三年级等差数列教师版.docx

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三年级等差数列教师版

小学三年级奥数专项练题《等差数列》

【知识要点屋】 

1．定义：

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。

2．特点：

①相邻两项差值相等；②要么递增，要么递减。

3．名词：

公差，首项，末项，项数 

★按一定次序排列的一列数叫做数列。

★数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；最后一个数叫末项。

★如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。

★后项与前项的差就叫做这个数列的公差。

如：

1，2，3，4，?

是等差数列,公差是1;

1，3，5，7，?

是等差数列，公差是2；

5，10，15，20，?

是等差数列，公差是5.

★由高斯的巧算可知，在等差数列中，由如下规律：

通项公式：

末项＝首项＋（项数－1）×公差

第几项=首项+（项数-1）×公差；

项数公式：

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

求和公式：

总和＝（首项＋末项）×项数÷2=平均数×项数 

平均数公式：

平均数＝（首项＋末项）÷2

（★★★） 

⑴一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大3，它的首项是4，那么末项是______； 

⑵一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小5，它的第1项是121，那么它的末项是_______。

（3）一个等差数列的首项是12，第20项等于392，那么这个等差数列的公差＝_____；第19项＝______，212是这个数列的第_____项。

（★★）  

计算下面的数列和：

⑴1＋2＋3＋4＋…＋23＋24＋25＝

⑵1＋5＋9＋13＋…＋33＋37＋41＝

（3）3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＝ 

拓展练习：

1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。

那么应插入哪些数？

　　解答：

d=（40-10）÷（4+1）=6，插入的数是：

16、22、28、34。

2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（     ）。

　　解答：

d=（55-6）÷（8-1）=7

3、

（1）2、4、6、8、……、28、30这个等差数列有（     ）项。

　　解答：

（30-2）÷2+1=15

（2）2、8、14、20、……62这个数列共有（   ）项。

　　解答：

（62-2）÷6+1=11

（3）11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是（   ）。

解答：

（98-11）÷3＋1=30

（4）今天是周日，再过78天是周几？

解答：

（78＋1）÷7=11……2，所以是周一。

（5）2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？

【分析与解】

此数列为一个等差数列，将第21项看做末项。

末项=2+（21-1）×3=62

4、计算下面各题：

（1）2+5+8+?

+23+26+29=

解

（1）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数为（29-2）÷3+1=10的等差数列求和。

原式=（2+29）×10÷2=31×10÷2=155

（2）（2+4+6+?

+100）-（1+3+5+?

+99）=

解法一：

原式=（2+100）×50÷2-（1+99）×50÷2=2550-2500=50；解法二：

原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+?

+（100-99）=1×50=50.

说明两种解法相比较，解法一直套着公式，平平淡淡；

解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+?

+1”，从而解得更巧、更好。

（3）1÷2003+2÷2003+3÷2003+?

+2001÷2003+2002÷2003+2003÷2003

分析：

如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难。

由于除数都相同，被除数组成一个等差数列：

1，2，3，4，?

，2001，2002，2003.所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商。

解原式=（1+2+3+?

+2002+2003）÷2003=（1+2003）×2003÷2÷2003=1002.说明此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化。

计算中又应用乘除混合运算的简化运算，使整个解答显得简捷明快。

5、某小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖。

比赛结果第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人?

?

第十五名并列15人。

用最简便方法计算出得奖的一共又多少人？

分析：

通过审题可知，各个名次的获奖人数正好组成一个等差数列：

1，2，3，?

，15.因此，根据求和公式可以求出获奖总人数。

解：

（1+15）×15÷2=16×15÷2=120（人）

6、某体育馆西侧看台上有30排座位，后面一排都比前面一排多2个座位，最后一排有132个座位。

体育馆西侧看台共有多少个座位？

分析：

要求这30个数的和，必须知道第一排的座位数，而最后一排的座位数是由第一排座位数加上（30-1）×2得出来的，这样就可以求出第一排的座位数。

解：

第一排的座位数为：

132-2×（30-1）=132-58=74（个）所以（74+132）×30÷2=206×30÷2=3090（个）

7、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？

【分析与解】该数列为等差数列，首项为101，公差为2，第21个数的项数为21.

101+（21-1）×2=141

作业：

1、等差数列求和公式（首项，末项，公差已经知道）

和=

等差数列求末项公式（首项，公差，相数已经知道）

末项=

等差数列项数公式：

（首相，公差，末项已知）

项数=

2、求和：

100+102+104+106+108+110+112+114=

1+3+5+7+…+37+39=

（1+3+5+…+1999）-（2+4+6+8+…+1998）=

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=

原式=（1+12）×12÷2=78

11+12+13+14+15+16+17+18+19=

原式=（11+19）×9÷2=135

100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90=

原式=（100+90）×11÷2=1045

3、已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？

第19项是多少？

【分析与解】

公差=137-131=6

131=首项+（9-1）×6所以，首项=83

末项（第19项）=83+（19-1）×6=191

4、体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。

如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？

【分析与解】首项=17，末项=150，公差=7

项数=（150-17）÷7+1=20

5、已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少？

【分析与解】71-50=21

21÷（15-8）=3（公差）

50=首项+（8-1）×3所以首项=29

6、一个数列共有13项，每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，求首项是多少？

【分析与解】将数列顺序进行调整：

首项为125，公差为7，项数为13.

所以末项（所求的“首项”）=125+（13-1）×7=209

7、已知等差数列15，19，23，27……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？

【分析与解】公差=19-15=4项数=（443-15）÷4+1=108

倒数第二项=443-4=439

奇数项组成的数列为：

15，23，31„„439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258

偶数项组成的数列为：

19，27，35„„443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474

差为12474-12258=216

8、自1开始，每隔两个数写出一个数来，得到的数列为1,4,7,10,13,,,,求出这个数列前100项的和

9、影剧院有座位若干排，第一排座位25个，以后每排比第一排多3个位置，最后一排有94个座位，请问，这个影剧院共有多少个座位?

10、小红读一本书，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完，请问这本小说多少页？

11、已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？

第19项是多少？

12、已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少？

【分析与解】 71-50=21

21÷（15-8）=3（公差） 50=首项+（8-1）×3 所以首项=29

13、体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。

如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？

【分析与解】 

首项=17，末项=150，公差=7 项数=（150-17）÷7+1=20

14、已知等差数列15，19，23，27……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差 是多少？

【分析与解】 公差=19-15=4

15、建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？

这堆砖共有多少块？

【分析与解】

项数=（2106-2）÷4+1=527

因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054

数列和=中间项×项数=1054×527=555458

所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。

9、把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？

【分析与解】平均数：

248÷8=31

4个数：

31-1=30

1个数：

30-6=24

末项：

24+（8-1）×2=38即：

最大的数为38。

10、学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛1场。

（1）

（2）若有20人比赛，那么一共要进行多少场选拔赛？

若一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？

分析设20个选手分别是A1,A2,A2,?

A20,我们从选手A1，开始按顺序分析比赛场次：

A1必须和A2，A3，A4，?

，A20这19人各赛一场，共计19场；A2已和A1赛过，他只需和A3，A4，A5，?

，A20这18名选手各赛一场，共计18场；A3已和A1，A2赛过，他只需与A4，A5，A6，?

，A20这17名选手各赛一场，共计17场；依次类推，最后，A19只能和A20赛一场。

然后对各参赛选手的场次求和即可。

解

（1）这20名选手一共需赛19+18+17+?

+2+1=（19+1）×19÷2=190（场）。

（2）设参赛选手有n人，则比赛场次是1+2+3+?

+（n-1），根据题意，有1+2+3+?

+（n-1）=78,经过试验可知，1+2+3+?

+12=78，于是n-1=12，n=13，所以，一共有13人参赛。

说明，

（1）也可这样想，20人每人都要赛19场，但“甲与乙”“乙与甲”只能算一场，因此，共进行20、