探索二次函数综合题.docx
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探索二次函数综合题
探索二次函数综合题解题技巧
探索二次函数综合题解题技巧
类型一线段数量关系的探究问题
¢例：
（2015•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1．
¢
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
¢
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上．
¢①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
方法指导：
¢设点坐标：
若所求点在x轴上可设（x,0），在y轴上可设（0，y）；若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c）；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（-，y）；若所求的点在已知直线y=kx+b上时，该点的坐标可以设为（x，kx+b），常用所设点坐标表示出相应几何图形的边长.
¢简单概括就是规则与不规则线段的表示：
规则：
横平竖直。
横平就是右减左，竖直就是上减下，不能确定点的左右上下位置就加绝对值。
不规则：
两点间距离公式
¢根据已知条件列出满足线段数量关系的等式，进而求出未知数的值；
类型二图形面积数量关系及最值的探究问题
¢例：
（2015•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1．
¢
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
¢
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上．
¢①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；
¢②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
¢
¢1.三角形面积最值.分规则与不规则。
有底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平行属于规则，直接用面积公式求解。
没有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴属于不规则，用割补法。
¢2.四边形面积最值。
常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形（常作平行于坐标轴的直线来分割四边形面积），其求法同三角形.
¢类型三特殊三角形的探究问题
¢例（2016枣庄）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1,且经过A（1，0），C（0,3）两点，与x轴的另一个交点为B.
¢
（1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
¢
（2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
¢
1.对于直角三角形的探究问题,解题时一般需做好以下几点:
¢
（1）利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边平方的代数式；
¢
（2）确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论；
¢（3）根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在；
¢2.对于等腰三角形的探究问题，解题步骤如下:
¢
（1）假设结论成立；
¢
（2）设出点坐标，求边长.；（类型一方法指导）
¢（3）当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下:
¢①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；②当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在．用以上方法即可找出所有符合条件的点；
¢型四特殊四边形的探究问题例如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.
¢
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
¢
（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存
¢在点F，使A、C、F、G为顶点的四边形是平
¢行四边形？
如果存在，请求出所有满足条件
¢的F点坐标；如果不存在，请说明理由.
¢
2）【思维教练】由于A、C点已确定，F、G点不定，要使A、C、F、G为顶点的四边形为平行四边形.需要分AC为对角线或AC为平行四边形一边两种情况讨论,再利用平行四边形的性质求解.
¢
特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下:
¢
（1）先假设结论成立；
¢
（2）设出点坐标，求边长.（类型一方法指导）；
¢（3）建立关系式，并计算.若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论:
¢例：
（2014•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
¢
（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；
¢
（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值；
¢（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标
¢
探究平行四边形：
①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论.
¢探究菱形:
①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式.
¢探究正方形:
利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解.
¢探究矩形:
利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解
¢例1如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象过点A（4，0），
¢B（-4，-4），且抛物线与y轴交于点C，连接AB，BC,AC.
¢
（1）求抛物线的解析式；
¢
（2）点P是抛物线对称轴上的点，求△PBC周长的最小值及此时点P的坐标；
¢
（3）若E是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过E作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于F、D两点.请问是否存在这样的点E，使DE=2DF？
若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
¢
例2如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）,B（8，0）和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C,D同时出发，当动点D到达原点O时，点C,D停止运动.
¢
（1）直接写出抛物线的解析式:
；
¢
（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时，△CED的面积最大?
最大面积是多少?
¢（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
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