专题16 角平分线四大模型解析版.docx

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专题16角平分线四大模型解析版

中考常考几何模型

专题16角平分线四大模型

1、角平分线上的点向两边作垂线

如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。

结论：

PB=PA。

2、截取构造对称全等

如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。

结论：

△OPB≌△OPA。

3、角平分线+垂线构造等腰三角形

如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。

结论：

△AOB是等腰三角形。

4、角平分线+平行线

如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。

结论：

△POQ是等腰三角形。

模型精练：

1．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）

A．40°B．45°C．50°D．60°

2．（2019•桂平市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（　　）

A．2cmB．4cmC．6cmD．10cm

3．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　）

A．m+n＞b+cB．m+n＜b+cC．m+n＝b+cD．无法确定

4．（2019•兰山区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为　　．

5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：

BF＝2CD．

6．如图，在△ABC中，∠ABE＝2∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，垂足为E

（1）若∠C＝30°，求证：

AB＝2BE．

（2）若∠C≠30°，求证：

BE

（AC﹣AB）．

7．（2019•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：

∠ECA＝40°．

8．（2019•临洮县期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：

BC＝AC+CD．

9．（2019•自贡期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，

（1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长；

（2）若BD平分∠ABC，求证：

∠A+∠C＝180°．

10．（2019•宜昌期中）

（1）已知：

如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：

BD＝AB+AC；

（2）对于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．

11．（2019•潮南区期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D．

（1）求证：

∠2＝∠1+∠C；

（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．

12．（2019•蔡甸区校级月考）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：

EF∥AB．

13．（2019•崇安区校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．

14．（2019•江夏区校级月考）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点

（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：

AP⊥CP；

（2）如图

（2），若∠BAP

∠BAC，∠DCP

∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；

（3）在

（1）的条件下，当∠BAQ

∠BAP，∠DCQ

∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？

若不变，求其值；若变化，求其取值范围．

15．（2019•东湖区校级月考）

（1）如图1，已知：

在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有　　个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是　　，△AEF的周长是　　

（2）如图2，若将

（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有　　个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？

证明你的结论，并求出△AEF的周长

（3）已知：

如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？

直接写出结论不证明．

中考常考几何模型

专题16角平分线四大模型

1、角平分线上的点向两边作垂线

如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。

结论：

PB=PA。

2、截取构造对称全等

如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。

结论：

△OPB≌△OPA。

3、角平分线+垂线构造等腰三角形

如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。

结论：

△AOB是等腰三角形。

4、角平分线+平行线

如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。

结论：

△POQ是等腰三角形。

模型精练：

1．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）

A．40°B．45°C．50°D．60°

【点睛】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案

【解析】解：

延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，

设∠PCD＝x°，

∵CP平分∠ACD，

∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，

∴PF＝PM，

∵∠BPC＝40°，

∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，

∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，

∴∠CAF＝100°，

在Rt△PFA和Rt△PMA中，

，

∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），

∴∠FAP＝∠PAC＝50°．

故选：

C．

2．（2019•桂平市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（　　）

A．2cmB．4cmC．6cmD．10cm

【点睛】先求出CD的长，过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DE＝CD，从而得解．

【解析】解：

如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵BC＝12cm，BD＝8cm，

∴CD＝BC﹣BD＝12﹣8＝4cm，

∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，

∴DE＝CD＝4cm，

即点D到直线AB的距离是4cm．

故选：

B．

3．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　）

A．m+n＞b+cB．m+n＜b+cC．m+n＝b+cD．无法确定

【点睛】在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE＝PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n＞b+c．

【解析】解：

在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，

∵AD是∠A的外角平分线，

∴∠CAD＝∠EAD，

在△ACP和△AEP中，

，

∴△ACP≌△AEP（SAS），

∴PE＝PC，

在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，

∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，

∴m+n＞b+c．

故选：

A．

4．（2019•兰山区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为　11　．

【点睛】根据平行线的性质得出∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，根据角平分线定义得出∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，求出∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，推出ME＝BM，EN＝CN即可．

【解析】解：

∵MN∥BC，

∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，

∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，

∴∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB，

∴∠MEB＝∠MBE，∠NEC＝∠NCE，

∴ME＝BM，EN＝CN，

∵BM+CN＝11，

∴EM+EN＝11，

即MN＝11，

故答案为：

11．

5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：

BF＝2CD．

【点睛】作BE的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．

【解析】解：

取BF的中点E，连接AE，AD，

∵∠BAC＝90°，

∴AE＝BE＝EF，

∴∠ABD＝∠BAE，

∵CD⊥BD，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠DAC＝∠DBC，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∴∠DAC＝∠BAE，

∴∠EAD＝90°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝45°，

∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，

∴∠AED＝45°，

∴AE＝AD，

在△ABE与△ADC中，

，

∴△ABE≌△ADC，

∴BE＝CD，

∴BF＝2CD．

6．如图，在△ABC中，∠ABE＝2∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，垂足为E

（1）若∠C＝30°，求证：

AB＝2BE．

（2）若∠C≠30°，求证：

BE

（AC﹣AB）．

【点睛】

（1）由BE⊥AD，得到∠AEB＝90°，根据已知条件得到∠ABE＝60°，根据三角形的内角和得到∠BAE＝30°，根据直角三角形的性质即刻得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到AB＝AF，根据等腰三角形的性质得到∠AFE＝∠ABE＝2∠C，根据三角形外角的性质得到∠C＝∠CBF，得到BF＝CF，于是得到结论．

【解析】解：

（1）∵BE⊥AD，

∴∠AEB＝90°，

∵∠ABE＝2∠C，∠C＝30°，

∴∠ABE＝60°，

∴∠BAE＝30°，

∴AB＝2BE；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，