步步高第一章 专题强化一图像及追及相遇问题.docx

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步步高第一章专题强化一图像及追及相遇问题

专题强化一　运动学图象　追及相遇问题

专题解读

1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，以选择题形式命题.

2.学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图象分析和解决运动学问题的能力.

3.用到的知识有：

x－t图象和v－t图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，极值思想等数学方法.

命题点一　运动学图象的理解和应用

1.x－t图象

（1）物理意义：

反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律.

（2）斜率意义

①图线上某点切线的斜率的大小表示物体速度的大小.

②切线斜率的正负表示物体速度的方向.

2.v－t图象

（1）物理意义：

反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律.

（2）斜率意义

①图线上某点切线的斜率的大小表示物体加速度的大小.

②图线上某点切线的斜率的正负表示物体加速度的方向.

（3）面积意义

①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移大小.

②此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向.

3.对两种图象的理解

（1）x－t图象、v－t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值x、v与t一一对应.

（2）x－t图象、v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定.

（3）无论是x－t图象还是v－t图象，所描述的运动都是直线运动.

例1

　如图1所示为甲、乙两质点做直线运动的速度－时间图象，则下列说法中正确的是（　　）

图1

A.在0～t3时间内甲、乙两质点的平均速度相等

B.甲质点在0～t1时间内的加速度与乙质点在t2～t3时间内的加速度相同

C.甲质点在0～t1时间内的平均速度小于乙质点在0～t2时间内的平均速度

D.在t3时刻，甲、乙两质点都回到了出发点

答案　A

解析　因在0～t3时间内甲、乙两质点的速度图线与t轴所围“面积”相等，说明位移相等，则甲、乙两质点的平均速度相等，故A项正确.在0～t1时间内，甲的图线斜率为正值，加速度为正方向；在t2～t3时间内，乙的图线斜率为负值，加速度为负方向，两个加速度不相同，故B项错误.甲质点在0～t1时间内的平均速度等于

＝

；乙质点在0～t2时间内的平均速度等于

＝

，故C项错误.由图可知甲、乙两质点的速度均为正值.则两质点均做单向直线运动，不可能回到出发点，故D项错误.

例2

　甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图2所示.已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10s处.则下列说法正确的是（　　）

图2

A.甲车的初速度为零

B.乙车的初位置在x0＝60m处

C.乙车的加速度大小为1.6m/s2

D.5s时两车相遇，此时甲车速度较大

答案　C

解析　由图可知甲车做匀速直线运动，速度v甲＝

＝

m/s＝4m/s.故A错；由图可知乙车做匀减速直线运动，可看做是反方向的匀加速直线运动，则有x＝

at2，由图可知，当其反向运动5s时，位移为20m.则有20＝

a·52，得加速度大小a＝1.6m/s2.因其共运动了10s，可得x0＝

×1.6×102m＝80m.C对，B错.t＝5s时，两车相遇，但甲车速度v甲＝4m/s小于乙车速度v乙＝8m/s，D错.

1.（多选）国际海事局在2016年2月2日发布报告说，2015年索马里海域未发生任何海盗袭击事件，IHS分析报告得知，由于非洲之角地区（索马里、埃塞俄比亚）国内政治局势持续恶化，今年航行于索马里附近海域的船舶面临海盗威胁的风险将增高.假设亚丁湾索马里海盗的几艘快艇试图靠近劫持一艘被护航编队保护的商船，护航队员发射爆震弹成功将其驱逐.其中一艘海盗快艇在海面上的速度—时间图象如图3所示，则下列说法正确的是（　　）

图3

A.海盗快艇在0～66s内从静止出发做加速度增大的加速运动

B.海盗快艇在96s末开始调头逃离

C.海盗快艇在66～96s内运动了225m

D.海盗快艇在96～116s内做匀减速运动

答案　BC

解析　在0～66s内图象的斜率越来越小，加速度越来越小，速度越来越大，故海盗快艇做加速度减小的加速运动，故A错误；在96s末之前，速度均为正，说明海盗快艇一直沿正向运动.海盗快艇在96s后，速度由正变负，即改变运动的方向，开始掉头逃离，故B正确；海盗快艇在66～96s内运动的位移为x＝

×15×30m＝225m，故C正确；海盗快艇在96～116s内，速度为负，速率均匀增大，则海盗快艇沿负方向做匀加速运动，故D错误.

2.a、b、c三个物体在同一条直线上运动，三个物体的x－t图象如图4所示，图象c是一条抛物线，坐标原点是抛物线的顶点，下列说法中正确的是（　　）

图4

A.a、b两物体都做匀速直线运动，两个物体的速度相同

B.a、b两物体都做匀变速直线运动，两个物体的加速度大小相等，方向相反

C.在0～5s内，当t＝5s时，a、b两个物体相距最近

D.物体c一定做变速直线运动

答案　D

解析　图象为位移—时间图象，由图可知，a、b两物体的运动方向相反，都做匀速直线运动，速度大小相同，A、B错误；a、b两物体从同一点出发，向相反方向运动，t＝5s时，相距最远，C错误；由图象可知，c是一条抛物线，故其函数关系为y＝kt2，由运动学公式可知，该物体做匀加速直线运动，所以D正确.

命题点二　追及相遇问题

1.追及相遇问题中的一个条件和两个关系

（1）一个条件：

即两者速度相等，它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点.

（2）两个关系：

即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到.

2.追及相遇问题的两种典型情况

假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种典型情况：

（1）一定能追上，如做匀加速运动的物体A追匀速运动的物体B，当vA＝vB时，二者相距最远.

（2）不一定能追上，如匀减速运动的物体A追匀速运动的物体B，当vA＝vB时，

①若已超越则相遇两次.

②若恰好追上，则相遇一次.

③若没追上，则无法相遇.

例3

　在一条平直的公路上，甲车在前以54km/h的速度匀速行驶，乙车在后以90km/h的速度同向行驶.某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车.已知甲、乙两车与路面的动摩擦因数分别是μ1＝0.05和μ2＝0.1，g取10m/s2.请问：

（1）若两车恰好不相碰，则两车相碰前刹车所用时间是多少？

（2）若想避免事故发生，开始刹车时两辆车的最小间距是多少？

①同时开始刹车；②两车恰好不相碰；③开始刹车时两辆车的最小间距.

答案　

（1）20s　

（2）100m

解析　

（1）两车刹车过程中加速度大小分别是：

a1＝μ1g＝0.5m/s2，a2＝μ2g＝1m/s2，

若两车恰好不相碰，则乙追上甲时，两车速度相等

v1－a1t＝v2－a2t

代入数据，解得t＝20s

（2）两车恰好不相碰时，开始刹车时两辆车的间距最小.甲的位移：

x1＝v1t－

a1t2

乙的位移：

x2＝v2t－

a2t2

若想避免事故发生，开始刹车时两辆车的最小间距为：

Δx＝x2－x1

代入数据，解得：

Δx＝100m.

追及相遇问题的类型及解题技巧

1.相遇问题的类型

（1）同向运动的两物体追及即相遇，各自位移之差等于开始时两物体之间的距离.

（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇.

2.解题技巧

分析时要紧抓“两个图三个关系式”，即：

过程示意图和v－t图象，速度关系式、时间关系式和位移关系式.同时要关注题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等.

3.甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8m/s，乙车在后，速度为v2＝16m/s，当两车相距x0＝8m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？

答案　6m/s2

解析　方法一：

临界法

两车速度相同均为v时，设所用时间为t，乙车的加速度为a2，则v1－a1t＝v2－a2t＝v，

t＝

t－x0，解得t＝2s，a2＝6m/s2，即t＝2s时，两车恰好未相撞，显然此后在停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞.满足题意的条件为乙车的加速度至少为6m/s2.

方法二：

函数法

甲、乙运动的位移：

x甲＝v1t－

a1t2，x乙＝v2t－

a2t2

避免相撞的条件为x乙－x甲

即

（a2－a1）t2＋（v1－v2）t＋x0>0

代入数据有（a2－2）t2－16t＋16>0

不等式成立的条件是：

Δ＝162－4×16（a2－2）<0，且a2－2>0

解得a2>6m/s2.

4.甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11m处，乙车速度v乙＝60m/s，甲车速度v甲＝50m/s，此时乙车离终点尚有L2＝600m，如图5所示.若甲车加速运动，加速度a＝2m/s2，乙车速度不变，不计车长.求：

图5

（1）经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？

（2）到达终点时甲车能否超过乙车？

答案　

（1）5s　36m　

（2）不能

解析　

（1）当甲、乙两车速度相等时，两车间距最大，即v甲＋at1＝v乙，得t1＝

＝

s＝5s

甲车位移x甲＝v甲t1＋

at

＝275m

乙车位移x乙＝v乙t1＝60×5m＝300m

此时两车间距离Δx＝x乙＋L1－x甲＝36m

（2）甲车追上乙车时，位移关系x甲′＝x乙′＋L1

甲车位移x甲′＝v甲t2＋

at

，乙车位移x乙′＝v乙t2

将x甲′、x乙′代入位移关系，得v甲t2＋

at

＝v乙t2＋L1

代入数值并整理得t

－10t2－11＝0，

解得t2＝－1s（舍去）或t2＝11s

此时乙车位移x乙′＝v乙t2＝660m

因x乙′>L2，故乙车已冲过终点线，即到达终点时甲车不能追上乙车.

命题点三　应用图象分析运动问题

应用图象解决物理问题有四种情况：

（1）根据题目所给运动图象分析物理问题；

（2）根据题意自己画出运动图象并解决问题；

（3）对题目中所给图象进行必要的转化，然后根据转化后的运动图象分析问题.例如，题目中给定的是F－t图象，则可转化为a－t图象，再转化为v－t图象.

（4）分析追及相遇问题

①若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇.

②若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.

例4

　（多选）（2016·全国Ⅰ·21）甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图6所示.已知两车在t＝3s时并排行驶，则（　　）

图6

A.在t＝1s时，甲车在乙车后

B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5m

C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2s

D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m

答案　BD

解析　由题中v－t图象得a甲＝10m/s2，a乙＝5m/s2，两车在t＝3s时并排行驶，此时x甲＝

a甲t2＝

×10×32m＝45m，x乙＝v0t＋

a乙t2＝10×3m＋

×5×32m＝52.5m，所以t＝0时甲车在前，距乙车的距离为L＝x乙－x甲＝7.5m，B项正确.t＝1s时，x甲′＝

a甲t′2＝5m，x乙′＝v0t′＋

a乙t′2＝12.5m，此时x乙′＝x甲′＋L＝12.5m，所以另一次并排行驶的时刻为t＝1s，故A、C项错误；两次并排行驶的位置沿公路方向相距L′＝x乙－x乙′＝40m，故D项正确.

运动学图象问题的