北京市朝阳区高三下学期综合练习一模数学理数学理.docx

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北京市朝阳区高三下学期综合练习一模数学理数学理

北京市朝阳区

2018届高三下学期3月综合练习（一模）

数学（理）试题

第I卷（选择题共40分）

一、选择题:

本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.已知全集为实数集,集合

则

（A）（B）

（C）（D）

【答案】

【解析】本题考查集合的运算.

集合

所以或,

所以

故选.

2.复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于

（A）第一象限（B）第二象限

（C）第三象限（D）第四象限

【答案】

【解析】本题考查复数的运算与坐标表示.

由得

在复平面内对应的点为,在第一象限,故选.

3.直线的参数方程为

（为参数）,则的倾斜角大小为

（A）（B）（C）（D）

【答案】

【解析】本题考查直线的参数方程及倾斜角.

由

可以得到直线的方程为.

所以直线的斜率为,倾斜角为,故选.

4.已知为非零向量,则“”是“与夹角为锐角”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】

【解析】本题考查平面向量数量积与夹角的关系.

∵为非零向量

∴

夹角为锐角

∵

故选.

5.某单位安排甲、乙、丙、丁名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有人值班,每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为

（A）（B）（C）（D）

【答案】

【解析】本题考查排列组合.

甲连续天上班,共有（周一，周二）,（周二,周三）,（周三,周四）,

（周四,周五）四种情况,剩下三个人进行全排列,有种排法

因此共有种排法,故选.

6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】

【解析】本题考查三视图还原和锥体体积的计算

抠点法:

在长方体中抠点,

1.由正视图可知:

上没有点;

2.由侧视图可知:

上没有点;

3.由俯视图可知:

上没有点;

4.由正（俯）视图可知:

处有点,由虚线可知处有点,点排除.

由上述可还原出四棱锥,如右图所示,

故选.

7.庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:

甲说:

“我或乙能中奖”;

乙说:

“丁能中奖”;

丙说:

“我或乙能中奖”;

丁说:

“甲不能中奖”.

游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是

（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁

【答案】

【解析】本题考查学生的逻辑推理能力.

由四人的预测可得下表:

中奖人

预测结果

甲

乙

丙

丁

甲

✔

✖

乙

✔

✖

✔

丙

✖

✔

丁

✖

✔

✖

✔

1.若甲中奖,仅有甲预测正确,符合题意

2.若乙中奖,甲、丙、丁预测正确,不符合题意

3.若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意

4.若丁中奖,乙、丁预测正确,不符合题意

故只有当甲中奖时,仅有甲一人预测正确.选

8.在平面直角坐标系中,已知点,,动点满足,其中

则所有点构成的图形面积为

（A）（B）（C）（D）

【答案】

【解析】本题考查向量坐标运算,线性规划.

设,则

所有点构成图形如图所示（阴影部分）

故选

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题:

本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.执行如图所示的程序框图,若输入则输出的值为

【答案】

【解析】本题考查程序框图.

初始

第一次

第二次

第三次

第四次

第四次时,,所以输出

10.若三个点

中恰有两个点在双曲线

上,则双曲线的渐近线方程为.

【答案】

【解析】本题考查双曲线图象与渐近线方程.

由于双曲线关于原点对称,故在双曲线上,代入方程解得,又因为,所以渐近线方程为

11.函数

的部分图象如图所示,则函数在区间上的零点为

【答案】

【解析】本题考查三角函数图象与性质

由图得,即最小正周期

又因为,且,解得

由图得时,

又因为,所以

的零点即

的图象与轴交点的横坐标

则,解得

因为,得到

所以零点为

12.已知点若点是圆

上的动点,则面积的最小值为.

【答案】

【解析】本题考查直线与圆位置关系.

将圆

化简成标准方程

圆心,半径

因为,所以

要求面积最小值,即要使圆上的动点到直线的距离最小

而圆心到直线的距离为

所以

所以的最小值为

13.等比数列满足如下条件:

①②数列的前项和.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式

【答案】（答案不唯一）

【解析】本题考查等比数列通项公式和前项和.

例:

①

则

②

则

③

则

14.已知函数

当时,函数的最大值是若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称,则的取值范围是

【答案】

【解析】本题考查函数综合应用.

当时,

令

当,即时取等号

即当时,

令

又因为

则

图象仅有两对点关于轴对称

即的图象关于轴对称的函数图象与仅有两个交点

当时,.设其关于轴对称的函数为

∴

∵

由

（1）可知近似图象如图所示

当与仅有两个交点时,

综上,的取值范围是

三、解答题（共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程）

15.（本小题满分13分）

在中,已知

（Ⅰ）若,求的面积;

（Ⅱ）若为锐角,求的值.

【解析】（Ⅰ）由正弦定理得,因为,

所以

因为

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,因为为锐角,所以.

所以

16.（本小题满分14分）

如图,在矩形中,,为的中点,为的中点.将沿折起到,使得平面平面（如图）.

（Ⅰ）求证:

;

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值;

（Ⅲ）在线段上是否存在点,使得平面?

若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

【解析】（Ⅰ）如图,在矩形中,

为中点,

为的中点,

由题意可知,,

平面平面

平面平面,平面

平面

平面,

（Ⅱ）取中点为,连结

由矩形性质,,可知

由（Ⅰ）可知,

以为原点,为轴,为轴,为轴建立坐标系

在中,由,则

所以

设平面的一个法向量为

则

令,则

所以

设直线与平面所成角为

所以直线与平面所成角的正弦值为

（Ⅲ）假设在线段上存在点,满足平面

设

由

,所以

若平面,则

所以

解得

所以.

17.（本小题满分13分）

某地区高考实行新方案,规定:

语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目,若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.

某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:

性别

选考方案确定情况

物理

化学

生物

历史

地理

政治

男生

选考方案确定的有8人

选考方案待确定的有6人

女生

选考方案确定的有10人

选考方案待确定的有6人

（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？

（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8位男生随机选出1人,从选考方案确定的10位女生中随机选出1人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率;

（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生随机选出2名,设随机变量

求的分布列及数学期望.

【解析】（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为

（人）

所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为人.

（Ⅱ）该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为

（Ⅲ）由题意知的所有可能取值为

所以的分布列为

期望为

18.（本小题满分13分）

已知函数

（Ⅰ）当时,（i）求曲线在点处的切线方程;

（ii）求函数的单调区间;

（Ⅱ）若,求证:

【解析】（Ⅰ）当时,

定义域为

（i）

所以切点坐标为,切线斜率为

所以切线方程为

（ii）令

所以在上单调递减,且

所以当时,即

综上所述,的单调递增区间是,单调递减区间是.

（Ⅱ）方法一:

即

设

所以在小于零恒成立

即在上单调递减

因为

所以,

所以在上必存在一个使得

即

所以当时,,单调递增

当时,,单调递减

所以

因为

所以

令得

因为,所以

因为,所以恒成立

即恒成立

综上所述,当时,

方法二:

定义域

为了证明,即

只需证明,即

令

则

令,得

所以在上单调递增,在上单调递减

所以

即,则

令

因为,所以

所以恒成立

即

所以

综上所述,

即当时,

19.（本小题满分14分）

已知椭圆

的离心率为,且过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.

【解析】（Ⅰ）由题可得

解得

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）结论:

理由如下:

由题知直线斜率存在,

设

联立

消去得

由题易知恒成立,

由韦达定理得

因为与斜率相反且过原点,

设,

联立

消去得,

由题易知恒成立,

由韦达定理得

因为两点不与重合,

所以直线存在斜率,

则

所以直线的倾斜角互补,

所以.

20.（本小题满分13分）

已知集合是集合

的一个含有个元素的子集.

（Ⅰ）当

时,

设

（

）写出方程的解;

（

）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.

（Ⅱ）证明:

对任意一个,存在正整数使得方程至少有三组不同的解.

【解析】

（Ⅰ）（）方程的解有:

（）以下规定两数的差均为正,则:

列出集合的从小到大个数中相邻两数的差:

;

中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）:

4,5,6,6,5,4;

中间相隔二数的两数差:

;

中间相隔三数的两数差:

;

中间相隔四数的两数差:

;

中间相隔五数的两数差:

;

中间相隔六数的两数差:

这个差数中,只有出现次,出现次,其余都不超过次,

所以的可能取值有

（Ⅱ）证明:

不妨设

记

,共个差数.

假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,从而

这与矛盾,所以结论成立.

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