二元次一方程与三元一次方程.docx
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二元次一方程与三元一次方程
二元次一方程与三元一次方程
一．选择题（共9小题）
1．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．“甲、乙两数之和为16，甲数的3倍等于乙数的5倍”，若设甲数为x，乙数为y，则列出方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
中，其中正确的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
3．如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各10克的砝码，将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，现从图2右侧盘中拿掉砝码和袋子外面的玻璃球，只剩下一小袋玻璃球，要使天平保持平衡，则左侧袋中需拿出玻璃球的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．在中央电视台2套“开心辞典”节目中，有一期的某道题目是：
如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一个香蕉的重量的（ ）
A．
倍B．
倍C．2倍D．3倍
5．中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
6．小明、小敏、小新商量要在毕业前夕给老师办公室的4道窗户剪贴窗花表达大伙的尊师之情，今年是农历鸡年，他们设计了金鸡报晓的剪纸图案．小明说：
“我来出一道数学题：
把剪4只金鸡的任务分配给3个人，每人至少1只，有多少种分配方法”小敏想了想说：
“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4．”小新接着说：
“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解．”现在请你说说看：
这个方程正整数解的个数是（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
7．如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A．400cm2B．500cm2C．600cm2D．4000cm2
8．用四个完全一样的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大长方形的长和宽，已知大正方形的面积是121，小正方形的面积是9，若用x，y（x＞y）表示长方形的长和宽，则下列关系中不正确的是（ ）
A．x+y=11B．x2+y2=180C．x﹣y=3D．x•y=28
9．如图中的（a）、（b）、（c），其中（a）、（b）中天平已保持左右平衡，现要使（c）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入（ ）克的砝码．
A．30克B．25克C．20克D．50克
二．填空题（共7小题）
10．某体育场的环行跑道长400米，甲、乙同时从同一起点分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次．如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？
设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒．则列出的方程组是 ．
11．课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只如果假设鸡有x只，兔有y只，请你列出关于x，y的二元一次方程组 ．
12．某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数．若设城镇现有人口为x万，农村现有人口为y万，则所列方程组为 ．
13．某汽车制造厂接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产35辆，则差10辆才能完成任务；如果每天生产40辆，则可超额生产20辆．若设预定期限是x天，计划生产y辆汽车，依题意可列方程组 ．
14．在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖共30名学生购买奖品，共花费528元，其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，求获得一等奖和二等奖的学生各有多少名？
设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，根据题意可列方程组为 ．
15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：
“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：
牛、羊各直金几何？
”
译文：
“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：
每头牛、每只羊各值金多少两？
”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
16．已知一组数据1，2，4，2，8，7，它的中位数和众数恰好是一个关于x，y的二元一次方程组的解，则这个二元一次方程组是 ．（写出符合条件的一个即可）
三．解答题（共4小题）
17．某果品商店进行组合销售，甲种搭配：
2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：
3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：
2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？
18．某班参加一次智力竞赛，共a，b，c三题，每题或者得满分或者得0分．其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？
19．某市为了节约用水，规定：
每户每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和定额损耗费c元（c≤5）；若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费．
根据上表的表格中的数据，求a、b、c．
20．某商场第一次用10000元购进甲、乙两种商品，销售完成后共获利2200元，其中甲种商品每件进价60元，售价70元；乙种商品每件进价50元，售价65元．
（1）求该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，且购进甲、乙商品的数量分别与第一次相同，甲种商品按原售价出售，而乙种商品降价销售，要使第二次购进的两种商品全部售出后，获利不少于1800元，乙种商品最多可以降价多少元？
二元次一方程与三元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2015•杭州模拟）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】此题中的等量关系有：
①共有190张铁皮；
②做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套．
【解答】解：
根据共有190张铁皮，得方程x+y=190；
根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x=22y．
列方程组为
．
故选：
A．
【点评】找准等量关系是解应用题的关键，寻找第二个相等关系是难点．
2．“甲、乙两数之和为16，甲数的3倍等于乙数的5倍”，若设甲数为x，乙数为y，则列出方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
中，其中正确的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【分析】如果若设甲数为x，乙数为y，那么根据“甲、乙两数之和为16”，可得出方程为x+y=16；根据“甲数的3倍等于乙数的5倍”可得出方程为3x=5y，故
（1）正确；再观察给出的其余三个方程组，分别是
（1）方程组里两个方程的不同变形，都正确，所以正确的有4组．
【解答】解：
设甲数为x，乙数为y．
则列出方程组正确的有：
（1）
；
（2）
；（3）
；（4）
．
故选D．
【点评】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
3．（2015春•嵊州市期末）如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各10克的砝码，将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，现从图2右侧盘中拿掉砝码和袋子外面的玻璃球，只剩下一小袋玻璃球，要使天平保持平衡，则左侧袋中需拿出玻璃球的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m克、n克，根据天平仍然处于平衡状态列出二元一次方程，根据等量关系求解即可．
【解答】解：
设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m克、n克，
根据题意得：
m=n+20；
设被移动的玻璃球的质量为x克，
根据题意得：
m﹣x=n+x+10，
x=
（m﹣n﹣10）=
（n+20﹣n﹣10）=5，
∴1个玻璃球的质量为5克，
∵5+10=15，15÷5=3，
∴要使天平保持平衡，则左侧袋中需拿出玻璃球3个；
故选：
B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系求出玻璃球的质量．
4．（2009•乐山）在中央电视台2套“开心辞典”节目中，有一期的某道题目是：
如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一个香蕉的重量的（ ）
A．
倍B．
倍C．2倍D．3倍
【分析】设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，先用含z的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再求
即可．
【解答】解：
设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，
由题意得
，
解得x=2z，y=
z，故
=
=
．
故选B．
【点评】本题先通过解三元一次方程组，求得用z表示的x，y的值后而求解．
5．（2008•临夏州）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答．
【解答】解：
设球体、圆柱体与正方体的质量分别为x、y、z，根据已知条件，得：
，
（1）×2﹣
（2）×5，得：
2x=5z，
即2个球体相等质量的正方体的个数为5．
故选：
A．
【点评】本题通过建立二元一次方程组，求得球体与正方体的关系，等量关系是天平两边的质量相等．
6．（2005•毕节地区）小明、小敏、小新商量要在毕业前夕给老师办公室的4道窗户剪贴窗花表达大伙的尊师之情，今年是农历鸡年，他们设计了金鸡报晓的剪纸图案．小明说：
“我来出一道数学题：
把剪4只金鸡的任务分配给3个人，每人至少1只，有多少种分配方法”小敏想了想说：
“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4．”小新接着说：
“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解．”现在请你说说看：
这个方程正整数解的个数是（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【分析】由方程x+y+z=4可知此方程是一个不定方程，根据题意可知此题分三种情况求解．
【解答】解：
（1）当x=1时，y=1，z=2或y=2，z=1；
（2）当y=1时，x=1，z=2或x=2，z=1；
（3）当z=1时，x=1，y=2或y=1，x=2．
故选D．
【点评】当一个方程为不定方程时要根据实际情况来解答．
7．（2005•绵阳）如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A．400cm2B．500cm2C．600cm2D．4000cm2
【分析】根据矩形的两组对边分别相等，可知题中有两个等量关系：
小长方形的长+小长方形的宽=50，小长方形的长×2=小长方形的长+小长方形的宽×4，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．
【解答】解：
设一个小长方形的长为x（cm），宽为y（cm），由图形可知，
，
解之，得
，
∴一个小长方形的面积为40×10=400（cm2）．
故选：
A．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小正方形的长与宽的关系．
8．（2015•海宁市模拟）用四个完全一样的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大长方形的长和宽，已知大正方形的面积是121，小正方形的面积是9，若用x，y（x＞y）表示长方形的长和宽，则下列关系中不正确的是（ ）
A．x+y=11B．x2+y2=180C．x﹣y=3D．x•y=28
【分析】根据大正方形及小正方形的面积，分别求出大正方形及小正方形的边长，然后解出x、y的值，即可判断各选项．
【解答】解：
由题意得，大正方形的边长为14，小正方形的边长为2
∴x+y=11，x﹣y=3，
则
，
解得：
．
故可得B选项的关系式不正确．
故选：
B．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据大正方形的边长及小正方形的边长，结合图形建立方程组，进一步解决问题．
9．（2011春•铜梁县校级期末）如图中的（a）、（b）、（c），其中（a）、（b）中天平已保持左右平衡，现要使（c）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入（ ）克的砝码．
A．30克B．25克C．20克D．50克
【分析】结合题意和图形可知，求天平右盘中放入多少克的砝码，应先求出球和三角砝码分别代表的砝码的质量，根据图a，b可得：
3个三角砝码的质量+2个球砝码的质量=80；3个球砝码的质量+2个三角砝码的质量=70，只要设出一个三角砝码的质量和一个球砝码的质量，根据上面两个相等关系，列方程即可求解．
【解答】解：
设一个三角砝码的质量为x克，一个球砝码的质量是y克，根据题意，得
，
解得x+y=30，
即一个三角砝码和一个球砝码的质量和是30克．
故选A．
【点评】解题关键是弄清题意，找出合适的未知数及相等关系，列方程组求解．
二．填空题（共7小题）
10．（2007•雅安）某体育场的环行跑道长400米，甲、乙同时从同一起点分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次．如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？
设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒．则列出的方程组是
．
【分析】此题中的等量关系有：
①反向而行，则两人30秒共走400米；
②同向而行，则80秒乙比甲多跑400米．
【解答】解：
①根据反向而行，得方程为30（x+y）=400；
②根据同向而行，得方程为80（y﹣x）=400．
那么列方程组
．
【点评】本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法．
11．（2008•杭州）课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只如果假设鸡有x只，兔有y只，请你列出关于x，y的二元一次方程组
．
【分析】此题中涉及到的生活常识：
一只鸡有一个头，2只脚；一只兔有一个头，四只脚．
此题中的等量关系为：
①鸡只数+兔只数=35；
②2×鸡只数+4×兔只数=94．
【解答】解：
根据鸡只数+兔只数=35，得方程x+y=35；
根据2×鸡只数+4×兔只数=94，得方程2x+4y=94．
即
．
【点评】本题考查生活常识在数学中的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
12．（1998•山西）某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数．若设城镇现有人口为x万，农村现有人口为y万，则所列方程组为
．
【分析】设城镇现有人口为x万，农村现有人口为y万，利用计划一年后城镇人口增加0.8%，农人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，用x，y表示出一年后的人数，进而得出方程组即可．
【解答】解：
设城镇现有人口为x万，农村现有人口为y万，则所列方程组为：
．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，利用x，y表示出一年后人数变化是解题关键．
13．（2012•吉林模拟）某汽车制造厂接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产35辆，则差10辆才能完成任务；如果每天生产40辆，则可超额生产20辆．若设预定期限是x天，计划生产y辆汽车，依题意可列方程组
．
【分析】本题的等量关系为：
35×预定天数=计划辆数﹣10；40×预定天数=计划辆数+20．依此等量关系列出方程组即可．
【解答】解：
设预定期限为x天，需要制造的汽车总数为y辆，
根据题意得：
，
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，需注意：
等式左右两边都表示实际生产的辆数．
14．（2014•盘锦）在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖共30名学生购买奖品，共花费528元，其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，求获得一等奖和二等奖的学生各有多少名？
设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，根据题意可列方程组为
．
【分析】设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，根据“一等奖和二等奖共30名学生，”“一等奖和二等奖共花费528元，”列出方程组即可．
【解答】解：
设获得一等奖的学生有x名，二等奖的学生有y名，由题意得
．
故答案为：
．
【点评】此题考查从实际问题中抽出二元一次方程组，注意找出题目蕴含的数量关系．
15．（2015•北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：
“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：
牛、羊各直金几何？
”
译文：
“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：
每头牛、每只羊各值金多少两？
”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为
．
【分析】根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．
【解答】解：
根据题意得：
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．
16．已知一组数据1，2，4，2，8，7，它的中位数和众数恰好是一个关于x，y的二元一次方程组的解，则这个二元一次方程组是
（答案不唯一） ．（写出符合条件的一个即可）
【分析】首先将数据从小到大顺序排列，然后根据中位数和众数的定义找出此组数据的中位数和众数，然后写出一个以这两个数为解的关于x，y的二元一次方程组即可．
【解答】解：
将已知数据从小到大顺序排列，得：
1，2，2，4，7，8；
共5个数据，处于第三位的是2和4的平均数，故这组数据的中位数是3，
在这组数据中，2出现的次数最多，因此众数为2；
那么以3、2为解得二元一次方程组可写作：
（答案不唯一）．
【点评】此题考查了中位数、众数以及二元一次方程组的解等相关知识点，需要注意的是在求某组数据的中位数时，一定要将数据从小到大（或从大到小）顺序排列．
三．解答题（共4小题）
17．某果品商店进行组合销售，甲种搭配：
2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：
3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：
2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？
【分析】如下图所示，首先用表格的形式把本题的各种水果的搭配表示出来．再假设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z根据表及题目说明，甲种搭配每套水果的单价=2×2+1.2×4=8.8（元），乙种搭配每套水果的单价=2×3+1.2×8+10×1=25.6（元），丙种搭配每套水果的单价=2×2+1.2×6+10×1=21.2（元）．
因此可列出方程组
，对于C水果只要求出y+z即为所求值．
【解答】
水果
搭配
A
B
C
甲
2
4
0
乙
3
8
1
丙
2
6
1
解：
如图，设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套．
则由题意得
，
即
由②﹣①×11得31（y+z）=465，即y+z=15
所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为15×10=150（元）
答：
C水果的销售额为150元．
【点评】解决本类问题的关键是：
（1）从表头中了解对象，从表列（行）中得到数据；
（2）处理数据，寻找隐含的规律．
思路点拨：
数据多、关系复杂是解本例的难点，运用表格可以帮助我们梳理复杂的数量关系，商店每天销售额与甲、乙、丙三种搭配的销量有关，故不宜直接设元，从求出甲、乙、丙三种搭配的套数人手，运用整体方法求解．
18．（2015秋•温州月考）某班参加一次智力竞赛，共a，b，c三题，每题或者得满分或者得0分．其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？
【分析】假设xa、xb、xc分别表示答对题a、题b、题c的人数．根据：
答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，列出三元一次方程组，求出方程组的解．再根据：
竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，求得答对1题的人数，进而求出该班总人数．再根据每题分数，求得平均成绩．
【解答】解：
设xa、xb、xc分别表示答对题a、题b、题c的人数．
则有
，
由①+②+③得xa+xb+xc=37④
由④﹣①得xc=8
同理可得xa=17，xb=12
∴答对一题的人数为37﹣1×3﹣2×15=4，全班人数为1+4+15=20
∴平均成绩为
=42．
答：
这个班的平均成绩是42分．
【点评】本题解决以求分别表示答对题a、题b、题c的人数做为突破口，进而求出全班人数，求得平均成绩．
19．某市为了节约用水，规定：
每户每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元和定额损耗费c元（c≤5）；若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费．
根据上表的表格中的数据，求a、b、c．
【分析】首先假设每月用水量为xm3，支付水费为y元．根据x的取值范围，列出y关于x的表达式y=
．再根据表中二、三月的用水量及水费，求得b的值，a、c间的数值关系．采用反证法证明一月份用水量即水费符号①式，求得c的值，那么a也即可确定．至此问题解决．
【解答】解：
设每月用水量为xm3，支付水费为y元．
则y=
，
由题意知：
0＜c≤5
∴8＜8+c≤13
从表中可知，第二、三月份的水费均大于13元，
故用水量15m3、22m3均大于最低限量am3，
将x=15，x=22分别代入②式，
得
解得b=2，2a=c+19⑤
再分析一月份的用水量是否超过最低限量，
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