两位数乘法速算.docx

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两位数乘法速算

两位数乘法速算

速算是指利用数与数之间的特殊关系进行较快的加减乘除运算。

速算有两个方面的含义：

一是指速度快，最起码要比笔算的速度快；二是指不借助于笔、算盘、计算器等传统的运算工具，只利用数与数之间的特殊关系和大脑的思维活动快速算出两数之间的算术运算结果。

因此，速算就是口算，只不过这里的速算题目比教科书上的口算题目难一些而已。

本文重点讲解两位数乘法的速算方法。

其中一个两位数可以写成10m+a的形式，例如76可以写成10×7+6，这里的m是7，a是6。

另一个两位数可以写成10n+b的形式，m，n，a，b为1~9的任意数字。

因此，任意两个两位数相乘可以成（10m+a）（10n+b）的形式。

本文所讲的“首”指任一乘数的十位数字，“尾”指任一乘数的个位数字。

“接”或“随”指前面的数和后面的数连在一起。

一、两位数乘法的一般速算法

方法：

首积尾积前后接，后积两位不可缺；

首尾交叉积之和，十倍之后加上它。

原理：

（10m+a）（10n+b）

=mn×100+ab+（mb+na）×10

解析：

“首积尾积前后接”指两个乘数的十位数字的乘积放在前面，个位数字的乘积接在后面，即mn×100+ab。

“后积两位不可缺”指后积不足两位的，高位用零补齐，如例2，个位数字2×4等于8，这时后积不能写成8，而要写成08。

“首尾交叉积之和”指被乘数的十位数字与乘数的个位数字的积，加上被乘数的个位数字与乘数的十位数字的积，即mb+na。

“十倍之后加上它”是指‘首尾交叉积之和’乘以10，然后再与第一句口诀中得到的数相加。

当‘首尾交叉积之和’较大时，口算时还会有一定的困难，这时可以考虑采用“魏式速算法”。

例1：

37×64

解：

37×64=3×6×100+7×4+（3×4+7×6）×10=1828+540=2368

例2：

42×74

解：

42×74=4×7×100+2×4+（4×4+2×7）=2808+300=3108

二、两位数乘法的魏式速算法

原理：

（10m+a）（10n+b）=（m+1）n×100+ab+w×10

w是魏式系数，w=mb+na-n×10

解析：

魏式系数等于两个乘数的‘首尾交叉积之和’再减去其中一个乘数的十位数字的10倍。

魏式系数的值越小，计算起来越简单。

本人认为“魏式速算法”主要应用在魏式系数w=0时的速算，此时，（10m+a）（10n+b）=（m+1）n×100+ab，如例1、例2、例3。

但如果魏式系数大于10时，计算起来还是比较麻烦的，这时选用“一般速算法”或“魏式速算法”都行，如例4。

例1：

86×42

解：

∵　w=8×2+6×4-4×10=0

∴　86×42=（8+1）×4×100+6×2=3612

例2：

43×47（首同尾互补）

解：

∵　w=4×7+3×4-4×10=0

∴　43×47=（4+1）×4×100+3×7=2021

例3：

73×66（一数互补一数叠）

解：

∵　w=7×6+3×6-6×10=0

∴　73×66=（7+1）×6×100+3×6=4818

例4：

68×54

解：

∵　w=6×4+8×5-5×10=14

∴　68×54=（6+1）×5×100+8×4+14×10=3672

三、两位数乘法的特殊速算法

1.十几乘十几

方法：

十几乘十几，好做也好记；一数加上另数尾，十倍之后加尾积。

原理：

（10+a）（10+b）=（10+a+b）×10+ab

解析：

括号中的10+a+b可以看成（10+a）+b或（10+b）+a，其中的（10+a）或（10+b）就是两个乘数中的一个，而所加的b或a就是另一个乘数的尾数，这就是口诀“一数加上另数尾”的由来。

（10+a+b）的后面还有‘×10’，所以后一句口诀一开始就要求“十倍”，然后才是“加尾积”（公式中的‘+ab’）。

例1：

18×16

分析：

用18加上6（一数加上另数尾，6为另一乘数的尾数）得24，将其扩大10倍（后面直接添个0即可）后为240，再加上两个乘数的尾数之积（6与8的积为48），所得288就是18×16的答案。

解：

18×16=（18+6）×10+6×8=288

例2：

12×14

分析：

当个位数的乘积是一位数时，由于这个积是加在前面已求出的和数扩大10倍后的那个0上的，实际上就是将个位数的乘积直接“拖”在那个“和数”的后面。

所以，明眼人一看到12×14，就知道是16（12加4）后面拖了一个8（2×4），答案是168。

解：

12×14=（12+4）×10+2×4=168

2.几十乘几十

方法：

几十乘几十，方法最容易，首积之后补两零。

原理：

10m×10n=m×n×100

例1：

20×60

解：

20×60=2×6×100=1200

例2：

40×90

解：

40×90=4×9×100=3600

3.几十一乘以几十一

方法：

首积接首和，尾积后面写。

原理：

（10m+1）（10n+1）=m×n×100+（m+n）×10+1

解析：

“首积接首和，尾积后面写。

”是指两个乘数的十位数字的积，十位数字的和，个位数字的积依次连起来。

当首和是两位数时，首和的高位要与首积相加，如例2。

例1：

51×21

解：

51×21=2×5×100+（2+5）×10+1=1071

例2：

71×91

解：

71×91=7×9×100+（7+9）×10+1=6461

首和7+9=16的高位1要与首积7×9=63相加，得64。

4.任意两位数乘十一

方法：

一数乘十一，补零加原数。

原理：

（10m+n）×11=（10m+n）×（10+1）=（10m+n）×10+（10m+n）

例1：

36×11

解：

36×11=36×10+36=396

例2：

84×11

解：

84×11=84×10+84=924

5.九十几乘九十几

方法：

尾数之和加八十，尾补之积后面接。

原理：

令a是的补数是c，b的补数是d，即a+c=10，b+d=10，则有：

（90+a）（90+b）

=[90+（10-c）][90+（10-d）]

=（100-c）（100-d）

=10000-100c-100d+cd

=（100-c-d）×100+cd

=（80+10-c+10-d）×100+cd

=（80+a+b）×100+cd

解析：

这个式子表明：

九十几乘九十几可以用80加上两个乘数的个位数字，后面再接上两个乘数个位数字补数的乘积。

第二句口诀中的“尾补之积”占两位，不足两位时高位补0，如例2。

例1：

92×96

解：

92×96=（80+2+6）×100+8×4=8832

例2：

97×98

解：

97×98=（80+7+8）×100+3×2=9506

6.四十几的平方

方法：

十五加上尾，尾补平方后面随。

原理：

a、b为1~9的任意数字，且a+b=10。

（40+a）（40+a）

=[40+（10-b）][40+（10-b）]

=（50-b）（50-b）

=2500-100b+bb

=100（25-b）+bb

=100[25-（10-a）]+（10-a）（10-a）

=（15+a）×100+（10-a）（10-a）

解析：

第二句口诀中的“尾补平方”占两位，不足两位时高位补0，如例2。

例1：

43×43

解：

43×43=（15+3）×100+7×7=1849

例2：

48×48

解：

48×48=（15+8）×100+2×2=2304

7.五十几的平方

方法：

廿五加上尾，尾数平方后面随。

原理：

（50+a）（50+a）=2500+a×100+a×a=（25+a）×100+a×a

解析：

第一句口诀中的“廿五”即二十五；第二句口诀中的“尾数平方”占两位，不足两位时高位补0，如例1。

例1：

53×53

解：

53×53=（25+3）×100+3×3=2809

例2：

58×58

解：

58×58=（25+8）×100+8×8=3364

8.首同尾互补

首同尾互补是指两个乘数的十位数字相同、个位数字互补。

方法：

首位乘以大一数，尾数之积紧相随。

原理：

m，a，b为1~9的任意数字，且a+b=10。

ma×mb

=（10m+a）（10m+b）

=mm×100+m（a+b）×10+ab

=m（m+1）×100+ab

解析：

“首位乘以大一数”是指用任一乘数的十位数字乘以比十位数字大一的数，即m×（m+1）。

“个位之积紧相随”是指将两个乘数的个位数字的积跟在第一句口诀的得数之后。

需要注意的是当个位数字是1和9时，它们的乘积9是一个一位数，在往十位数的乘积后面“接”的时候，在9的前面要加一个0，即把9写成09，如例2。

在这种速算法中，魏式系数w=m×b+m×a+m×10=m（b+a）+m×10=0，因此，首同尾互补是魏式速算法的特殊情况。

例1：

34×36

解：

34×36=3×（3+1）×100+4×6=1224

例2：

91×99

解：

91×99=9×（9+1）×100+1×9=9009（不能写成909）

例3：

45×45

解：

45×45=4×（4+1）×100+5×5=2025

我们发现，例3中的两个两位数相同。

此时，计算两个相同两位数乘积的运算也就相当于求这个两位数平方的运算，而这个两位数的特点是其个位数字必须是5，因此，利用这种方法可以快速求出个位数是5的两位数的平方。

9.尾同首互补

尾同首互补是指两个乘数的个位数字相同、十位数字互补。

方法：

首位之积加上尾，尾数之积紧相随。

原理：

m，n，a为1~9的任意数字，且m+n=10。

ma×mb

=（10m+a）×（10n+a）

=mn×100+（m+n）a×10+aa

=（mn+a）×100+aa

解析：

“首位之积加上尾”是指两个乘数的十位数字相乘，再加上任一数的个位数字。

“尾数之积紧相随”是指两个乘数的个位数字相乘，然后紧跟在前一句口诀的得数之后。

需要注意的是当尾数之积是一个一位数时，在“紧相随”的时候在其前面要添一个0，即把1看成01；把4看成04；把9看成09，如例2。

例1：

47×67

解：

47×67=（4×6+7）×100+7×7=3149

例2：

23×83

解：

23×83=（2×8+3）×100+3×3=1909（不能写成199）

10.首差一尾互补

首差一尾互补是指两个乘数的个位数字互补、十位数字差一。

方法：

大首平方减去一，大尾平方用百补。

原理：

m，n，a，b为1~9的任意数字，且m-n=1，a+b=10。

（10m+a）（10n+b）

=（10m+a）[10（m-1）+（10-a）]

=（10m+a）（10m-a）

=mm×100-aa

=mm×100-100+100-aa

=（mm-1）×100+（100-aa）

解析：

“大首平方减去一”指两个乘数中较大数的十位数字的平方减去一，即公式中的m×m-1。

“大尾平方用百补”指用100减去两个乘数中较大数的个位数字的平方，即公式中的100-a×a。

例1：

48×32

解：

48×32=（4×4-1）×100+（100-8×8）=1536

例2：

76×64

解：

76×64=（7×7-1）×100+（100-6×6）=4864

11.一数互补一数叠

一数互补一数叠是指一个乘数中的两个数字互补，另一个乘数中的两个数字相同。

方法：

首位加一乘叠头，尾数之积作后盾。

原理：

m、a、b为1~9的任意数字，且m+a=10。

（10m+a）（10b+b）

=mb×100+（m+a）b×10+ab

=mb×100+b×100+ab

=（m+1）b×100+ab

解析：

第二句口诀中的“尾数之积”占两位，不足两位时高位补0，如例2。

在这种速算法中，魏式系数w=mb+ab-b×10=b（m+a）-b×10=0，即一数互补一数叠是魏式速算法的特殊情况。

例1：

28×33

解：

28×33=（2+1）×3×100+8×3=924

例2：

82×33

解：

82×33=（8+1）×3×100+2×3=2706