＋f
（2）＝________.
15．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在[0，2]上为增函数，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________．
16．若函数f（x）＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则f（2a－b）＝________.
17．已知函数f（x）在R上为奇函数，且x>0时，f（x）＝
＋1，则当x<0时，f（x）＝________.
18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2＋2x.若f（2－a2）＞f（a），则实数a的取值范围是________．
19．已知函数f（x）＝
是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
20．已知函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）．
（1）求f
（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f（4）＝1，f（x－1）<2,且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，求x的取值范围．
21．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y），f（x＋2）＝－f（x）且f（x）在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：
①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于x＝1对称；③f（x）在[1，2]上是减函数；④f
（2）＝f（0），其中正确命题的序号是________（请把正确命题的序号全部写出来）．
函数的奇偶性与周期性
1．下列函数为奇函数的是（ ）
A．f（x）＝
B．f（x）＝ex
C．f（x）＝cosxD．f（x）＝ex－e－x
【答案】D
【解析】对于A，定义域不关于原点对称，故不是；对于B,f（－x）＝e－x＝
≠－f（x），故不是；对于C，f（－x）＝cos（－x）＝cosx≠－f（x），故不是；对于D，f（－x）＝e－x－ex＝－（ex－e－x）＝－f（x），是奇函数，故选D.
2．设函数f（x）＝x＋sinx（x∈R），则下列说法错误的是（ ）
A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上单调递增
C．f（x）的值域为RD．f（x）是周期函数
【答案】D
【解析】因为f（－x）＝－x＋sin（－x）＝－（x＋sinx）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，故A正确；因为f′（x）＝1＋cosx≥0，所以函数f（x）在R上单调递增，故B正确；f（x）的值域为R，故C正确；f（x）不是周期函数，故D错误．
3．对于函数f（x）＝asinx＋bx3＋cx＋1（a，b，c∈R），选取a，b，c的一组值计算f
（1），f（－1），所得出的正确结果可能是（ ）
A．2和1B．2和0
C．2和－1D．2和－2
【答案】B
【解析】设g（x）＝asinx＋bx3＋cx，显然g（x）为定义域上的奇函数，所以g
（1）＋g（－1）＝0，所以f
（1）＋f（－1）＝g
（1）＋g（－1）＋2＝2，只有B选项中两个值的和为2.
4．已知函数f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（ ）
A．－
B．
C．－
D．
【答案】B
【解析】∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴b＝0.又a－1＝－2a，∴a＝
，∴a＋b＝
.故选B.
5．已知y＝f（x）是偶函数，且当0≤x≤1时，f（x）＝sinx，而y＝f（x＋1）是奇函数，则a＝f（－3.5），b＝f（7），c＝f（12）的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜b
C．a＜c＜bD．a＜b＜c
【答案】B
【解析】因为y＝f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x），
因为y＝f（x＋1）是奇函数，所以f（x）＝－f（2－x），
所以f（－x）＝－f（2－x），即f（x）＝f（x＋4）．
所以函数f（x）的周期为4，
又因为当0≤x≤1时，f（x）＝sinx，所以函数在[0，1]上单调递增，
因为a＝f（－3.5）＝f（－3.5＋4）＝f（0.5）；
b＝f（7）＝f（7－8）＝f（－1）＝f
（1），
c＝f（12）＝f（12－12）＝f（0），
又因为f（x）在[0，1]上为增函数，
所以f（0）＜f（0.5）＜f
（1），即c＜a＜b.
6．已知函数f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（－2,0）时，f（x）＝2x2，则f（2019）＝（ ）
A．－2B．2
C．－98 D．98
【答案】B
【解析】由f（x＋4）＝f（x）知，函数f（x）的周期为4，则f（2019）＝f（504×4＋3）＝f（3），
又f（3）＝f（－1），且f（－1）＝2，∴f（2019）＝2.
7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2＋2x，若f（2－a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）B．（－1，2）
C．（－2，1）D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）
【答案】C
【解析】∵f（x）是奇函数，∴当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）＝（－x）2－2x，∴－f（x）＝x2－2x，∴f（x）＝－x2＋2x.作出函数f（x）的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f（x）是R上的增函数，由f（2－a2）＞f（a），得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.
8．设e是自然对数的底数，函数f（x）是周期为4的奇函数，且当0）的值为（ ）
A.
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数以4为周期，所以f
＝f
＝f
＝－f
＝ln
，所以ef（
）＝eln
＝
.故选D.
9．对任意的实数x都有f（x＋2）－f（x）＝2f
（1），若y＝f（x－1）的图象关于x＝1对称，且f（0）＝2，则f（2019）＋f（2020）＝（ ）
A．0B．2
C．3D．4
【答案】B
【解析】∵y＝f（x－1）的图象关于x＝1对称，则函数y＝f（x）的图象关于x＝0对称，即函数f（x）是偶函数．
令x＝－1，则f（－1＋2）－f（－1）＝2f
（1），
即f
（1）－f
（1）＝2f
（1）＝0，即f
（1）＝0.
则f（x＋2）－f（x）＝2f
（1）＝0，即f（x＋2）＝f（x），
即函数的周期是2，又f（0）＝2，则f（2019）＋f（2020）＝f
（1）＋f（0）＝0＋2＝2，故选B.
10．已知偶函数f（x）的定义域为R，若f（x－1）为奇函数，且f
（2）＝3，则f（5）＋f（6）的值为（ ）
A．－3B．－2
C．2D．3
【答案】C
【解析】依题意f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且在R上是奇函数，所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，所以f（－2）＝－f
（2）＝0，结合图象可知f（x）>0的解集为（－∞，－2）∪（0,2）．故选C.
11．已知函数f（x）＝
若a[f（a）－f（－a）]>0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，＋∞）
B．（2，＋∞）
C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
D．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
【答案】B
【解析】由题意，偶函数f（x）在[0，＋∞）上是减函数，即不等式f（a）≥f（x）对任意x∈[1,2]恒成立，即不等式f（|a|）≥f（|x|）对任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤|x|对任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤1，则－1≤a≤1.故选B.
12．已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x＋6）＋f（x）＝0，y＝f（x－1）的图象关于点（1,0）对称，且f
（2）＝4，则f（2014）＝（ ）
A．0 B．－4
C．－8D．－16
【答案】B
【解析】由题意可知，函数f（x）对任意x∈R，都有f（x＋6）＝－f（x），∴f（x＋12）＝f[（x＋6）＋6]＝－f（x＋6）＝f（x），∴函数f（x）的周期T＝12.把y＝f（x－1）的图象向左平移1个单位得y＝f（x－1＋1）＝f（x）的图象，关于点（0,0）对称，因此函数f（x）为奇函数，∴f（2014）＝f（167×12＋10）＝f（10）＝f（10－12）＝f（－2）＝－f
（2）＝－4.故选B.
13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x－3）＝－f（x），在区间
上是增函数，且函数y＝f（x－3）为奇函数，则（ ）
A．f（－31）＜f（84）＜f（13）
B．f（84）＜f（13）＜f（－31）
C．f（13）＜f（84）＜f（－31）
D．f（－31）＜f（13）＜f（84）
【答案】A.
【解析】根据题意，函数f（x）满足f（x－3）＝－f（x），则有f（x－6）＝－f（x－3）＝f（x），则函数f（x）为周期为6的周期函数．若函数y＝f（x－3）为奇函数，则f（x）的图象关于点（－3，0）成中心对称，则有f（x）＝－f（－6－x），又由函数的周期为6，则有f（x）＝－f（－x），函数f（x）为奇函数．又由函数在区间
上是增函数，则函数f（x）在
上为增函数，f（84）＝f（14×6＋0）＝f（0），f（－31）＝f（－1－5×6）＝f（－1），f（13）＝f（1＋2×6）＝f
（1），则有f（－1）＜f（0）＜f
（1），即f（－31）＜f（84）＜f（13），故选A.
14．已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，且当0＋f
（2）＝________.
【答案】－3
【解析】∵函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，
∴f
＝f
＝f
＝－f
.
又当0＝－9
＝－3.
又f
（2）＝f（0）＝0，∴f
＋f
（2）＝－3.
15．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在[0，2]上为增函数，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为________．
【答案】－8
【解析】因为f（x－4）＝－f（x），所以f（x－8）＝f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，由f（x－4）＝－f（x）可得f（x＋2）＝－f（x＋6）＝－f（x－2），因为f（x）是奇函数，所以f（x＋2）＝－f（x－2）＝f（2－x），所以f（x）的图象关于直线x＝2对称，结合f（x）在[0，2]上为增函数，可得函数f（x）的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×（－6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.
16．若函数f（x）＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则f（2a－b）＝________.
【答案】5
【解析】∵函数f（x）＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，∴－1－a＋2a＝0，即a＝1.
∵f（x）＝f（－x），
∴ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0，
即f（x）＝x2＋1.
则f（2a－b）＝f
（2）＝5.
17．已知函数f（x）在R上为奇函数，且x>0时，f（x）＝
＋1，则当x<0时，f（x）＝________.
【答案】－
－1
【解析】∵f（x）为奇函数，且x>0时，f（x）＝
＋1，∴当x<0时，即－x>0，有f（x）＝－f（－x）＝－（
＋1），即x<0时，f（x）＝－（
＋1）＝－
－1.
18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2＋2x.若f（2－a2）＞f（a），则实数a的取值范围是________．
【答案】（－2,1）
【解析】∵f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝－x2＋2x.做出函数f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知f（x）是R上的增函数．由f（2－a2）＞f（a），得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.
19．已知函数f（x）＝
是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】
（1）设x<0，则－x>0，所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.
又f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），于是x<0时，f（x）＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，
结合f（x）的图象（如图所示）知
所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是（1,3]．
20．已知函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）．
（1）求f
（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f（4）＝1，f（x－1）<2,且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，求x的取值范围．
【答案】
（1）0
（2）f（x）为偶函数（3）（－15,1）∪（1,17）
【解析】
（1）∵对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），∴令x1＝x2＝1，得f
（1）＝2f
（1），∴f
（1）＝0.
（2）f（x）为偶函数．
证明：
令x1＝x2＝－1，有f
（1）＝f（－1）＋f（－1），
∴f（－1）＝
f
（1）＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f（－x）＝f（－1）＋f（x），
∴f（－x）＝f（x），∴f（x）为偶函数．
（3）依题意有f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，
又由
（2）知，f（x）是偶函数，∴f（x－1）<2⇔f（|x－1|）∵f（x）在（0，＋∞）上是增函数，
∴0<|x－1|<16，解得－15∴x的取值范围是（－15,1）∪（1,17）．
21．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y），f（x＋2）＝－f（x）且f（x）在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：
①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于x＝1对称；③f（x）在[1，2]上是减函数；④f
（2）＝f（0），其中正确命题的序号是________（请把正确命题的序号全部写出来）．
【答案】①②③④
【解析】f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意x，y∈R恒成立．
令x＝y＝0，
所以f（0）＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，
所以f（0）＝f（x）＋f（－x）．
所以f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数．
因为f（x）在x∈[－1，0]上为增函数，又f（x）为奇函数，所以f（x）在[0，1]上为增函数．
由f（x＋2）＝－f（x）⇒f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
所以周期T＝4，
即f（x）为周期函数．
f（x＋2）＝－f（x）⇒f（－x＋2）＝－f（－x）．
又因为f（x）为奇函数，所以f（2－x）＝f（x），
所以函数关于x＝1对称．
由f（x）在[0，1]上为增函数，又关于x＝1对称，
所以f（x）在[1，2]上为减函数．
由f（x＋2）＝－f（x），令x＝0得f
（2）＝－f（0）＝f（0）．
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