判断它们是否具有线性相关关系．
解：
以x轴表示数学成绩，y轴表示化学成绩，可得相应的散点图如右图所示．由散点图可知，两者之间具有线性相关关系且是正相关．
[例2] （12分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（单位：
万元）有如下的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知y与x成线性相关关系．试求：
（1）线性回归方程＝bx＋a的系数a，b；
（2）使用年限为10年时，试估计维修费用是多少．
[思路点拨] 根据公式求b，代入a＝－b求a并判断．
[精解详析]
（1）∵＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3，
∴b＝＝＝1.23.（6分）
a＝－b＝5－1.23×4＝0.08.（8分）
（2）线性回归方程是＝1.23x＋0.08，
当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38，
所以估计使用10年时维修费用是12.38万元．（12分）
[一点通]
1．求线性回归方程的一般步骤是：
（1）画出散点图，判断是否具有相关关系．
（2）计算，，，iyi.
（3）代入公式计算b、a的值．
（4）写出线性回归方程．
2．利用回归直线可以预测，若回归直线方程为＝bx＋a，则x＝x0处的估计值为＝bx0＋a.（注意：
估计值并不一定是真实值．）
3．本例条件不变，试探究：
（1）所求的回归直线必过（，）点吗？
（2）若设备的使用年限x每增加一年，则所支出的维修费用y如何变化？
解：
（1）由线性回归方程
＝1.23x＋0.08，又＝4，＝5，
验证知必过（，）点．
（2）由线性回归方程知，使用年限每增加一年维修费用就提高1.23万元．
4．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温（℃）
18
13
10
－1
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．
解析：
＝10，＝40，回归方程过点（，），
∴40＝－2×10＋a，∴a＝60.
∴y＝－2x＋60.
令x＝－4，∴＝（－2）×（－4）＋60＝68.
答案：
68
5．以下是江苏省某城镇收集到的新房屋的销售价格y和房屋的大小x的数据：
房屋大小
x（m2）
115
110
80
135
105
销售价格
y（万元）
24.8
21.6
18.4
29.2
22
（1）画出数据的散点图；
（2）求回归方程；
（3）估算一下96m2的房价．
解：
（1）散点图如图所示．
（2）n＝5，i＝545，＝109，i＝116，＝23.2，
＝60975，iyi＝12952.
b＝＝＝
≈0.1962，
a＝－b＝23.2－×109≈1.8166.
∴回归直线方程为＝0.1962x＋1.8166.
（3）当x＝96时，≈20.7.
因此，96m2的新房屋大约为20.7万元．
用线性回归方程估计总体的一般步骤：
（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；
（2）如果散点在一条直线附近，用公式求出a、b，并写出线性回归方程；
（3）根据线性回归方程对总体进行估计．
课下能力提升（十四）
一、填空题
1．已知x，y之间的一组数据为：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则回归直线＝bx＋a必过点________．
解析：
＝，＝4，∴＝bx＋a必过点（，4）．
答案：
（，4）
2．对某台机器购置后的运营年限x（x＝1,2,3…）与当年利润y的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为y＝10.47－1.3x，估计该台机器使用________年最合算．
解析：
只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．
答案：
8
3．已知某工厂在2013年每月产品的总成本y（万元）与月产量x（万件）之间有线性相关关系，回归方程为＝1.215x＋0.974，若月产量增加4万件时，则估计成本增加________万元．
解析：
由1＝1.215x1＋0.974，
2＝1.215（x1＋4）＋0.974，
得2－1＝1.215×4＝4.86（万元）．
答案：
4.86
4．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：
广告费用（千元）
1
4
6
10
14
销售额（千元）
19
44
40
52
53
销售额y（千元）与广告费用x（千元）之间有线性相关关系，回归方程为＝2.3x＋a（a为常数），现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元．
解析：
＝7，＝41.6，
则a＝－2.3＝41.6－2.3×7＝25.5.
当y＝6万元＝60千元时，
60＝2.3x＋25.5，解得x＝15（千元）．
答案：
15
5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A产品过程中记录的产量x（单位：
吨）与相应的生产能耗y（单位：
×103kJ）几组对应的数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为________．
解析：
由＝0.7＋0.35，得
＝0.7×＋0.35，
故＝3.5，即t＝3.
答案：
3
二、解答题
6．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示.
转速x（转/秒）
16
14
12
8
每小时生产有缺
损零件数y（个）
11
9
8
5
（1）作出散点图；
（2）如果y与x线性相关，求出回归直线方程．
解：
（1）如下图．
（2）由
（1）知y和x线性相关．
设回归直线方程为＝bx＋a.
由题意，得＝12.5，＝8.25，
x＝660，xiyi＝438.
所以b＝≈0.73，a≈8.25－0.73×12.5≈－0.88，
所以＝0.73x－0.88.
7．某企业的某种产品产量与单位成本数据如下：
月份
1
2
3
4
5
6
产量（千件）
2
3
4
3
4
5
单位成本（元/件）
73
72
71
73
69
68
（1）试确定回归直线方程；
（2）指出产量每增加1000件时，单位成本下降多少？
（3）假定产量为6000件时，单位成本是多少？
单位成本为70元时，产量应为多少件？
解：
（1）设x表示每月产量（单位：
千件），y表示单位成本（单位：
元），作散点图．
由散点图可知y与x间具有线性相关关系，
设线性回归方程为：
＝bx＋a.
∵b＝≈－1.82，a＝－b≈77.37，
∴线性回归方程为＝－1.82x＋77.37.
（2）由线性回归方程知，产量每增加1000件，单位成本下降1.82元．
（3）当x＝6时，y＝－1.82×6＋77.37＝66.45，
故当
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