相似三角形的运用讲义.docx
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相似三角形的运用讲义
1、（如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．
其中正确的结论有（ ）
A．
5个
B．
4个
C．
3个
D．
2个
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
分析：
依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．
解答：
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME，故①正确；
∴PE=EM=
PM，
同理，FP=FN=
NP．
∵正方形ABCD中AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF=OE，
∴PE+PF=OA，
又∵PE=EM=
PM，FP=FN=
NP，OA=
AC，
∴PM+PN=AC，故②正确；
∵四边形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，
∴PE2+PF2=PO2，故③正确．
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；
∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM=PN，
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，
∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确．
故选B．
点评：
本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．
2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．
2
B．
2.5或3.5
C．
3.5或4.5
D．
2或3.5或4.5
考点：
相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
专题：
动点型．
分析：
由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DBE=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案．
解答：
解：
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=2BC=4（cm），
∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），
若∠DBE=90°，
当A→B时，∵∠ABC=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=BD=（cm），
∴t=3.5，
当B→A时，t=4+0.5=4.5．
若∠EDB=90°时，
当A→B时，∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴BE=2BD=2（cm），
∴t=4﹣2=2，
当B→A时，t=4+2=6（舍去）．
综上可得：
t的值为2或3.5或4.5．
故选D．
4、如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：
S△ABF=4：
25，则DE：
EC=（ ）
A．
2：
5
B．
2：
3
C．
3：
5
D．
3：
2
考点：
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析：
先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：
S△ABF=4：
10：
25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：
EC的值，由AB=CD即可得出结论．
解答：
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：
S△ABF=4：
25，
∴DE：
AB=2：
5，
∵AB=CD，
∴DE：
EC=2：
3．
故选B．
5、如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=
，则△EFC的周长为（ ）
A．
11
B．
10
C．
9
D．
8
考点：
相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．3718684
分析：
判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．
解答：
解：
∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=6，AD=DF=9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，
∴EC=FC=9﹣6=3，
在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4
，
∴AG=
=2，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：
2，
∴△CEF的周长为8．
故选D．
点评：
本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．
9、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
考点：
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题：
计算题．
分析：
由图可得，S1的边长为3，由AC=
BC，BC=CE=
CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=
；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．
解答：
解：
如图，设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=
x，x=
CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=
；
∴S2的面积为EC2=
=8；
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选B．
点评：
本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．
10、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（ ）
17、（2013•牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：
①PM=PN；②
；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=
PC．其中正确的个数是（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．3718684
分析：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；
先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；
先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；
当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN=
PB=
PC，判断④正确．
解答：
解：
①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM=
BC，PN=
BC，
∴PM=PN，正确；
②在△ABM与△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴
，正确；
③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，
∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，正确；
④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P为BC边的中点，
∴PN⊥
BC，△BPN为等腰直角三角形
∴BN=
PB=
PC，正确．
故选D．
点评：
本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．
30、（2013•眉山）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：
①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，
其中正确的有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
分析：
根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；
如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定②错误；
先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；
先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代换后判定④正确．
解答：
解：
①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．
在△AED与△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABE=∠C=45°．
∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，
∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等，
∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，
∴∠BAE与∠CAD不一定相等，
∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；
③∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF．
在△ACD与△ABF中，
，
∴△ACD≌△ABF（SAS），
∴CD=BF，
由①知△AED≌△AEF，
∴DE=EF．
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，
∴BE+DC＞DE，③正确；
④由③知△ACD≌△ABF，
∴∠C=∠ABF=45°，
∵∠ABE=45°，
∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，
∵BF=DC，EF=DE，
∴BE2+DC2=DE2，④正确．
所以正确的结论有①③④．
故选C．
点评：
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．
48、在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：
AB=1：
2，EF⊥CB，求证：
EF=CD．
（2）如图2，AC：
AB=1：
，EF⊥CE，求EF：
EG的值．
考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3718684
分析：
（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：
AB=1：
2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：
EG=EQ：
EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=
BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=
AE，又BE=AE，进而求出EF：
EG的值．
解答：
（1）证明：
如图1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，
∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．
∵AC：
AB=1：
2，∴AB=2AC，
∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，
∴AC=BE．
在△ACD与△BEF中，
，
∴△ACD≌△BEF，
∴CD=EF，即EF=CD；
（2）解：
如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四边形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH，
∴EF：
EG=EQ：
EH．
∵AC：
AB=1：
，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴sin∠B=
=
，
∴EQ=
BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴cos∠AEH=
=
，
∴EH=
AE．
∵点E为AB的中点，∴BE=AE，
∴EF：
EG=EQ：
EH=
BE：
AE=1：
．
点评：
本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．
53、（2013•呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，
（1）
的值为
；
（2）求证：
AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？
若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．3718684
分析：
（1）由正方形的性质可得：
∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：
∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；
（2）在BA边上截取BK=NE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；
（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．
解答：
（1）解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D，
∵∠AEP=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在Rt△ABE中，AE=
=
，
∵sin∠BAE=
=sin∠FEC=
，
∴
=
，
（2）证明：
在BA边上截取BK=NE，连接KE，
∵∠B=90°，BK=BE，
∴∠BKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CP平分外角，
∴∠DCP=45°，
∴∠ECP=135°，
∴∠AKE=∠ECP，
∵AB=CB，BK=BE，
∴AB﹣BK=BC﹣BE，
即：
AK=EC，
易得∠KAE=∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，
，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；
（3）答：
存在．
证明：
作DM⊥AE于AB交于点M，
则有：
DM∥EP，连接ME、DP，
∵在△ADM与△BAE中，
，
∴△ADM≌△BAE（AAS），
∴MD=AE，
∵AE=EP，
∴MD=EP，
∴MD
EP，
∴四边形DMEP为平行四边形．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．
52、（2013•泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．
（1）求证：
△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；
（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．
考点：
相似形综合题．
分析：
（1）由对应两角相等，证明两个三角形相似；
（2）如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，由此构造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y与x的函数关系式，这是一个二次函数，求出其最小值；
（3）如解答图所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE＞MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围．
解答：
（1）证明：
∵∠QAP=∠BAD=90°，
∴∠QAB=∠PAD，
又∵∠ABQ=∠ADP=90°，
∴△ADP∽△ABQ．
（2）解：
∵△ADP∽△ABQ，
∴
，即
，解得QB=2x．
∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD﹣DP=20﹣x．
如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，
∵MN⊥QC，CD⊥QC，点M为PQ中点，∴点N为QC中点，MN为中位线，
∴MN=PC=（20﹣x）=10﹣x，
BN=QC﹣BC=（BC+QB）﹣BC=（10+2x）﹣10=x﹣5．
在Rt△BMN中，由勾股定理得：
BM2=MN2+BN2=（10﹣x）2+（x﹣5）2=x2﹣20x+125，
∴y=x2﹣20x+125（0≤x≤20）．
∵y=x2﹣20x+125=（x﹣4）2+45，
∴当x=4即DP=4时，y取得最小值为45，BM的最小值为
=
．
（3）解：
设PQ与AB交于点E．
如解答图所示，点M落在矩形ABCD外部，须满足的条件是BE＞MN．
∵△ADP∽△ABQ，
∴
，即
，解得QB=a．
∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP，
∴
，即
，解得BE=
．
∵MN为中位线，∴MN=PC=（a﹣8）．
∵BE＞MN，∴
＞（a﹣8），解得a＞12.5．
∴当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为：
a＞12.5．
点评：
本题综合考查了相似三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、二次函数的最值、解一元一次不等式等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．解题关键是：
第
（2）问中，由BM2=y，容易联想到直角三角形与勾股定理；由最值容易联想到二次函数；第（3）问中需要明确“点M落在矩形ABCD外部”所要满足的条件．
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