所以<0的解集为∪.
[答案]
(1)C
(2)∪
(1)将函数的零点转化为两个函数图象的交点,将方程的根的个数转化为两个函数图象的交点个数,数形结合加以判断.
(2)研究不等式的解:
当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.
[对点训练]
1.(2018·湖南张家界二模)已知f(x)=+x-,则y=f(x)的零点个数是( )
A.4B.3C.2D.1
[解析] f(x)=,令f(x)=0,可得2|x|=-x2+3,作出y=2|x|与y=-x2+3的函数图象如图所示:
由图象可知两函数图象有两个交点,故f(x)有2个零点.故选C.
[答案] C
2.已知函数f(x)=e|x|+|x|,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是( )
A.(0,1)B.(1,+∞)
C.(-1,0)D.(-∞,-1)
[解析] 由f(x)=k,得e|x|+|x|=k,即e|x|=k-|x|.令y1=e|x|,y2=-|x|,作出这两个函数的图象,如图所示.由图象可知,这两个函数图象无交点,将函数y2=-|x|的图象向上平移超过1个单位长度,即k>1时,函
数y3=k-|x|与函数y1=e|x|的图象有两个不同的交点,所以实数k的取值范围是(1,+∞).故选B.
[答案] B
3.(2019·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=logf(x)的定义域是__________.
[解析] 当f(x)>0时,函数g(x)=logf(x)有意义,由函数f(x)的图象知满足f(x)>0的x∈(2,8].
[答案] (2,8]
解题方法系列⑤——求解函数图象问题的常用技巧
素养解读:
函数图象直接反映函数的有关性质,在识辨函数的图象时,常从以下几方面入手:
(1)从函数的定义域判断图象的左右位置;从函数的值域判断图象的上下位置;
(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势;
(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性;
(4)从函数的周期性判断图象的循环往复;
(5)分析函数解析式,取特值排除不合要求的图象.
1.特殊点法
【典例1】 (2019·北师大附中月考)函数y=ecosx(-π≤x≤π)的大致图象为( )
[切入点] 利用特殊点、特殊值进行排除.
[规范解答] 当x=0时,则y=ecos0=e;当x=π时,则y=ecosπ=.故排除A,B,D,故选C.
[答案] C
用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点,即根据已知函数的图象或已知函数的解析式,取特殊点,判断各选项的图象是否经过该特殊点,从而得正确的选项.在求函数值的过程中运算一定要认真,从而准确进行判断.
2.性质检验法
【典例2】 (2019·沧州七校联考)函数f(x)=ln的图象是( )
[切入点] 利用函数的定义域、单调性求解.
[规范解答] 因为f(x)=ln,所以x-=>0,解得-11,所以函数的定义域为(-1,0)∪(1,+∞),可排除A,D.因为函数u=x-在(-1,0)和(1,+∞)上单调递增,函数y=lnu在(0,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性可知,函数f(x)在(-1,0)和(1,+∞)上单调递增,故选B.
[答案] B
已知函数解析式,判断其图象的关键:
由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质,根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断,即可得出正确选项.若能熟记基本初等函数的性质,则此类题就不攻自破.
3.图象变换法
【典例3】 已知函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,则函数f(x)的图象可能是( )
[关键点] 借助图象的平移及对称变换求解.
[规范解答] 函数f(x-1)的图象向左平移1个单位,即可得到函数f(x)的图象;因为函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x-1)的图象关于原点对称,所以函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,排除A,C,D,故选B.
[答案] B
有关函数y=f(x)与函数y=af(bx+c)+h的图象问题的判断,熟练掌握图象的平移变换(左加右减,上加下减)、对称变换、伸缩变换等,便可破解此类问题.
4.导数法【典例4】 若函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式是( )
A.f(x)=x+sinx
B.f(x)=
C.f(x)=xcosx
D.f(x)=x·(x-)·(x-)
[切入点] 借助导数确定函数的单调性.
[规范解答] 由图象知函数为奇函数,排除D,又∵f=0,排除A,在上先增后减,经检验′=<0,f(x)在上为减函数,故选C.
[答案] C
判断复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选.要注意函数求导之后,导函数发生了变化,故导函数和原函数的定义域会有所不同,我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值.
[感悟体验]
1.(2019·山西太原二模)函数f(x)=的图象大致为( )
[解析] 函数f(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且图象关于x=1对称,排除B,C.取特殊值,当x=时,f(x)=2ln<0,故选D.
[答案] D
2.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成,它们的圆心分别是O,O1,O2,动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A,O,O1,O2,B五点共线),记点P运动的路程为x,设y=||2,y与x的函数关系为y=f(x),则y=f(x)的大致图象是( )
[解析] 当x∈[0,π]时,y=1.
当x∈(π,2π)时,∵=-,设与的夹角为θ,||=1,||=2,∴θ=x-π,
∴y=||2=(-)2=5-4cosθ=5+4cosx,
x∈(π,2π),∴函数y=f(x)的图象是曲线,且单调递增,排除C,D.
当x∈[2π,4π]时,∵=-,设与的夹角为α,||=2,||=1,∴α=2π-x,∴y=||2=(-)2=5-4cosα=5+4cosx,x∈[2π,4π],∴函数y=f(x)的图象是曲线,且单调递减,排除B,故选A.
[答案] A
课后跟踪训练(十一)
基础巩固练
一、选择题
1.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=( )
A.ex+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-1
[解析] 依题意,f(x)向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果,∴f(x)=e-x-1,故选D.
[答案] D
2.(2019·吉林东北师大附中二模)函数f(x)=的图象大致是( )
[解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},f(-x)==-f(x),所以函数f(x)为奇函数.当x∈(0,1)时,f(x)=>0,排除D;当x∈(1,+∞)时,f(x)=<0,排除A、C.故选B.
[答案] B
3.(2019·北京石景山期末)将函数y=(x-3)2图象上的点P(t,(t-3)2)向左平移m(m>0)个单位长度得到点Q.若Q位于函数y=x2的图象上,则以下说法正确的是( )
A.当t=2时,m的最小值为3
B.当t=3时,m一定为3
C.当t=4时,m的最大值为3
D.∀t∈R,m一定为3
[解析] 函数y=(x-3)2图象上的点P(t,(t-3)2)向左平移3个单位长度得到函数y=x2的图象,所以∀t∈R,m一定为3.故选D.
[答案] D
4.已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的范围是( )
A.(-∞,0)B.(0,1)
C.(1,2)D.(1,+∞)
[解析] 如图,在同一平面直角坐标系内分别作出y1=f(x),y2=-x+a的图象,其中a表示直线在y轴的截距,结合图形可知,当a>1时,直线y2=-x+a与y1=f(x)只有一个交点.即a∈(1,+∞).故选D.
[答案] D
5.函数y=的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A.2B.4C.6D.8
[解析] ∵y=2sinπx的周期为2,画出-2≤x≤4上y=2sinπx具有三个周期长度的图象如图.两函数共有8个交点,均关于(1,0)中心对称,故所有交点的横坐标之和为8.故选D.
[答案] D
二、填空题
6.若函数f(x)=的图象关于点(1,1)对称,则实数a=________.
[解析] 函数f(x)==a+(x≠1),当a=2时,f(x)=2,函数f(x)的图象不关于点(1,1)对称,故a≠2,其图象的对称中心为(1,a),即a=1.
[答案] 1
7.若函数y=f(x+3)的图象经过点P(1,4),则函数y=f(x)的图象必经过点________.
[解析] 解法一:
函数y=f(x)的图象是由y=f(x+3)的图象向右平移3个单位长度而得到的.
故y=f(x)的图象经过点(4,4).
解法二:
由题意得f(4)=4成立,故函数y=f(x)的图象必经过点(4,4).
[答案] (4,4)
8.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为________________.
[解析] 当x∈[-1,0]时,设y=kx+b,
由图象得解得
∴y=x+1;
当x∈(0,+∞)时,设y=a(x-2)2-1,
由图象得0=a·(4-2)2-1,解得a=,
∴y=(x-2)2-1.
综上可知,
f(x)=
[答案] f(x)=
三、解答题
9.(2019·河南许昌调研)已知函数f(x)=
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象;
(2)写出f(x)的单调递增区间;
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.
[解]
(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5].
(3)由图象知当x=2时,f(x)min=f
(2)=-1,
当x=0时,f(x)max=f(0)=3.
10.若函数y=mx与函数y=的图象无公共点,求实数m的取值范围.
[解] 由已知得
f(x)==
它的图象如图.
由图可知,当-1≤m将y=mx与y=1+联立得mx2-(m+1)x-1=0,由Δ=0得m=-3+2=m0.∴实数m的取值范围为[-1,-3+2).
能力提升练
11.在同一个平面直角坐标系中,函数y=f(x+1)与函数y=f(-x-1)的图象恒( )
A.关于x轴对称
B.