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与名师对话理函数的图象

第八节 函数的图象

高考概览:

1.理解点的坐标与函数图象的关系;2.会利用平移、对称、伸缩变换,由一个函数图象得到另一个函数的图象;3.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式的解的问题.

[知识梳理]

1.函数图象的作图方法

(1)描点法:

其基本步骤是列表、描点、连线

①确定函数的定义域,化简函数的解析式;

②讨论函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、有界性等)

其次列表(尤其注意特殊点:

与x、y轴的交点、最大、最小值点)描点、连线,得出函数图象.

(2)图象变换法

2.函数图象的识别

(1)确定函数的定义域、值域.

(2)确定函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等).

(3)确定函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、所过定点等).

(4)综合分析得出函数图象的大致形状.

3.函数图象的应用

(1)研究函数性质:

在已知函数图象后,函数图象体现了函数的全部性质,可以根据函数图象得出函数性质.

(2)数形结合解题:

在与函数有关的问题中,画出函数图象,数形结合寻找解题思路.

[辨识巧记]

1.一个注意点

在解决函数图象的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的x,y变换”的原则,写出每一次的变换所得图象对应的解析式.这样才能避免出错.

2.函数对称的四个重要结论

(1)若f(m+x)=f(m-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=m对称.

(2)设函数y=f(x)定义在实数集上,则函数y=f(x-m)与y=f(m-x)(m>0)的图象关于直线x=m对称.

(3)若f(a+x)=f(b-x),对任意x∈R恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称.

(4)函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称.

[双基自测]

1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位得到.(  )

(2)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.(  )

(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同.(  )

(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.(  )

[答案] 

(1)× 

(2)× (3)× (4)√

2.若将函数y=f(x)的图象先向左平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的图象恰好与y=2x的图象重合,则y=f(x)的解析式是(  )

A.y=2x+2+2B.y=2x+2-2

C.y=2x-2+2D.y=2x-2-2

[解析] 反过来处理,即将函数y=2x的图象向上平移2个单位长度得到函数y=2x+2的图象,再向右平移2个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,即y=2x-2+2.故选C.

[答案] C

3.函数y=3的图象大致是(  )

[解析] 当x≥1时,y=3=x;当0

3=.故选A.

[答案] A

4.(必修1P113B组T2改编)如图,不规则图形ABCD中:

AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分面积为y,则y关于x的大致图象为(  )

[解析] 随着直线l的右移,左侧的面积不断增大,开始至经过D的阶段,增加的越来越快,由D到C阶段增加的均匀,由C至B阶段,增加的越来越慢,故选D.

[答案] D

5.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是________.

[解析] 作出y=|x|与y=a-x的图象.由图可以看出a>0时,两图象只有一个交点.

[答案] (0,+∞)

 

考点一 函数图象的画法

【例1】 作出下列函数的图象:

(1)y=|x|;

(2)y=|log2(x+1)|.

[思路引导] →

[解] 

(1)作出y=x的图象,保留y=x图象中x≥0的部分,加上y=x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=|x|的图象,如图中实线部分.

(2)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图所示.

 

函数图象的3种常用画法

方法

适用条件

直接法

当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象.

转化法

含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.

图象变

换法

若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

[对点训练]

作出下列函数的图象:

(1)y=;

(2)y=x2-2|x|-1.

[解] 

(1)∵y==2+,故函数图象可由y=的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位而得,

如图.

(2)∵y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,即得函数图象如图.

 

考点二 函数图象的识别

【例2】 

(1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)=的图象大致为(  )

(2)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(  )

[思路引导] 

(1)→

(2)→→→→→

[解析] 

(1)∵f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A选项;又∵f

(2)=>1,排除C,D选项,故选B.

(2)解法一:

①当点P在线段BC上时,如图,x∈.

PB=OBtanx=tanx,PA==,

所以f(x)=PB+PA=tanx+.

显然函数f(x)在内单调递增,

故f(0)≤f(x)≤f,即2≤f(x)≤1+.

②取线段CD的中点E,当点P在线段CE上时,x∈.

如图,过点P作PH⊥AB,垂足为H.

则OH=,BH=1-.

所以PB==,

PA==.

所以f(x)=PB+PA=+.所以f(x)在上单调递减.

③当点P在点E处,f(x)=PB+PA=2<1+.

④当点P在线段DE上时,x∈.

由图形的对称性可知,此时函数图象与当点P在线段CE上时的图象关于x=对称.

⑤当点P在线段DA上时,x∈.

由图形的对称性可知,此时的函数图象与当点P在线段BC上时的图象关于x=对称.

综上选B.

解法二:

当x∈时,f(x)=tanx+,图象不会是直线段,从而排除A,C.

当x∈时,f=f=1+,

f=2.∵2<1+,

∴f

[答案] 

(1)B 

(2)B

 

 函数图象的识别要点

(1)抓住函数的性质,定性分析

①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.

②从函数的单调性,判断图象的变化趋势.

③从周期性,判断图象的循环往复.

④从函数的奇偶性,判断图象的对称性.

(2)从函数图象的特殊点出发,定量分析.将图象上一些特殊点的横坐标代入解析式,求出函数值与图象比较.

[对点训练]

1.(2019·吉林实验中学二模)函数y=的图象大致为(  )

[解析] 解法一:

当00,得lnx>1,即x>e,此时函数单调递增;由f′(x)<0,得lnx<1且x≠1,即0

解法二:

利用特殊点法:

当x=时,y=-<0,排除B,C;当x1=e,x2=e2时,y1=2e,y2=e2.易知y1

[答案] D

2.如图,在边长为2的正三角形ABC中,点P从点A出发,沿A→B→C→A的方向前进,然后再回到点A,在此过程中,记点P走过的路程为x,点P到点A,B,C的距离之和为f(x),则函数y=f(x)的大致图象为(  )

[解析] 解法一:

当点P在AB上时,0≤x≤2,PC==,点P到点A,B,C的距离之和为f(x)=2+=2+,因为函数f(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,且函数图象不是由直线段组成的,排除选项B,C,D,故选A.

解法二:

当x=0时,f(x)=4.当点P由A到B的过程中CP的长度先减小后增大,且PA+PB=2,CP<2,对应的函数图象先下降,后上升,由此可排除选项B,D;由CP长度的增加和减少不是均匀变化的,即对应的图象不是由直线段组成的,由此排除C,故选A.

[答案] A

考点三 函数图象的应用

函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.

常见的命题角度有:

(1)确定方程根或图象交点的个数;

(2)求参数的取值范围;

(3)求不等式的解集.

角度1:

确定方程根或图象交点的个数

【例3-1】 

(1)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为(  )

A.3B.2C.1D.0

(2)(2018·山东枣庄模拟)已知f(x)=则方程2f2(x)-3f(x)+1=0的根的个数是________.

[思路引导] 

(1)→

(2)→→

[解析] 

(1)在同一直角坐标系下画出函数f(x)=2lnx与函数g(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1的图象,如图所示.

∵f

(2)=2ln2>g

(2)=1,∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2.故选B.

(2)由2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1作出函数y=f(x)的图象.

由图象知y=与y=f(x)的图象有2个交点,

y=1与y=f(x)的图象有3个交点.

因此函数2f2(x)-3f(x)+1=0的根的个数有5个.

[答案] 

(1)B 

(2)5

角度2:

求参数的取值范围

【例3-2】 (2019·西安质检)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是(  )

A.B.C.(1,2)D.(2,+∞)

[思路引导] →→→

[解析] f(x)=如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA=.要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,

[答案] B

[拓展探究] 

(1)若本例中的“方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根”改为“方程f(x)=g(x)有一个实根”结果如何?

(2)若本例中的“g(x)=kx”改为“g(x)=loga(x+1)”,求实数a的取值范围.

[解] 

(1)由图可知,当k=或k≥1或k<-1时,函数f(x)与g(x)的图象有一个交点,故k=或k≥1或k<-1.

(2)作出y=f(x)与y=g(x)的图象如图.

由loga3=1,得a=3.

由对数函数的图象变化可知,当函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点时,有1

角度3:

求不等式的解集

【例3-3】 

(1)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(  )

A.{x|-1

C.{x|-1

(2)函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式<0的解集为________.

[解析] 

(1)作出函数y=log2(x+1)的图象,如图所示:

其中函数f(x)与y=log2(x+1)的图象的交点为D(1,1),结合图象可知f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1

(2)当x∈时,y=cosx>0.当x∈时,y=cosx<0.结合y=f(x),x∈[0,4]上的图象知,当1

所以<0的解集为∪.

[答案] 

(1)C 

(2)∪

 

(1)将函数的零点转化为两个函数图象的交点,将方程的根的个数转化为两个函数图象的交点个数,数形结合加以判断.

(2)研究不等式的解:

当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.

[对点训练]

1.(2018·湖南张家界二模)已知f(x)=+x-,则y=f(x)的零点个数是(  )

A.4B.3C.2D.1

[解析] f(x)=,令f(x)=0,可得2|x|=-x2+3,作出y=2|x|与y=-x2+3的函数图象如图所示:

由图象可知两函数图象有两个交点,故f(x)有2个零点.故选C.

[答案] C

2.已知函数f(x)=e|x|+|x|,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(  )

A.(0,1)B.(1,+∞)

C.(-1,0)D.(-∞,-1)

[解析] 由f(x)=k,得e|x|+|x|=k,即e|x|=k-|x|.令y1=e|x|,y2=-|x|,作出这两个函数的图象,如图所示.由图象可知,这两个函数图象无交点,将函数y2=-|x|的图象向上平移超过1个单位长度,即k>1时,函

数y3=k-|x|与函数y1=e|x|的图象有两个不同的交点,所以实数k的取值范围是(1,+∞).故选B.

[答案] B

3.(2019·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=logf(x)的定义域是__________.

[解析] 当f(x)>0时,函数g(x)=logf(x)有意义,由函数f(x)的图象知满足f(x)>0的x∈(2,8].

[答案] (2,8]

解题方法系列⑤——求解函数图象问题的常用技巧

素养解读:

函数图象直接反映函数的有关性质,在识辨函数的图象时,常从以下几方面入手:

(1)从函数的定义域判断图象的左右位置;从函数的值域判断图象的上下位置;

(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势;

(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性;

(4)从函数的周期性判断图象的循环往复;

(5)分析函数解析式,取特值排除不合要求的图象.

                   

1.特殊点法

【典例1】 (2019·北师大附中月考)函数y=ecosx(-π≤x≤π)的大致图象为(  )

[切入点] 利用特殊点、特殊值进行排除.

[规范解答] 当x=0时,则y=ecos0=e;当x=π时,则y=ecosπ=.故排除A,B,D,故选C.

[答案] C

 

用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点,即根据已知函数的图象或已知函数的解析式,取特殊点,判断各选项的图象是否经过该特殊点,从而得正确的选项.在求函数值的过程中运算一定要认真,从而准确进行判断.

2.性质检验法

【典例2】 (2019·沧州七校联考)函数f(x)=ln的图象是(  )

[切入点] 利用函数的定义域、单调性求解.

[规范解答] 因为f(x)=ln,所以x-=>0,解得-11,所以函数的定义域为(-1,0)∪(1,+∞),可排除A,D.因为函数u=x-在(-1,0)和(1,+∞)上单调递增,函数y=lnu在(0,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性可知,函数f(x)在(-1,0)和(1,+∞)上单调递增,故选B.

[答案] B

 

已知函数解析式,判断其图象的关键:

由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质,根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断,即可得出正确选项.若能熟记基本初等函数的性质,则此类题就不攻自破.

3.图象变换法

【典例3】 已知函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,则函数f(x)的图象可能是(  )

[关键点] 借助图象的平移及对称变换求解.

[规范解答] 函数f(x-1)的图象向左平移1个单位,即可得到函数f(x)的图象;因为函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x-1)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,排除A,C,D,故选B.

[答案] B

 

有关函数y=f(x)与函数y=af(bx+c)+h的图象问题的判断,熟练掌握图象的平移变换(左加右减,上加下减)、对称变换、伸缩变换等,便可破解此类问题.

4.导数法【典例4】 若函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式是(  )

A.f(x)=x+sinx

B.f(x)=

C.f(x)=xcosx

D.f(x)=x·(x-)·(x-)

[切入点] 借助导数确定函数的单调性.

[规范解答] 由图象知函数为奇函数,排除D,又∵f=0,排除A,在上先增后减,经检验′=<0,f(x)在上为减函数,故选C.

[答案] C

 

判断复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选.要注意函数求导之后,导函数发生了变化,故导函数和原函数的定义域会有所不同,我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值.

[感悟体验]

1.(2019·山西太原二模)函数f(x)=的图象大致为(  )

[解析] 函数f(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且图象关于x=1对称,排除B,C.取特殊值,当x=时,f(x)=2ln<0,故选D.

[答案] D

2.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成,它们的圆心分别是O,O1,O2,动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A,O,O1,O2,B五点共线),记点P运动的路程为x,设y=||2,y与x的函数关系为y=f(x),则y=f(x)的大致图象是(  )

[解析] 当x∈[0,π]时,y=1.

当x∈(π,2π)时,∵=-,设与的夹角为θ,||=1,||=2,∴θ=x-π,

∴y=||2=(-)2=5-4cosθ=5+4cosx,

x∈(π,2π),∴函数y=f(x)的图象是曲线,且单调递增,排除C,D.

当x∈[2π,4π]时,∵=-,设与的夹角为α,||=2,||=1,∴α=2π-x,∴y=||2=(-)2=5-4cosα=5+4cosx,x∈[2π,4π],∴函数y=f(x)的图象是曲线,且单调递减,排除B,故选A.

[答案] A

         课后跟踪训练(十一)

基础巩固练

一、选择题

1.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=(  )

A.ex+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-1

[解析] 依题意,f(x)向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果,∴f(x)=e-x-1,故选D.

[答案] D

2.(2019·吉林东北师大附中二模)函数f(x)=的图象大致是(  )

[解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},f(-x)==-f(x),所以函数f(x)为奇函数.当x∈(0,1)时,f(x)=>0,排除D;当x∈(1,+∞)时,f(x)=<0,排除A、C.故选B.

[答案] B

3.(2019·北京石景山期末)将函数y=(x-3)2图象上的点P(t,(t-3)2)向左平移m(m>0)个单位长度得到点Q.若Q位于函数y=x2的图象上,则以下说法正确的是(  )

A.当t=2时,m的最小值为3

B.当t=3时,m一定为3

C.当t=4时,m的最大值为3

D.∀t∈R,m一定为3

[解析] 函数y=(x-3)2图象上的点P(t,(t-3)2)向左平移3个单位长度得到函数y=x2的图象,所以∀t∈R,m一定为3.故选D.

[答案] D

4.已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的范围是(  )

A.(-∞,0)B.(0,1)

C.(1,2)D.(1,+∞)

[解析] 如图,在同一平面直角坐标系内分别作出y1=f(x),y2=-x+a的图象,其中a表示直线在y轴的截距,结合图形可知,当a>1时,直线y2=-x+a与y1=f(x)只有一个交点.即a∈(1,+∞).故选D.

[答案] D

5.函数y=的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(  )

A.2B.4C.6D.8

[解析] ∵y=2sinπx的周期为2,画出-2≤x≤4上y=2sinπx具有三个周期长度的图象如图.两函数共有8个交点,均关于(1,0)中心对称,故所有交点的横坐标之和为8.故选D.

[答案] D

二、填空题

6.若函数f(x)=的图象关于点(1,1)对称,则实数a=________.

[解析] 函数f(x)==a+(x≠1),当a=2时,f(x)=2,函数f(x)的图象不关于点(1,1)对称,故a≠2,其图象的对称中心为(1,a),即a=1.

[答案] 1

7.若函数y=f(x+3)的图象经过点P(1,4),则函数y=f(x)的图象必经过点________.

[解析] 解法一:

函数y=f(x)的图象是由y=f(x+3)的图象向右平移3个单位长度而得到的.

故y=f(x)的图象经过点(4,4).

解法二:

由题意得f(4)=4成立,故函数y=f(x)的图象必经过点(4,4).

[答案] (4,4)

8.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为________________.

[解析] 当x∈[-1,0]时,设y=kx+b,

由图象得解得

∴y=x+1;

当x∈(0,+∞)时,设y=a(x-2)2-1,

由图象得0=a·(4-2)2-1,解得a=,

∴y=(x-2)2-1.

综上可知,

f(x)=

[答案] f(x)=

三、解答题

9.(2019·河南许昌调研)已知函数f(x)=

(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象;

(2)写出f(x)的单调递增区间;

(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.

[解] 

(1)函数f(x)的图象如图所示.

(2)由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5].

(3)由图象知当x=2时,f(x)min=f

(2)=-1,

当x=0时,f(x)max=f(0)=3.

10.若函数y=mx与函数y=的图象无公共点,求实数m的取值范围.

[解] 由已知得

f(x)==

它的图象如图.

由图可知,当-1≤m

将y=mx与y=1+联立得mx2-(m+1)x-1=0,由Δ=0得m=-3+2=m0.∴实数m的取值范围为[-1,-3+2).

能力提升练

11.在同一个平面直角坐标系中,函数y=f(x+1)与函数y=f(-x-1)的图象恒(  )

A.关于x轴对称

B.

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