反三角函数与简单三角方程.docx
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反三角函数与简单三角方程
1、反三角函数:
概念：
把正弦函数y=sinx,X_一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y=arcsinx.
IL22
y=SinX（X二R）,不存在反函数
含义：
arcsinx表示一个角：
•；角•_一，一；sin〉=x.
122J
反余弦、反正切函数同理，性质如下表.
名称
函数式
定义域
值域
奇偶性
单调性
反正弦函数
y=arcsinX
匚1,1】增
Γ江叮
二2
奇函数
增函数
反余弦函数
y=arccosx
匚1,1】减
10,π】
arccos（-x）=兀-arccosx
非奇非偶
减函数
反正切函数
y=arctanX
R增
（TtJI'
奇函数
增函数
反余切函数
y=arccotX
R减
（0,π）
arccot（-x）=兀-arccotx
非奇非偶
减函数
其中：
（1）•符号arcsinx可以理解为［—二，丄］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［—丄，丄］上的一个实
2222
数；同样符号arccosx可以理解为［0,∏］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［0,∏］上的一个实数；
（2）•y=arcsinx等价于Siny=x,y∈[—,—],y=arccosx等价于cosy=x,x∈[0,∏],这两个等价关
22
系是解反三角函数问题的主要依据；
（3）•恒等式sin（arcsinX）=x,X∈[—1,1],cos（arccosx）=x,x∈[—1,1],
arcsin（sinx）=x,x∈[——,—],arccos（cosx）=x,X∈[0,∏]的运用的条件;22
（4）•恒等式arcsinx+arccosx=—,arctanx+arccotx=—的应用。
22
2、最简单的三角方程
方程
方程的解集
SinX=a
a∣=1
{χIx=2k兀+arcsina,k壬Z}
a<1
{χ∣x=k兀+（_1arcsina,kZ>
COSX=a
a∣=1
{χ|x=2k兀+arccosa,kz}
a<1
{χIx=2k兀±arccosa,kz}
tanx=a
{x|x=k兀+arctana,k乏Z}
cotx=a
{χ∣x=k兀+arccota,k乏Z}
其中:
（1）.含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；
（2）.解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；
（3）.要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；
女口：
若sin〉=Sin:
贝USin=Q（T）k:
;若cos〉=cos：
则〉=2k二二卩
若tan:
=tan：
贝Va=k.■-；若CotI=Cot：
贝ya=k二■L；
（4）.会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
【例题精讲】
例1.函数y=SinX,
「兀
X_2，
A.y=arcsXnXE【-1,1】
B.y=-arcsinx,X1-1,11
C.y"+arcsXnχw[-1,1】
D.y=二-arcsinx,X∣-1,11
分析与解:
X,,需把角X转化至主值区间
IL22
ππ
X,又sin（二-X）=Sinx=y
22
由反正弦函数定义，得H-x=arcsiny
■X-二-arcsiyι又由已知得-1三y二1
.所求反函数为y-二-arcsinx,1-1,1]
例4.函数y=arccos（cosx）,X-
分析与解:
f
X,X-Io,
显然其图象应为（A）
-X,
B.0,
JI
-—:
：
X
3
√3
即-—：
：
1
2
3
SinX二1,
2
而y=arccosu在丨-1,1上为减函数
√3-
二arcco∙s—^arCCOSarCCd）S
2
即O^y,故选（B）
6
例6.使arcsinx.arccosx成立的X的取值范围是（
、r
而y=Sinx在区间|0,
此时arcsinx∙arccosx不成立，故X0
即X1-x2
解不等式,得|x|2
例7.右0：
：
:
：
•：
：
:
—,
2
arcsincos（?
-）arccos∣sin（
■:
:
）1=
π
A.-
2
分析与解:
ππ
C.2、；D.2-;-
22
π
B.-
2
这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。
arcsi©os』心
M=arcsipin）=-arcsin（（S）n
arccdssn*+α）]=arcco&in）=兀-arccoS（（S）n
π^∣ππ
-二-arccocsos』-：
）-二-（-）~二,
ππ
-原式=（-〉厂（2*）=2,故选（A）
2arcsin
-3
⑵tan1arccos1
.5
123丿
例8.求值：
（I）Sin
Γ兀
二上
上
-2
2
分析：
arcsin（-3）表示
5
3
的角，若设〉=arcsin（--）,则易得SinJ
5
3
问题的关键
3,原题即是求Sin2＞的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类
5
是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。
解：
（1）设arcsin（-3）=〉，则Sin-3
5
■.2
二CoSa=S∙1_sinG
3
24
4
.si∣2匚-2sincos：
=2（）（）口
5525
、1
（2）设arccos,贝UCoS二
3
∙∙∙f（x）的单调递增区间是
11+J5]
1-∙.√51^1
[','],同理f（x）的单调递减区间是[「
2222
例9.知函数f（x）=arccos（x2-x）
1口卄2121
f（x）：
：
f（2x2）即Parccos（x-x）：
：
：
arccos[（2x?
）-（Zx?
）]
221
即arccos（x-x）：
：
arccos（4x）
4
x2_x>4x2」
I4
简单的三角方程
Tl逅
（I）Sin（X亏盲
⑵2cos3X1=0；
（3）cot、、X=3
例1.写出下列三角方程的解集
解：
（1）把垃彳看成一个亀z-^=tπ+c-D^二解集⅛=kπ+c>i）k∙→j,k∈Z}
（2）cos3x=--∣-,-3x=2k兀士扌兀解集{x∣x=年±辛，k∈Z）
⑶把丘看成一个角
仮二k兀+arctg3,X=（k兀+arctg3）2解集{x∣x=（kπ+arctg3）2,k∈Z}
例2.求方程tan（3χ'）
4
解；应有3x÷7=tΛ3χ=kπ+-^j
4312
x=⅛÷⅞（k∈ZX≡O≡）-
5JO
当k=0τh2,£Ar5⅛,X分别等于着学，警，警
36363636
⅛.（这些解，称为特）解，所以在[0,2兀]上的解集是
3636
i兀13τ25τr37π49τ61τr
⅛j^3?
J^36^,~36,~36,~W'
求出在指定区间上的特解,
说明如何求在指定区间上的解集？
（1）先求出通解，
（2）让k取适当的整数,
（3）写指定区间上的解.
例3.解方程2sin2x、、3cosx•1=0
解：
方程化为2cos2X-X3cosx_3=0
CoSX=-
二解集为{x∣x=2kπ+-Jk∈Z）
6
说明可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方程解.
例4.解方程①3sinX-2CoSx=0
②2sin2X-3sinxcosx-2cos2x=0
2解：
①以CoSK（T3sκ=0不是方程的解）得tgx=E
9解集为（XlX=+arctg-Jk∈Z）
②除以cos2χ化为2tg2χ-3tgx-2=0.
•:
解集为国X=W-arctg-⅛j;X=k兀+arctg2Jk∈Z）.
说明关于SinX,cosx的齐次方程的解法：
方程两边都除cosnx（n=1,2,3,∙∙∙）（Vcosx=0不是方程的解）,
转化为关于tgx的方程来解.
例5.解方程：
（1）ι3sin2x-cos2x=1
（2）5Sin3x-12cos3x=6.5
思考：
引入辅助角，化为最简单的三角方程
解：
①除以2,得-^-Sin2⅛-cos2x=yJ
sιn2xcos3OQ-co≡2xsiii30?
=；,
sin（2x-30fl）=£，
k
2x-30°=k180°+（-1）30°
∙∙∙x=k90°+（-1）k15°+15°（k∈Z）所以解集是
{x∣x=k90°+（-1）k15°+15°,k∈Z}
5121
②除以13得：
—sιn3x--cos3x=-,
5V19
设小8=^JSmG塔8=y,郦=67°23?
由此得，αn3xcos674231-cos3xsm674231=—,
≡（3x^67o2?
'）二+，:
⅛∙67"23y=klS0o+（-l）h30o,
于是x=k60°+（-1）k10°+22°38',（k∈Z）
•••原方程的解集为{x∣x=k60°（-1）kl0°+22°38',k∈Z}ak
说明将方程加口耳+bcos^=C（ELbc丰0）化为./∙Sinx+J
√a2+b2√a2÷B2
⑴当异讦〉1时，原方程的解集是空集，√a2÷b2
⑵当^?
时，^COEθ=!
22,anθ
√a2+b2√a2+b2
Ib_r
蔦3为辅助角）・坯略如山萨歹解集是叭-
（-l）karcan^=L=-θ},其中k∈ZI这是利S辅助角，扌巴原方程归为√a2+b2
最简单的三角方程.
2
例6.解方程2sinX■3cosx=0.
解原方程可化为2（1-cθx）3）cos,0
2
即2cosx-3cosx-2=0.
解这个关于cosx的二次方程，得
1
CoSX=2,CoSX=
2
由CoSX=2,得解集为■-；
1
kZ.
3
由cosx=——，得解集为〈Xx=2k兀
2
C2兀
所以原方程的解集为\"2心亍“2.
22
当厶-0
［说明］方程中的SinX可化为1-cosX,这样原方程便可看成以cosx为未知数的一元二次方程,时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解.
【拓展提高】
例1.若方程cos2x—2Sinx∙m_1=0存在实数解，求m的取值范围.
解一由原方程，得2sin2X2sinx-m=0,
.2Sin
mC
XSinX0
2
要使方程有解，只需
11?
0
）-0
∣-1,11内.
解这个以Sinx为未知数的一元二次方程，因为
所以m的取值范围为一14.
12,」
［说明］有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以未知数的一元二次方程的.■:
-0,而且必须考虑
解二由原方程得2sinX■2sinx-m=0,
212
得m=2sinX2sinX=2（sinX）-
2
1
因为一1乞Sinx乞1,所以m_4.
2
所以m的取值范围为-14.
12,」
［说明］当方程SinX=t（t为常数）有解时，必须满足t≤1,
11
则原题就转化为求m=2（t）,^∣-1,11的最大值、最小值问题.
22
例2.求方程Sin2x=cos（蔥「x）的解集.
解一由原方程得2sinXCoSX=-cosx,
1得cosx=0,SinX=
2
Γπ〕
由CoSX=O,得解集为fχX=k兀+—,Zh
I2J
1
由SinX「2，得解集为X
X=k二一（_1）K1,kZ.
6
TrKTr
所以原方程的解集为gχχ=k兀十二或x=k^-（-1）二，k^Z》•
26
解二由原方程得Sin2x=—CoSX,
即Sin2x=sin（x）
2
3兀3JT
得2x=2kX或2x=2k二二-（x）,
22
3二，2k二二
即X=2k或X,k：
=Z.
236
3応2kTTTr
所以原方程的解集为^XX=2k兀+——或X=—一，Z,•
236
解三由原方程得SinZ=—cosx,
TC
即cos（—2x）=cosx
2
/口Jl
得2x2k二X或2x2-X,
22
2k^:
■:
即x=2k或X,kZ.
236
Tr2kττTr
所以原方程的解集为gxX=2k兀一或X=-,k^Z
236
［说明］由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合•对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解.
（1）sin：
=Sin：
则：
=2kC；'或：
=2k二二--,kZ;
（2）cos=cos：
则〉=2k亠/或〉=2k二--,k∙Z；
（3）tan匚-tan：
则：
-“，kZ.
【巩固练习】
反三角函数
1.arctan（tan）的值是
5
3
C.2
B.
5
2.下列关系式中正确的是
二
D.—
5
CQS-52-
5二
（Jr）
B.Sinarcsin=
π
1I4丿」
"4
I3丿
3
（
）
A.arcCQS
∖∖π）
cos—
=CQSIarccos—
4
丿I4J
C.arcCQS
1
D.arctan（-2）=arccot（）2
3.函数f（x）=arcsin（tanx）的定义域是
X
5.函数y-二∙arctan—的反函数是
2
I-TTQJT
6.求y=sinx在，上的反函数.
arccos
arccot（-丄）
2
IL22
2
8.研究函数目=arccosx-x的定义域、值域及单调性
2.方程Sin2x=SinX在区间（0,2∏）内的解的个数是3个.
解：
作出函数y=sin2x和y=SinX的图象，由图象知，它们的交点有3个。
10.求下列函数的定义域和值域:
11JT
解：
（1）y=arccos——,0<——≤1,∙'∙x≥1,y∈[0,）.
√xVX2
方程Sinx+cosx=
在区间［0,4π］上的所有的解的和是
3.
（1）方程tan3x=tgx的解集是{x∣X=k∏,k∈Z}.
4.解方程Sin2x-^~3sinxcosx-cos2X=0.
3
cos2X,得
解一因为CoSXH0（使CoSX=0的X的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以
22.3
tanXtanx-仁0.
3
解关于tanX的二次方程，得
tanX=、、3，tanX3
3
由tanX=3,得解集为X
=k,kZ;
3
JI
X=k,kZ
6J
J3f
由tanX—，得解集为X
3
所以原方程的解集为？
XX=k兀
兀亠π
+,或X=k兀一，k乏Z\.
36
：
x岂1,故选（B）
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