整式的乘法及因式分解压轴题解析.docx
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整式的乘法及因式分解压轴题解析
整式的乘法与因式分解
【知识脉络】
【根底知识】
1．单项式的乘法法那么：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式．
3a2b2×2abc=〔3×2〕×〔a2b2×abc〕=6a3b3c
2．单项式与多项式的乘法法那么：
a（b+c+d）=ab+ac+ad
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
3．多项式与多项式的乘法法那么：
（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
4．乘法公式：
①完全平方公式：
〔a＋b〕2＝a2＋2ab＋b2
〔a－b〕2＝a2－2ab＋b2
语言表达：
两个数的和〔或差〕的平方等于这两个数的平方和加上〔或减去〕这两个数的积的2倍．
②平方差公式：
〔a＋b〕〔a－b〕＝a2－b2
语言表达：
两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
5．因式分解〔难点〕
因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
一、掌握因式分解的定义应注意以下几点：
〔1〕分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
〔2〕因式分解必须是恒等变形；
〔3〕因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
二、熟练掌握因式分解的常用方法．
1、提公因式法
〔1〕提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三局部：
①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的一样字母；③指数——一样字母的最低次数；
〔2〕提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
〔3〕注意点：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底〞；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－〞号，使括号的第一项的系数是正的．
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式：
a2－b2＝〔a＋b〕〔a－b〕
②完全平方公式：
a2＋2ab＋b2＝〔a＋b〕2
a2－2ab＋b2＝〔a－b〕2
【典例解析】
例题1：
数学家创造了一个魔术盒，当任意数对〔a，b〕进入其中时，会得到一个新的数：
〔a﹣1〕〔b﹣2〕．现将数对〔m，1〕放入其中，得到数n，再将数对〔n，m〕放入其中后，最后得到的数是﹣m2+2m．〔结果要化简〕
【考点】整式的混合运算．
【分析】根据题意的新定义列出关系式，计算即可得到结果．
【解答】解：
根据题意得：
〔m﹣1〕〔1﹣2〕=n，即n=1﹣m，
那么将数对〔n，m〕代入得：
〔n﹣1〕〔m﹣2〕=〔1﹣m﹣1〕〔m﹣2〕=﹣m2+2m．
故答案为：
﹣m2+2m
【点评】此题考察了整式的混合运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．
例题2：
乘法公式的探究与应用：
〔1〕如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影局部面积是a2﹣b2〔写成两数平方差的形式〕
〔2〕小颖将阴影局部裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，那么长方形的长是a+b，宽是a﹣b，面积是 〔a+b〕〔a﹣b〕 〔写成多项式乘法的形式〕．
〔3〕比拟甲乙两图阴影局部的面积，可以得到公式〔两个〕
公式1：
〔a+b〕〔a﹣b〕=a2﹣b2
公式2：
a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕
〔4〕运用你所得到的公式计算：
10.3×9.7．
【考点】平方差公式的几何背景．
【分析】〔1〕中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；
〔2〕中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=〔a+b〕〔a﹣b〕；
〔3〕中的答案可以由〔1〕、〔2〕得到〔a+b〕〔a﹣b〕=a2﹣b2；反过来也成立；
〔4〕把10.3×9.7写成〔10+0.3〕〔10﹣0.3〕，利用公式求解即可．
【解答】解：
〔1〕阴影局部的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；
〔2〕长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=〔a+b〕〔a﹣b〕；
故答案为：
a+b，a﹣b，〔a+b〕〔a﹣b〕；
〔3〕由〔1〕、〔2〕得到，公式1：
〔a+b〕〔a﹣b〕=a2﹣b2；
公式2：
a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕
故答案为：
〔a+b〕〔a﹣b〕，a2﹣b2=〔a+b〕〔a﹣b〕；
〔4〕10.3×9.7=〔10+0.3〕〔10﹣0.3〕
=102﹣0.32
=100﹣0.09
=99.91．
例题3：
如图，将一边长为a的正方形〔最中间的小正方形〕与四块边长为b的正方形〔其中b＞a〕拼接在一起，那么四边形ABCD的面积为〔 〕
A．b2+〔b﹣a〕2B．b2+a2C．〔b+a〕2D．a2+2ab
考点：
勾股定理．
分析：
先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
解答：
解：
∵DE=b﹣a，AE=b，
∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××〔b﹣a〕•b
=b2+〔b﹣a〕2．
应选：
A．
点评:
此题考察的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
例题4：
如图1，我们在2021年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差〞〔将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差〞〕．该十字星的十字差为10×12﹣4×18=48，再选择其他位置的十字星，可以发现“十字差〞仍为48．
〔1〕如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差〞，可以发现相应的“十字差〞也是一个定值，那么这个定值为24．
〔2〕假设将正整数依次填入k列的长方形数表中〔k≥3〕，继续前面的探究，可以发现相应“十字差〞为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．
〔3〕如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差〞，假设某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差〞为2021，那么这个十字星中心的数为975〔直接写出结果〕．
【考点】规律型：
数字的变化类．
【分析】〔1〕根据题意求出相应的“十字差〞，即可确定出所求定值；
〔2〕定值为k2﹣1=〔k+1〕〔k﹣1〕，理由为：
设十字星中心的数为x，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；
〔3〕设正中间的数为a，那么上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据相应的“十字差〞为2021求出a的值即可．
【解答】解：
〔1〕根据题意得：
6×8﹣2×12=48﹣24=24；
故答案为：
24；
〔2〕定值为k2﹣1=〔k+1〕〔k﹣1〕；
证明：
设十字星中心的数为x，那么十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k〔k≥3〕，
十字差为〔x﹣1〕〔x+1〕﹣〔x﹣k〕〔x+k〕=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，
故这个定值为k2﹣1=〔k+1〕〔k﹣1〕；
〔3〕设正中间的数为a，那么上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，
根据题意得：
〔a﹣1〕〔a+1〕﹣〔a﹣62〕〔a+64〕=2021，
解得：
a=975．
故答案为：
975．
【跟踪训练】
1.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形〔如下图〕，从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=〔a+b〕2．
2.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各假设干，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少？
3.a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，那么△ABC是〔 〕
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
4.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比方2021年1月份的日历，我们设计这样的算法：
任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后穿插求和，再相减请你按照这个算法完成以下计算，并答复以下问题
[2021年1月份的日历]
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
〔1〕计算：
〔12+92〕﹣〔22+82〕=14，﹣=14，自己任选一个有4个数的方框进展计算14
〔2〕通过计算你发现什么规律，并说明理由．
5.〔x+y〕2=25，xy=
，求x﹣y的值．
6.
，那么〔a+b〕2﹣〔a﹣b〕2的值为1．
7.①一个多项式除以2m得1﹣m+m2，这个多项式为2m﹣2m2+2m3．
②6x2+5x﹣6÷〔2x+3〕=〔3x﹣2〕．
③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．假设小玉报的是3a2b﹣ab2，那么小丽报的是a﹣b；假设小丽报的是9a2b，那么小玉报的整式是27a3b2．
④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为〔a+b〕cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为a+cm．
8.阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：
y2+4y+8=y2+4y+4+4=〔y+2〕2+4≥4，∵〔y+2〕2≥0即〔y+2〕2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．
参考答案：
1.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形〔如下图〕，从而可得到因式分解的公式a2+2ab+b2=〔a+b〕2．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】根据提示可知1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解．
【解答】解：
两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a+b，面积为〔a+b〕2，
所以a2+2ab+b2=〔a+b〕2．
【点评】此题考察了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．
2.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各假设干，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少？
【考点】多项式乘多项式．
【分析】根据长乘以宽，表示出大长方形的面积，即可确定出三类卡片的数．
【解答】解：
∵〔2a+b〕〔a+2b〕=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，
∴需要A类卡片2，B类卡片2，C类卡片5．
3.a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，那么△ABC是〔 〕
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【考点】因式分解的应用．
【分析】等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．
【解答】解：
等式变形得：
〔a+b〕〔a﹣b〕﹣c〔a﹣b〕=0，即〔a﹣b〕〔a+b﹣c〕=0，
∵a+b﹣c≠0，
∴a﹣b=0，即a=b，
那么△ABC为等腰三角形．
应选：
C．
4.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比方2021年1月份的日历，我们设计这样的算法：
任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后穿插求和，再相减请你按照这个算法完成以下计算，并答复以下问题
[2021年1月份的日历]
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
〔1〕计算：
〔12+92〕﹣〔22+82〕=14，﹣=14，自己任选一个有4个数的方框进展计算14
〔2〕通过计算你发现什么规律，并说明理由．
【考点】整式的混合运算．
【分析】〔1〕先算乘法，再合并即可；
〔2〕设最小的数字为n，那么其余三个分别为n+8，n+1，n+7，根据题意得出算式[n2+〔n+8〕2]﹣[〔n+1〕2+〔n+7〕2]，求出即可．
【解答】解：
〔1〕〔12+92〕﹣〔22+82〕=1+81﹣4﹣64=14，
﹣=100+324﹣121﹣289=14，
〔32+112〕﹣〔42+102〕=9+121﹣16﹣100=14，
故答案为：
14；
〔2〕计算结果等于14，
理由是：
设最小的数字为n，那么其余三个分别为n+8，n+1，n+7，
所以[n2+〔n+8〕2]﹣[〔n+1〕2+〔n+7〕2]
=n2+n2+16n+64﹣n2﹣2n﹣1﹣n2﹣14n﹣49
=14．
5.〔x+y〕2=25，xy=
，求x﹣y的值．
【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：
∵〔x+y〕2=x2+2xy+y2，
∴25=x2+y2+
，
∴x2+y2=
∵〔x﹣y〕2=x2﹣2xy+y2，
∴〔x﹣y〕2=
﹣
=16
∴x﹣y=±4
6.
，那么〔a+b〕2﹣〔a﹣b〕2的值为1．
考点：
因式分解-运用公式法．
分析：
首先利用完全平方公式展开进而合并同类项，再将代入求出即可．
解答：
解：
∵〔a+b〕2﹣〔a﹣b〕2
=〔a2+2ab+b2〕﹣〔a2﹣2ab+b2〕
=4ab，
∴将
，代入上式可得：
原式=4ab=4×
×
=1．
故答案为：
1．
点评：
此题主要考察了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．
7.①一个多项式除以2m得1﹣m+m2，这个多项式为2m﹣2m2+2m3．
②6x2+5x﹣6÷〔2x+3〕=〔3x﹣2〕．
③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．假设小玉报的是3a2b﹣ab2，那么小丽报的是a﹣b；假设小丽报的是9a2b，那么小玉报的整式是27a3b2．
④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为〔a+b〕cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为a+cm．
考点：
整式的混合运算．
分析：
①利用2m乘1﹣m+m2计算即可；
②把除式和商相乘即可；
③根据被除式÷商=除式，被除式=除式×商列式计算即可；
④利用4块土地换成一块地后的面积与原来4块地的总面积相等，而原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，得到4块土地换成一块地后面积为〔a2+bc+ac+ab〕米，又此块地的宽为〔a+b〕米，根据矩形的面积公式得到此块地的长=〔a2+bc+ac+ab〕÷〔a+b〕，把被除式分解后再进展除法运算即可得到结论．
解答：
解：
①2m〔1﹣m+m2〕=2m﹣2m2+2m3；
②〔2x+3〕〔3x﹣2〕=6x2+5x﹣6；
③〔3a2b﹣ab2〕÷3ab=a﹣b，
3ab•9a2b=27a3b2；
④∵原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，
∴将这4块土地换成一块地后面积为〔a2+bc+ac+ab〕米，
而此块地的宽为〔a+b〕米，
∴此块地的长=〔a2+bc+ac+ab〕÷〔a+b〕
=〔a2+ac+bc+ab〕÷〔a+b〕
=[a〔a+c〕+b〔a+c〕÷〔a+b〕]
=〔a+b〕〔a+c〕÷〔a+b〕
=a+c．
故答案为：
2m﹣2m2+2m3；6x2+5x﹣6；a﹣b，27a3b2；a+c．
点评：
此题考察整式的混合运算，掌握计算方法是解决问题的关键．
8.阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：
y2+4y+8=y2+4y+4+4=〔y+2〕2+4≥4，∵〔y+2〕2≥0即〔y+2〕2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．
考点：
因式分解的应用．
专题：
阅读型．
分析：
〔1〕多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
〔2〕多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．
解答：
解：
〔1〕m2+m+4=〔m+〕2+
，
∵〔m+〕2≥0，
∴〔m+〕2+
≥
．
那么m2+m+4的最小值是
；
〔2〕4﹣x2+2x=﹣〔x﹣1〕2+5，
∵﹣〔x﹣1〕2≤0，
∴﹣〔x﹣1〕2+5≤5，
那么4﹣x2+2x的最大值为5．
点评：
此题考察了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
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