阻尼性能材料物性.docx

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阻尼性能材料物性

材料的阻尼性能（内耗）

一．内耗的概念

大家都有这样的经验，振动的固体会逐渐静止下来。

如我们用一个铜丝吊一个圆盘使其扭动，即使与外界完全隔绝，在真空环境下也会停止下来。

这说明使振动得以停止的原因来自物体内部，物质不同会有不同的的表现，如改用细铅丝悬挂，振动会较快停下来。

我们把“机械振动能量由于内部的某种物理过程而引起的能量耗损称为内耗”能量损耗的大小对应着内耗损耗的大小，上面铅丝的内耗就比铜丝大（损耗大，衰减快，停得快）。

对于高频振动（兆赫芝以上），这种能量损耗又称超声衰减。

在工程领域又称内耗为阻尼。

在日常生活中，内耗现象相当普遍。

例如，古代保留下来的一些大钟，制造水平很高，敲击后余音不绝，这反映铸钟用的合金材料的内耗很低。

不过一旦钟出现裂纹，其声音便会很快停止下来，表明内耗已大为增加。

又如，人的脊椎骨的内耗很大，这样人走动时脚下的剧烈振动才不会传到人的大脑，而引起脑震荡。

在社会生活中，则常借用内耗概念来比喻一个单位内部因相互不配合使工作效率下降的现象。

关于内耗的研究主要集中在两个方面，一是寻求适合工程应用的有特殊阻尼本领的材料（通常用在两头。

内耗极小的材料，如制备钟表游丝，晶场显微镜的探针材料；内耗很大的材料，如隔音材料，潜艇的螺旋桨及风机）。

二是内耗的物理研究，由于内耗对固体中缺陷的运动及结构的变化敏感（上面大钟内的微裂纹），因此，常利用内耗来研究材料中各种缺陷的弛豫及产生相变的机制。

缺陷有点缺陷（零维）：

杂质原子替代原子空位

缺陷有线缺陷：

位错

缺陷有面缺陷：

晶界、相界、

缺陷有体缺陷：

空洞

具体实验中常通过改变温度、振动频率或振幅、变温速度、试样组分及加工、热处理、辐照条件等研究各种因素对内耗的影响规律及产生内耗的机制。

上面两方面的研究是相辅相成的。

需求刺激研究，如国防军工需求，潜艇降噪的需要推动了对高阻尼材料的研究；反之，研究有助于开发，如Mn-Cu合金的内耗研究，发现材料在某一温存在一个马氏体相变，可引起很大的内耗峰，此内耗峰的峰位随材料的组分变化，故可通过调节，改变合金组成使这个内耗峰的峰温移至室温附近，以此增加合金在室温条件下的阻尼，现已用在潜艇螺旋桨的制造。

为了较深入的了解内耗，下面我们先介绍滞弹性概念。

二、滞弹性概念

现已知道，引起振动能量耗散的根本原因是固体材料在应力的作用下出现了非弹性应变（完全弹性体时不产生内耗的）。

同学们中学时都学过胡克定律

F=kx，σ＝Mε或σ＝Jσ

细致分析一个理想弹性体要满足三个条件

（1）单值性应力－应变一一对应，对应一个应力总有一个确定的应变。

（2）瞬时性响应不需要时间，瞬间完成。

（3）线性应力与应变成正比关系。

我们根据这三种性质满足的程度，作一个图表来区分几种不同类型的固体。

理想弹性体非线性弹性体滞弹性体瞬时范性体粘弹性体完全非弹性体

（1）单值性√√√xxx

（2）瞬时性√√x√xx

（3）线性√x√x√x

滞弹性是与应变或应力非瞬时完成相联系的，即应变对应力的响应不是瞬时的，而是经过一段时间内才能完成。

（是一种非弹性应变源于应变落后于应力，

我们常见的几种滞弹性表现：

蠕变（或称应变弛豫）、应力弛豫、弹性后效、及内耗和模量亏损。

先看蠕变例子。

在T=0时，突然加一个恒应力σo作用于固体上。

固体除了立即产生一个瞬时弹性形变外，还将继续形变ε（t），直到稳定值。

见下图1（a）所示，

（a）（b）

图1-（a）滞弹性的蠕变（b）粘弹性蠕变（纵坐标应变，横坐标时间）

理想弹性体对应于一条平直线，只有瞬时形变，虚线为滞弹性体的平衡值σo1JR，有

σo1→σo1JR1

σo2→σo2JR1一一对应，→单值性；

2σo→2σoJR

3σo→3σoJR→线性；

瞬时性不满足。

粘弹性体，单值性条件也不满足，见示意图（b）曲线

再看内耗，交变应力作用，振动的物体。

由于应变的非瞬时响应将引起应变落后于应力，那么给试样加一个交变应力，应变对应力的响应就会出现应力――应变回线，即引起内耗。

如图2所示

图2交变应力-应变曲线，滞弹性产生回线

应力回线的面积大小能反映出内耗的大小，因此，可用它定义内耗。

直线，对应完全弹性，无回滞面积，无损耗；滞弹性有回线面积出现，面积大小对应外加交变应力一周内所作的功。

三、内耗的表征（或称量度）

内耗的定义有多种表现形式，主要有三种

1、滞后回线法

利用上面回滞曲线表示内耗。

内耗→正比于ΔW（一周的损耗），发展到ΔW／W，W为振动一周内弹性能的最大储能。

（比值，无量纲）

具体求内耗数值时，利用ΔW正比于ΔA（回线面积），W由最大应力和应变的乘积决定。

为了和其它方式表示的内耗一致，一般将内耗定义为

Q-1＝1／2π•••ΔW／W

2、由弹性模量或顺度表征内耗

引入复空间，设σ＝σoeiωt

相应应变ε（t）=εooei（ω-φ）t=εo（cosφ–isinφ）eiωt=（ε1-iε2）ei（ω-φ）t

按定义，复顺度为J＝J1（ω）－iJ2（ω）

tgφ=J1（ω）/J2（ω）

同理有tgφ=M2（ω）/iM1（ω）

下面说明tgφ与Q-1等价，可用于表征内耗。

因振动一周单位体积消耗的能量为

ΔW＝∮σdε=π••J2σo2（∮σdε=∮σosinωtdε=...）

另一方面，最大储能（π／2处）

W=⌠σdε=1/2J1σo2

有Q-1＝1／2π•••ΔW／W＝1／2π•••πJ2σo2／1/2J1σo2＝J1（ω）/J2（ω）＝tgφ

说明tgφ可用于表示内耗，φ很小时可用落后的相角直接表示内耗，φ＝0.2时其误差为1%;完全弹性体,φ=0,内耗为零.

3、非弹性应变法

外加应力σ＝σoeiωt,应变因非弹性而落后于应力一个相位φ角,可写为两部分，见图3所示.

图3非弹性法图解

ε（t）=ε’+ε’’=[ε’1+（ε1’’-iε2’’）]eiωt

ε’＝ε’1eiωt

ε’’=（ε1’’-iε2’’）eiωt

ε’弹性，ε’’非弹性

ε’1弹性，ε1’’非弹性同位相

ε2’’非弹性90度位相

tgφ＝ε2’’／（ε’1＋ε1’’）≈ε2’’／ε’1（a）

可见内耗与非弹性应变的虚部有关

复模量M＝σ/ε=σ0/[ε’1+（ε1’’-iε2’’）]＝M（1＋itgφ）

这里，M＝σ0/[ε’1+（ε1’’）＝σ0／ε’1•[1＋ε1’’/ε’1]-1=Mu（1＋ε1’’/ε’1）-1

≈Mu（1-ε1’’/ε’1）

复模量中实数部分称为动力学模量，也是实测模量。

由于非弹性存在，它小于未弛豫模量Mu（＝σ0/ε0）

M＝σ0/[ε’1+（ε1’’）<σ0／ε’1

称为模量亏损效应，可用ΔM/M来量度，其定义式为

ΔM/M＝（Mu－M）／M≈ε1’’/ε’1（b）

由此可见，非弹性应变的实数部分导致模量亏损。

（a），（b）两式说明，滞弹性形变导致内耗，必然导致模亏损，并且前者与应力不同相的非弹性应变分量有关，后者与应力同相的非弹性应变分量有关。

四、内耗的测量原理

Q-1＝1／2π•••ΔW／W＝tgφ＝φ，φ是应变落后于应力的位相。

对晶体来说，φ一般是小量，因此直接精确测量φ是很困难的，但我们可以通过其它物理量的测量来获得φ，通常用的方法有两类。

共振系统的实验（包括强迫振动、自由衰减、磁共振）和波传播法。

（1）共振法

共振系统通常有两个组元――试样和惯性元。

试样反映系统的弹性和滞弹性，用一滞弹性弹簧表示；惯性元，即用一个大M表示，其质量远大于试样。

考虑简单的一维运动情况，可用下图表示一个共振系统。

图4两组元共振系统示意图

这里φ是x落后于作用于样品上的Fs的相角。

φ一般是小量，一般物体的内耗在10－3量级，直接精确测量很困难，但我们可通过其他物理量的测量，利用物理量之间的关系来求得。

共振法中又有两种模式可求tgφ，自由衰减和强迫振动。

（1）强迫振动模式（在交变外力下运动）

试样质量相对惯性元质量很小，可忽略不计，系统的振动方程为

md2x/dt2+Fs=Fa

（1）

设方程的解为x=xoei（ωt-θ）

（2）

θ是x落后于Fa（外力）的相角,

将x=xoei（ωt-θ）及Fs=k1（1+itgφ）x;Fa=Foeiωt代入

（1）式

有

-mω2xoei（ωt-θ）+k1（1+itgφ）xoei（ωt-θ）=Foeiωt

（3）

对比实部、虚部（等式两边实部虚部分别相等）

有F0/m•cosθ=x0（ωr2－ω2）ωr2＝k1/m（4）

F0/m•sinθ=x0ωr2tgφ（5）

上两式相比:

（5）／（4）tgθ=ωr2tgφ/（ωr2－ω2）（6）

（4）,（5）两式平方后相加,x02=（F0/m）2/[（ωr2－ω2）2+ωr4tgφ2]（7）

从（7）看出ω=ωr时,x0有最大值（x0）max

反映ωr对应着体系的共振频率。

让ω取值为ω1及ω2使x02下降至其最大值的一半。

（见图5所示）

图5振幅平方随频率的变化

即x02ω1，ω2＝1／2（x0）2max

（x0）2max＝（F0/m）2/[ωr4tgφ2]，用了ω＝ωr条件

即有，ωr4tgφ2＝[（ωr2－ω1，22）2+ωr4tgφ2]

ωr4tgφ2＝[（ωr2－ω1，22）2

tgφ＝（ωr2－ω1，22）／ωr2→（ωr2－ω12）／ωr2与（ω22－ωr2）／ωr2

进一步简化，（ωr－ω1）（ωr＋ω1）／ωr2≈2ωr（ωr－ω1）／ωr2＝（ωr－ω1）／ωr

（ω2－ωr）（ωr＋ω2）／ωr2≈2ωr（ω2－ωr）／ωr2＝（ω2－ωr）／ωr

得，ω1＝ωr－tgφωr／2；ω2＝ωr＋tgφωr／2

tgφ＝（ω2－ω1）／ωr

这样通过测量ω1，ω2，ωr可求出tgφ，即内耗。

避免了直接测小φ值的困难，此法叫半宽法。

具体测量，先调共振（调ω找（x0）max，示波器上波型最高；然后，调出波形降低一半分别对应的ω1和ω2值。

（相当于收音机调台）

另外，有ωr2正比于M1（ω）关系，可得到杨氏模量的相对值。

（2）自由衰减模式

先对系统时加一外力使其振动，然后撤去外力，系统此时就处于自由衰减振动状态，其运动方程为

mx+Fs=0

设方程的解为x=xoei（ωt+iωδt/2π）=A（t）iωt;dx/dt=i（ω0+iδω0/2π）x

d2x/dt2=-（ω0+iδω0/2π）2x=-（ω02+iδω0/π-δ2ω02/4π2）xFs=k1（1+itgφ）x

代入运动方程,

-m（ω02+iδω0/π-δ2ω02/4π2）x+k1（1+itgφ）x=0

方程两边实部、虚部分别相等有

ω02（1-δ2/4π2）-k1/m=0→ω02=（k1/m）/（1-δ2/4π2）

-δω0/π+k1/mtgφ=0→tgφ=（δω0/π）/（k1/m）

δ/2π«1时，有ω02=k1/m

表明自由衰减频率接近共振频率，当损耗越小时，两者越接近。

将ω02=k1/m代入上面tgφ等式，tgφ=（δω0/π）/ω0→tgφ=δ/π

δ反映内耗，即可通过求δ，求出体系内耗。

但到这里还未解决具体内耗数值求解问题。

在x=xoei（ωt+iωδt/2π）中，令t1=t0;t2=t0+T

相应两时刻的振幅为x1=xoei（ωt+iωδt/2π）和x2=xoei[ω（t+T）+iωδ（t+T）/2π]（T=2π/ω0;周期）

x1/x2=eδln（x1/x2）=δ

令A1,A2分别表示振幅最大值对应的振幅

δ=ln（A1/A2）t2=nT时，（t0=0，此时对应振幅值）

δ=（1／n）ln（A1/A1＋n）取A1=Ak，δ=（1／n）ln（Ak/Ak＋n）

图6自由衰减是振幅随时间变化图

2、次共振法

由于tgθ=ωr2tgφ/（ωr2－ω2），如果ω«ωr可得tgθ=tgφ，即有θ=φ

即在外加应力频率远离共振频率的条件下，可直接用试样的位移落后于外加应力（加在整个系统上）的相位角表征试样的内耗。

此法也属于强迫振动，但不是在共振状态下，其激发频率较低。

此方法的最大优点是对试样进行变频测量。

条件ω«ωr，ω比ωr小多少合适？

实验表明，这种方法适用于ω较ωr低10倍以上的频率，并且内耗越大测量越准。

高分子材料的内耗一般较大，故测量数据较准确。

3、波传播法

只适合兆Hz以上的超声研究。

因样品很短，一般在几厘米左右，要用波在样品中传播探测衰减，那么波长一定要小于样品尺寸，故测量频率要极高。

见下波传播示意图。

图7不衰减时超声脉冲在滞弹性介质中传播的衰减

设波的传播方向为x，质点位移为u.（横波）对于介质密度为ρ的各向同性介质波动方程为

ρu=M∂2u/∂x2M=m1（1+itgφ）

解的形式u=uoe-αxei（ω（t+x/v）

α是波传播单位长度的振幅减缩量，也称超声衰减系数。

V是波速。

由解的形式知，波传到x1和x2处的振幅分别为

u（x1）=uoe-αx1在振幅时有ω（t＋x/v）＝2π，ei2π＝1

u（x2）=uoe-αx2

α＝1/（x2-x1）ln[u（x1）/u（x2）]

这里单位是奈培／厘米（Np/cm）；如α用常用对数表示，则

α＝20/（x2-x1）lg[u（x1）/u（x2）]其单位为分贝／厘米,dB/cm

根据δ和α各自的定义

有δ=λα取x2-x1=λ

Q-1＝1／2π•••ΔW／W＝tgφ＝φ=δ/π=λα/π=2vα/ωα=φ（ω）ω/2v

同样由波动方程，复模量表示式及解的形式可得,v2≈M1（ω）/ρ,即声速平方与模量正比。

对于横波，M（ω）代表切变模量，对于纵波M（ω）是杨氏模量。

利用超声技术可精确求材料的模量。

五、几种常见的内耗类型

1.弛豫型内耗

特点：

不引起范性形变的条件下（一般ε<10－4m），内耗与所加的外应力大小无关；而频率有关。

由材料滞弹性行为引起的内耗，即其内耗源于应变落后于应力引起的非弹性，属于弛豫型内耗。

弛豫型内耗可用Zener提出的标准线性固体的应力、应变方程（线性微分方程）表述。

其普通形式为

a0σ+a1dσ/dt+a3d2σ/dt2+…＝b0ε+b1dε/dt+b2d2ε/dt2+…

（1）

（1）式两边各取一项,

a0σ＝b0εσ＝Mε胡克定律，完全弹性体

（1）式两边各取两项，即只考虑一阶线性微分方程

a0σ+a1σ’＝b0ε+b1έ

（2）

可描述弛豫型内耗。

为了后面叙述方便及了解系数的物理含义，把上式变换为下面的形式

σ+τεσ’＝MR（ε+τσέ）

（2）’

其中τε=a/a0,MR=b0/a0,MRτσ=b1/a0

下面利用式

（2）’讨论材料的蠕变行为

蠕变过程有σ＝0t<0;σ＝σ0t≥0

显然，σ’＝0，

（2）’式成σ0＝MR（ε+τσέ）（3）

通过简单的代数变换→dε/（σ0/MR–ε）=dt/τσ→

d（ln（σ0/MR–ε）=d（t/τσ）→－ln（σ0/MR–ε）=t/τσ+c

→ε=σ0/MR-e-t/τσ+c（4）

利用初始条件t=0,ε=ε0可定出c=ln（σ0/MR–ε0）

代入（4）式得

ε=σ0/MR–（ε0-σ0/MR）e-t/τσ（5）

式中σ0为恒应力，ε0初始应变；MR＝σ0/ε（∞），t→∞（无穷大），称完全弛豫模量；另定义σ0/ε0＝Mu为未弛豫模量，又称完全弹性模量；τσ时间量纲，称恒应力下的应变弛豫时间。

τ＝τσ时，ε（τσ）＝σ0/MR–（ε0-σ0/MR）／e→σ0/MR-ε（τσ）＝（σ0/MR-ε0）／e

→ε（∞）-ε（τσ）＝（ε（∞）-ε0）／e,即t=tσ时，应变平衡值ε（∞）和应变ε（t）之差为平衡值与初始偏离值差的1/e。

由

（2）式同样可以讨论应力弛豫，έ＝0，t<0，ε＝0;t≥0，ε＝ε0

σ+τεσ’＝MRε

可求出σ（t）=ε0MR–（σ0-MRε0）e-t/τε（6）

式中τε为恒应变下的应力弛豫时间。

τσ，τε是反映弛豫过程快慢的物理参量。

小――快；大――慢

注意：

上述四个量τσ、τε、MR和Mu并不是独立的，它们满足关系

τσ／τε＝Mu／MR（7）

简单证明，设很短时间增量Δt内，应力有个Δσ增量,将

（2）两边积分有

⌠σdt+⌠τεdσ=⌠MRτεdt+⌠MRτσdε

→⌠σdt+τεΔσ=⌠MRτεdt+MRτσΔε

令Δt→0,

则τσ／τε＝Mu／MRΔσ／Δε=MU

以上介绍的是静态过程，σ,ε只是时间的函数,所加的外力或应变是恒应力或恒应变。

如固体承受的是周期性变化的力，σ＝σoeiωt，ε=εoei（ωt-φ）

（2）式中σ’＝iωσ,ε’=iωε代入

（2）’，有

σ+τεσ’＝MR（ε+τσέ）→σ（1＋iωτε）＝εMR（1+iωτσ）

复模量M＝σ／ε＝MR（1+iωτσ）／（1＋iωτε）＝MR/（1＋ω2τε2）•（1+iωτσ）（1-iωτε）

=MR（1＋ω2τετσ）/（1+I（ω2τε2）•（1+iω（τσ-τε）/（1+ω2τετσ）

和M＝M（1+itgφ），比较虚部可求内耗

Q-1＝tgφ=ω（τσ-τε）/（1+ω2τστε）（8）

若令τ=（τστε）1/2,M=（MuMR）1/2及利用τσ／τε＝Mu／MR

可得,Q-1＝tgφ＝[（Mu－MR）/M]ωτ/（1+ω2τ2）=ΔMωτ/（1+ω2τ2）（9）

ΔM=（Mu－MR）/M称为弛豫强度。

同样，由M的实部比较可求得模量亏损

ΔM/M＝ΔM1／（1+ω2τ2）（10）

由（9）式看出Q-1与振幅无关，而与频率有关，内耗对ln（ωτ）频率作图（见图8）可得在ωτ＝1时，

内耗最大（Q-1＝ΔM／2）。

图8

ωτ«1，y=x/（1+x）≈x→0

ωτ»1y=x/（1+x2）≈1/x→0

为什麽ωτ＝1，内耗最大？

其物理意义可以这样理解：

τ是弛豫时间，ω是外加频率，1／ω＝T是测量周期，

ωτ＝1，即T=τ,外加应力周期与滞弹性材料的弛豫时间吻合，此时耗能最大。

ωτ»1,

τ»1/ω=T,弛豫时间相对测量周期很慢，即振动一周内体系来不及弛豫，试样行为接近完全弹性行为,Q-1很小。

另，M→Mu，故ΔM/M→0；ωτ«1,τ«1/ω=T,弛豫时间远小于测量振动周期，弛豫很快完成，故每一瞬间应变都接近平衡值，因此Q-1很小。

另，M→MR，ΔM/M＝ΔM。

若体系发生的弛豫过程是通过原子扩散来进行的，则弛豫时间τ和T的关系满足

Arrhenus方程τ＝τ0eH/kT（11）

这一关系可用来求激活能，利用ωτ＝1,τ＝1/ω，代入（11）

方程ω＝ω0e-H/kT→lnω＝lnω0-H/kTm

ω＝ω1,T=Tm1,lnω1＝lnω0-H/kTm1

ω＝ω2,T=Tm2,lnω2＝lnω0-H/kTm2两式相减，有

ln（ω/ω0）=-H/k（1/Tm1-1/Tm2）ω＝ω0ω＝ω0

H=kln（ω/ω0）/（1/Tm1-1/Tm2）

利用Arrhenus公式，τ＝τ0eH/kT可将（9）式表示成温度的函数

Q-1＝Δωτ0eH/kT/（1+ω2τ02e2H/kT）

2.静滞后型内耗

静滞后型内耗是一种非线性内耗，其应力和应变存在多值函数关系。

即加载和去载时，同一载荷下具有不同的应变值，完全去掉载荷后，有永久形变产生；仅当反方向加载时，才能恢复到零应变。

应力变化时，应变瞬时达到平衡值，故这种滞后回线的面积恒定，与振动频率无关，称为静态滞后（静滞后）。

静滞后内耗与应变振幅有关。

如，钉扎位错在应力作用下脱钉和缩回过程引起的内耗。

Q-1＝ΩΛLN3kε0b/3πLcexp（-kέb/Lc）

Ω取向因子，K与脱钉应力有关的因子，έ是溶质溶剂原子错配系数，b是Burgers矢量的模，LN是钉扎应力在位错上的强钉扎间的距离，Lc是弱钉扎平均距离，ε0是应变振幅。

公式中Q-1与ω无关，与ε0有关。

3.阻尼共振型内耗

当试样的质量（相对惯性元M）不可忽视，系统仍属于滞弹性范畴时，在考虑到试样的质量后（即前面

（1）式中两边各取3项），描述它的方程为，

MR-1σ+τMu-1σ’＋ω0-2Mu-1σ’’＝ε+τε’＋ω0-2ε’’

式中ω0是共振系统的固有频率,ω02=8M/Ml

将σ＝σoeiωt，ε=εoei（ωt-φ）代入上方程，利用复模量[M＝M（1+itgφ）]

M＝σ／ε＝[（1-ω2/ω02）+iωτ]/[（MR-1+ω2Mu-1/ω02）+iωτMu-1]

由实部、虚部可求出模量亏损和内耗

Q-1＝tgφ＝ΔM[（1-ω2/ω02）/]/[（（1-ω2/ω02）2+ω2τ2）

ΔM/M＝ΔM[（1-ω2/ω02）/[（（1-ω2/ω02）2+ω2τ2）

有两个极端情况

（1）ω0-1»τ（即τ很小，τω小）

分母中ω2τ2所占的比重小，得到典型的共振行为，在ω＝ω0时，发生共振吸收形成内耗峰。

见图9

图9阻尼共振型内耗的共振吸收峰

模量亏损ΔM/M有类似于光学的反常色散行为。

（2）ω0-1«τ，ω2／ω02→0

Q-1≈Δωτ/（1+ω2τ2）

形式上看与弛豫型内耗相同。

但前面德拜弛豫型内耗τ与T关系密切，T略有改变，内耗峰对应的ω将有很大改变；而共振型内耗与温度依赖性相对来说要小得多，内耗峰对应的频率与温度不敏感，ω0＝（k/m）1/2德拜弛豫型,峰温随ω增加移向高温;

阻尼共振型,峰温随ω增加有可能移向低温。

（ω0正比于k1/2，T↑，k↓,ω0