八年级数学上册知识点归纳方程的定义.docx

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八年级数学上册知识点归纳方程的定义

八年级数学上册知识点归纳：

方程的定义

八年级数学上册知识点归纳：

方程的定义

知识点1：

一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程．

一元一次方程的标准形式是：

ax＋b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．

一元一次方程的最简形式是：

ax=b（a≠0）．

不定方程:

一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。

代数方程:

代数方程通常指整式方程。

有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。

等式:

用符号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．性质：

两边同加同减一个数或等式仍为等式;两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。

方程的根：

只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。

解一元一次方程的一般步骤：

1．去分母：

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；

2．去括号：

先去小括号，再去中括号，最后去大括号；

3．移项：

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；

4．合并同类项：

把方程化成ax=b（a≠0）的形式；

5．系数化成1：

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。

矛盾方程：

一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程．知识点2：

二元一次方程

有两个未知数并且未知项的次数是1，这样的方程，叫做二元一次方程．

二元一次方程组：

含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组．

解：

使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．二元一次方程组的两种解法：

（1）代入消元法，简称代入法．

①把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示．

②把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．

③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．

④把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解．

2）加减消元法，简称加减法．

①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等．

②把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．

③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．

④把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解．

二元一次方程组解的情况：

知识点3：

一元一次不等式（组）：

不等号有＞、≥、＜、≤或≠等等．用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式．如axb（a≠0）

几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组

不等式基本性质：

（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

一元一次不等式的解法步骤：

（1）去分母

（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化成1

（如果乘数和除数是负数，要把不等号改变方向）

一元一次不等式组的解法步骤：

（1）分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集．

（2）在数轴上表示各个不等式的解集．（3）写出不等式组的解集．

一元一次不等式组的四种情况：

知识点4

一元二次方程

基本概念：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2（任意）.一次项系数为5（任意），二次项是3（任意不为0）.一元二次方程的求根公式：

一元二次方程的解法：

1．解一元二次方程的直接开平方法

如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解．

2．解一元二次方程的配方法

先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，可通过直接开平方法来求方程的解，也就是先配方再求解．

3．解一元二次方程的公式法

利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

4．解一元二次方程的因式分解法

在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，可先将一边分解成两个一次因式的积，再分别令每个因式为零，通过解一元一次方程，可求得原方程的解．

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成（x-p）2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的（）

A、（x-p）2=5B、（x-p）2=9

C、（x-p+2）2=9D、（x-p+2）2=5

2、已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于（）

A、-1B、0C、1D、2

3、若α、β是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）

A、2005B、2003C、-2005D、4010

4、关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是（）

A、k≤-B、k≥-且k≠0

C、k≥-D、k＞-且k≠0

5、关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）

A、x2+3x-2=0B、x2-3x+2=0

C、x2-2x+3=0D、x2+3x+2=0

6、已知关于x的方程x2-（2k-1）x+k2=0有两个不相等的实根，那么k的最大整数值是（）

A、-2B、-1C、0D、1

7、某城2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是（）

A、300（1+x）=363B、300（1+x）2=363

C、300（1+2x）=363D、363（1-x）2=300

8、甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2+和2-，则原方程是（）

A、x2+4x-15=0B、x2-4x+15=0

C、x2+4x+15=0D、x2-4x-15=0

9、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根，则m的值为（）

A、2B、0C、-1D、

10、已知直角三角形x、y两边的长满足|x2-4|+=0，则第三边长为（）

A、2或B、或2

C、或2D、、2或

二、填空题（每小题3分，共30分）

11、若关于x的方程2x2-3x+c=0的一个根是1，则另一个根是.

12、一元二次方程x2-3x-2=0的解是.

13、如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b的值是.

14、等腰△ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根，则m的值是.

15、2005年某市人均GDP约为2003年的1.2倍，如果该市每年的人均GDP增长率相同，那么增长率为.

16、科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高根鞋鞋根的最佳高度约为cm.（精确到0.1cm）

17、一口井直径为2m，用一根竹竿直深入井底，竹竿高出井口0.5m，如果把竹竿斜深入井口，竹竿刚好与井口平，则井深为m，竹竿长为m.

18、直角三角形的周长为2+，斜边上的中线为1，则此直角三角形的面积为.

19、如果方程3x2-ax+a-3=0只有一个正根，则的值是.

20、已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，则+的值为.

三、解答题（共60分）

21、解方程（每小题3分，共12分）

（1）（x-5）2=16

（2）x2-4x+1=0

（3）x3-2x2-3x=0（4）x2+5x+3=0

22、（8分）已知：

x1、x2是关于x的方程x2+（2a-1）x+a2=0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值.

23、（8分）已知：

关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0

（1）当m取何值时，方程有两个实数根？

（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根.

24、（8分）已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根

（1）求k的取值范围

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值.

25、（8分）已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c-b）x2+2（b-a）x+（a-b）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.

26、（8分）某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2

求：

（1）该工程队第二天第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数.

27、（分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克

（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？

一元二次方程单元测试题参考答案

一、选择题

1～5BCBCB6～10CBDAD

提示：

3、∵α是方程x2+2x-2005=0的根，∴α2+2α=2005

又α+β=-2∴α2+3α+β=2005-2=2003

二、填空题

11～15±425或1610%

16～206.7，43

提示：

14、∵AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根

∴

在等腰△ABC中

若BC=8，则AB=AC=5，m=25

若AB、AC其中之一为8，另一边为2，则m=16

20、∵△=32-4×1×1=5＞0∴α≠β

又α+β=-3＜0，αβ=1＞0，∴α＜0，β＜0

三、解答题

21、

（1）x=9或1

（2）x=2±（3）x=0或3或-1

（4）

22、解：

依题意有：

x1+x2=1-2ax1•x2=a2

又（x1+2）（x2+2）=11∴x1x2+2（x1+x2）+4=11

a2+2（1-2a）-7=0a2-4a-5=0

∴a=5或-1

又∵△=（2a-1）2-4a2=1-4a≥0

∴a≤

∴a=5不合题意，舍去，∴a=-1

23、解：

（1）当△≥0时，方程有两个实数根

∴-2（m+1）]2-4m2=8m+4≥0∴m≥-

（2）取m=0时，原方程可化为x2-2x=0，解之得x1=0，x2=2

24、解：

（1）一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根

∴△=16-4k＞0∴k＜4

（2）当k=3时，解x2-4x+3=0，得x1=3，x2=1

当x=3时，m=-，当x=1时，m=0

25、解：

由于方程为一元二次方程，所以c-b≠0，即b≠c

又原方程有两个相等的实数根，所以应有△=0

即4（b-a）2-4（c-b）（a-b）=0，（a-b）（a-c）=0，

所以a=b或a=c

所以是△ABC等腰三角形

26、解：

（1）1250（1-20%）=1000（m2）

所以，该工程队第一天拆迁的面积为1000m2

（2）设该工程队第二天，第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x，则

1000（1+x）2=1440，解得x1=0.2=20%，x2=-2.2，（舍去），所以，该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是20%.

27、解：

（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500-20x）=6000

解得x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，所以x=5

（2）设涨价x元时总利润为y，则

y=（10+x）（500-20x）=-20x2+300x+5000=-20（x-7.5）2+6125

当x=7.5时，取得最大值，最大值为6125

答：

（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元.

（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多.