数学纵横.docx

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数学纵横

数学趣题

数1999

在如图的网络中，从上至下接连地每层只数一个数，问一共可以数出多少个1999？

参考答案

8个.理由设想从第二层左边的9数起，可数出4个999.同理从第二层右边的9数起也有4个.因此从1数起能数出8个1999.

数153

初看上去，153是个普普通通的数，毫不起眼，可是它竟具有一个响亮的名称──圣经数，并有一些有趣性质，你知道吗？

圣经数的典故出自《新约全书》约翰福音第21章，有关内容如下：

“耶稣对他们说：

‘把刚才打的鱼拿几条来．’西门·彼得就去，把网拉到岸上．那网网满了大鱼，共一百五十三条；鱼虽这样多，网却没有破．”

如果把从1开始的17个连续自然数加起来，其和恰为153，即1+2+3+…+17=153．

另外，人们对下列事实也会感到兴趣，即158=1！

+2！

+3！

+4！

+5！

．

但是，有关数153的最“美妙”性质是由以色列人科恩（P．Kohn）所发现．从任一个3的倍数开始进行变换：

把各位数字的立方相加，其和就作为变换后的数字．反复进行上述变换，经过有限次以后，结果必然到达153．

例如，对48进行变换，结果将是：

48→576→684→792→1080→513→153．

在世界著名科普杂志，英国《新科学家》周刊上负责常设专栏的一位学者奥皮亚奈（T．H．O'Beirne）已对此作了证明．《美国数学月刊》对有关问题作了进一步的探讨．

有趣的自守数

说到自守数，必须和乘法联系在一起．简单地说：

若一个数与它自己相乘，得到的积最后的一位、两位、三位数字…恰好就是原来的因数．这种数就叫自守数．

如在一位数中，共有四个自守数0、1、5、6，通常有—一得一，0乘0得0变化不大．考察5和6可以发现5×5=25，6×6=36它们积的末位恰好为5、6．继续研究可知任何两整数相乘，只要它们的末位数都是5、6，那么乘积的末位数也必然仍旧是5和6，真象一条不好藏匿的“尾巴”．

两位数中，有两个自守数25和76（因为25×25=625，76×76=5776后面的数字恰好为25和76），显然它们是一位自守数的“伸长”，即从5→25、6→76，但一位自守数0和1是不可以伸长的，因此就不值得继续研究．类似地在三位数中，也有两个自守数625和376（因为625×625=390625、376×376=141376后面的数字恰好为625和376），显然它们又是二位自守数的“伸长”即从25→625、76→376．

那么自守数的尾巴是不是可以继续“伸长”呢？

回答是肯定的．自守数可以从5、6出发，无限伸长，其位数不受限制．加拿大有两位数学工作者利用计算机已得到了五百位的自守数．如十位的自守数就是8212890625和1787109376．下一个问题是：

如何找出自守数呢？

方法其实很简单，只要利用X3-X能被10、102、103、…10n整除，求出的X就是自守数了．如求两位的自守数，只要找到两位数X，能使X2-X被100整除的X只有25和76两个．有些同学会认为，方法原理似乎很简单，但具体操作时就比较麻烦，有没有更好的方法呢？

好，我们就来介绍分类寻找自守数的方法．

1．得出5的“伸长”自守数系列的方法

如把两位自守数25自乘25×25=625得到的就是三位自守数．再如把五位自守数90625自乘90625×90625=8212890625，从积的后面截取六位得890625，这就是六位自守数.一般从n位到n+1位，都采用此办法．

2．得出6的“伸长”自守数系列的方法

也把原n位自守数自乘，得到结果后，在后面截取n+1位，但第n＋1位必须变化，不能照搬，而应用10减去该位数字的差．如把两位自守数76自乘，76×76=5776截取后三位数字776，最高位用10减去7得3，则三位自守数376；再如把三位自守数376自乘376×376=141376截取后四位1376，最高位用10减去1得9，则四位自守数为9376．

有趣的是，5的“伸长”自守数和6的“伸长”自守数的和还存在一种普遍规律，即

5＋6=10+1，

25+76=100+1，

625+376=1000+1

……

8212890625+1787109376=10000000000+1．

因此两个n位自守数之和正好是10n＋1．

9字趣谈

同学们相信吗？

在我们日常生活中到处隐藏着9！

不信？

请看我们祖国的生日是1949年10月1日，用1949、10、1任意组成一个多位数，如1949101，然后把这个数中的数字重新排列，得到另一个不同的多位数，如4919101，再用大数减去小数：

4919101-1949101=2970000

把差数的各位数字加起来：

2＋9＋7＋0＋0+0＋0=18．

再把这个和数的各位数字加起来，直到出现一位数为止：

1＋8=9．请看，9出现了吧？

原三位数能否被9整除，只要看后面括号里的结果就行了．由此，我们可得出如下结论；一个数的各位数字的和能被9整数，这个数就能被9整除；反过来，一个数能被9整除，它的各位数字之和也一定能被9整除．

下面我们再将上述三位数各位上的数字重新排列，不妨使百位上为c，十位上为a，个位上为b，可得：

100c＋10a＋b=（99c＋9a）+（a＋b＋c）

易知，新数与原数之差能被9整除，根据前面得出的结论，这两数之差的各位上数字之和能被9整除，再把这个和的各位上的数相加，结果仍能被9整除，直到和是一位数，那么这个一位数便一定是9了．

读了上文后，相信你肯定知道下面游戏的奥秘之处了．

任意写一个你喜欢的自然数，然后，

1．加上你的年龄；

2．男同学加上1，女同学减去1；

3．两位数中最大的是99，最小的是10，你喜欢哪个就加上哪个；

4．再乘以一个你喜欢的自然数；

5．一位数中9最大，再乘以9；

6．把以上所得结果中各位上的数加起来，如果和不是一位数，请再把和的各位上的数加起来，直到加得的和是一位数为止；

7．最后把上面所得到的一位数乘以222，现加上1．

如果没算错的话，你现在的得数一定会是1999！

奇妙的45

有一些自然数，它们具有一些独特而又有趣的性质．例如，45就是这样的一个数：

我们看到45的平方是2025，把这个2025从右向左两位一段地分开得到两个数：

20和25，这两个数的和恰好是原来的45！

在两位的自然数中，除了45以外，有没有别的数也具有同样的性质呢？

答曰：

有！

例如99，请看

又如55：

我们自然会想：

这样的两位自然数一共有多少个呢？

我们来探讨这个问题．

我们知道，在两位的自然数中，最小的是10，最大的是99，它们的平方数分别为100和9801．因此，所有两位数的平方数或是三位数或是四位数．把这些平方数从右向左，两位一段地划分，只能分作两段．第一段（从右数）中的数是两位数或者是0，第二段中的数是一位数或两位数．

我们所寻求的是这样的两位数：

把它的平方数从右向左两位一段地划分为两段后，这两段中的数的和恰好是原来的两位数．

容易判断，20，30，…，80和90不是所求的两位数．

现在考虑设未知数的问题，这是个关键问题，未知数选择得恰当，问题的解决就比较顺利，未知数选择得不恰当，问题的解决就比较困难，甚至无法解决．

在我们所探讨的问题中，如果设所求的两位数是10x＋y（即十位数字是x，个位数字是y），那么，它的平方数是

（10x＋y）2=100x2＋20xy＋y2．

这时，无法表达平方数被分成的两段，也就列不出方程了，这样设未知量是行不通的．

现在换一个设法——倒过来设：

所求的两位数在平方以后，从右向左两位一段地分为两段后，依次设第一段中的数是y，第二段中的数是x，那么，所求的两位数是

x+y，

而这个两位数的平方数是

（x＋y）2，

同时也是100x＋y，

因而有（x＋y）2=100x＋y，

整理为x2＋（2y-100）x＋（y2-y）=0．

以x为元，解这个一元二次方程，得

∵x是自然数，

∴2500-99y一定是完全平方数．

可设2500-99y=t2，t≥0并且是整数．由此式得

（50＋t）（50-t）=11·9·y．

由这个式子可知

（50＋t）（50-t）

是11的倍数，但11是质数，因而50＋t和50-t中必有一个是11的倍数．

又由（50＋t）（50-t）=99y≥0及t≥0可得0≤t≤50．

当50-t是11的倍数时，由

0≤t≤50

得0≤50-t≤50．

∴50-t=0，11，22，33，44．

于是t=50，39，28，17，6．

把这些值代入到

（50+t）（50-t）=99y，

中去，得到的y值是

这五个数都不是非负整数，故不合要求．

当50＋t是11的倍数时，由0≤t≤50可得

50≤50＋t≤100．

∴50＋t＝50，55，66，77，88，99，

于是t=05，16，27，38，49．

把这些t值依次入到

（50＋t）（50-t）=99

中去，得到

其中只有y=25和1符合要求，把这两个值依次代入到

中，得到对应的x值：

y=25时，x=20或30．

y=1时，x=98或0（0舍去）．

因此合乎要求的数是

x＋y=45，55，99．

故所要寻求的数只有三个．

以上，我们研究了这样的两位数：

它的平方数，在从右向左地两位一段分成两段后，这两段中的数的和等于原来的两位数．我们证明了有这种奇妙性质的两位数只有三个，即45，55，99．

我们的探讨并没有就此结束．我们自然会进一步想：

是不是存在具有类似性质的三位数呢？

这样的三位数确是存在的．例如703：

7032=494209．

494209→494＋209=703．

三位数不同于两位数的地方是：

应把平方数从右向左三位一段地划分为两个数．

这样的三位数也只有三个，即297，703和999．这个问题请读者自己作出证明．实在证不出来时，请看后面的答案．

读者在探索了三位数后，可能又想：

是不是存在具有同样奇妙性质的四位数、五位数、…、n位数呢？

请你继续探索吧！

在探讨中，你会获得新的知识，你还将体验到创造性工作的快乐．

答案

最小的三位数是100，它的平方是10000．最大的三位是是999，它的平方是998001．因此，任意三位数的平方数必大于10000而小于998001，故这样的平方数从右向左三位一段地划分只能得到两个数．设这两个数，从右向左依次为y，x，当x，y符合所说的性质时，则有

（x＋y）2=1000x＋y．

整理为x2＋（2y-1000）x＋y2-y=0，

以x为元，解这个一元二次方程得

因为x是正整数，故250000-999y必是完全平方数，

设250000-999y=t2，t≥0且是整数．此式即为

（500＋t）（500-t）=37×37×y．

由这个式子知道左边必是37的倍数，而37是质数，故500＋t和500-t中必有一个是37的倍数．

又y≥0，得0≤t≤500．因而有

500≤500＋t≤1000

和0≤500-t≤500．

于是，当500＋t是37的倍数时，t=18，55，92，129，166，203，240，277，314，351，388，425，462，499．在这些值中，仅有t=203和499使y为整数：

209和1，这时相应的x值是494，88和998．

当500-t是37的倍数时，得到的t值（有十三个值）不能使y为整数，故全部舍去．

因此合乎条件的x、y值及三位数是

一个数学小游戏

大约成书于公元400年前后的《孙子算法》提出了一个著名的数学问题：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

”即一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，求这个数．古人将这个问题的解法归结为一首言数道算的押韵诗：

“三人同行七十稀，五瓣梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五见天机．”意思是，一个数被3除若余1，则记为70；若被5除余1，则记为21（廿是20的意思）；若被7除余1，则记为15．将3次所得之数相加，再减去105（口诀里的‘除’是‘减’的意思），就得到该数．例如92=70×2＋21×2＋15-105．

这里所要说的是若三次所得数相加后小于105，则就是此数，若三次所得数相加后超过105的倍数，则减去此倍数即得所求．

例如：

81=0＋21＋4×15，

14=70×2＋21×14＋0-210．

这一解法的原理是：

因为被3除余1，且被5和7都整除的最小数是70，70×2被3除余2，且也能被5和7整除；同理，21×2被5除余2，且也能被3和7整除；15×2被7除余2，且也能被3和5整除．所以70乘以某数被3除所得的余数，加上21乘以此数被5除所得的余数，再加上15乘以它被7除所得的余数之和分别被3，5，7除仍得原来的余数．设某数x被3除余r3，被5除余r5，被7除余r7，则70r3＋21r5＋15r7被3除余数仍是r3，被5除余数仍是r5，被7除仍是r7．又由于3、5、7的最小公倍数是105，所以一个数加上或减去105的整数倍，被3，5，7整除余数仍不变．则由x=70r3＋21r3＋15r7-n×105即可求出符合题意所要求的数x的值了．

中国剩余定理

被外国人称为“中国剩余定理”的，是数学中的一个分支数论中的内容．它最早是由《孙子算经》提出的，原书叫做“物不知数”问题．原文“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

”：

“答曰二十三．”译成现代汉语就是：

有一堆东西不知道有多少个，用3除它的个数时，所得的余数是2，用5除它的个数时，所得的余数是3，用7除它的个数时，所得的余数是2，问这堆东西有多少个？

答案是23个．

这个问题的解决方法是采用了同余式．那么什么叫同余式呢？

如果a、b都是整体，而m是一个正整数，则当m能整除a-b时，记作m｜（a-b），我们就说a，b对模m同余，记作a=b（modm）．例如5÷4余数是1，9÷4余数也是1，那么5与9关于模4同余，这样，上面所说的“物不知数”问题，用同余的式子表达，可以写成下面的形式：

x=2（mod3），

x=3（mod5），

x=2（mod7），

于是有

x=70×2＋21×3＋15×2（mod105）x=23（mod105），（其中105=3×5×7），

即得x=23＋105k，k=0，1，2，3，…

当k=0时，x=23（最小答案）．

为什么要用70，21，15这三个数呢？

原因是70=2×5×7=1（mod3）；

21=3×7=1（mod5）；

15=3×5=1（mod7）．

关于这个问题的算法，明代程大位在《算法统宗》中编成歌诀，歌曰：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝，

七子团圆整半月，

去百零五便得知．

它的意思是：

用3除得的余数乘70，用5除得的余数乘21，用7除得的余数乘15，把前面的3个乘积加起来再减去105的倍数便得到答数．这个问题也可以用不定方程的解法，以普通的代数方法列成方程组是：

其中x是所求的数，a、b、c分别表示用3、5、7去除x所得的商，答案无穷多，要的是正整数解．23、128、233、…都是它的解，23是最小的正整数解．

“物不知数”问题是后来驰名于世界的“大衍求一术”的起源，流传到宋元时代还有一些别的名称，如“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“韩信点兵”等．我国古代数学家秦九韶对这类问题进一步地深化、推广，创造了解联立一次同余式的一般方法，即“大衍求一术”．所为“求一”，就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得的余数为1”的方法．即求1m=（modm）中的a之方法．“大衍”本来是《易经》中的词，后来用到历法和数学上．“大衍求一术”得到了外国数学家的高度评价，受到世界学者的瞩目．在西方，公元18世纪时，数学家欧拉、拉格朗日才对这个问题进行了系统的研究．1801年数学家高斯在《算术探究》中，才明确地提出这类问题的解法．这要比秦九韶晚500多年，比我国的《孙子算经》晚1500多年．因此，有人提出应把剩余定理称为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”不仅有光辉的历史意义，直到现在还是一个非常重要的定理，仍然是解决某些数学问题的有力工具．

有趣的幻方

据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文（如图1），后人称它为“洛书”，这就是我国古代有关“洛书”的神话传说．

“洛书”就是让我们把1至9这九个数，填入图2中九个方格内，使每行、每列、两条对角线上的三个数字之和都相等，这实质是一种填数游戏，也有人称之为数字谜，算式谜，虫食算等．

如图3这种图形通称“幻方”，我国南宋的著名数学家杨辉将它命名为“纵横图”，国外最早的幻方是印度卡倍拉霍地方加泰苏立神庙碑文上的四阶纵横图（见图4），欧洲人直到14世纪才开始研究幻方，比我国迟了两千年．

“洛书”所表示的幻方，是在3×3的格子里（即三行三列），按一定要求填上1至9九个数，称它为三阶幻方．一般说来，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始），每个数占一格，并使排在任一行任一列和每条对角线上的n个自然数的和都相等，这个和叫幻和，n叫阶，这样的数表叫n阶幻方．

幻方曾使不少爱好者入谜，并为之倾注大量心血．大数学家欧拉，著名物理学家富兰克林对幻方都很感兴趣，在幻方探索和研究方面取得了一定的成绩．美国1997年发射的寻找外星文明的宇宙飞船旅行者1号、2号上除了有向宇宙人致意的问候讯号外，还带有一些图片，这些图片中就有表现勾股定理的图形和一张四阶幻方图（见图5、图6）．

我国古代数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方构造方法时写到：

“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”．现在用下图对这句话进行解释．

首先利用对称交换法，构造一个四阶幻方．

1．将1至16这16个数分别填在四阶方格的各小格内，这时两主对角线上四个数之和为34，其它每行、每列四个数的和都不等于34（见图7）．

2．将图7中两主对角线上的数，原封不动地用来做四阶幻方的两个主对角线，将图7中的一、四两列与二、三两列的其它数字互相交换（见图8）．

3．将图8中的一、四两行与二、三两行非主对角线上的数字互相交换，这样就得到了一个四阶幻方（见图9）．

其次利用罗伯法构造一个五阶幻方

1．在第一行正中央方格内填写1，在1的右上一格里填2，因出格反把2填在2所在这一列的最下一个方格内，在2右上格依次填3、4，4又出格，把4改填在4所在这一行最左边的一个方格内．（见图10）

2．在5的右上格填6，因6与1重合了，把6改填在与5相邻的下边的方格内，然后重复上面的做法，一直填到右上角一格内为15时为止．（见图10）

3．15在格的右上角，就把16填在与15相邻的下边的一个方格内，然后重复上面的几步，就得到一个五阶幻方（见图11）．

这种填奇数阶幻方的方法，叫罗伯法．可以用下面几句话概括：

1居上行正中央，依次斜填切莫忘，下出格时往下写，右出格时左边放，排重便在下格填，右上排得重一样．

以上简单介绍了几种构造幻方的方法，无论用哪种方法构造幻方，都要仔细、认真，不要怕麻烦，用同一种构造幻方的方法构造出来的幻方，形式不一定是唯一的，构造出一个幻方后，做适当地旋转、交换，就可以得出另一形式的幻方．

3．纵横图

纵横图是按一定规律排列的数表，也称幻方．一般是n行n列，各行各列的数字之和相等，纵横图有几行，就称为几阶．我国最早的纵横图，当推汉代“九宫图”（图1）．宋代理学家们把它与《周易》中的“河出图，洛出书，圣人则之”联系起来，认为九宫图即天生的神物——洛书，是伏羲画八卦的依据，从而为这些有规律的数字蒙上了一层神秘色彩．

就在这种数字神秘主义气氛笼罩社会的时候，杨辉却在孜孜不倦地探索纵横图的构成规律。

他以自己的研究成果，否定了纵横图的神秘性．《续古摘奇算法》上卷的大量纵横图表明，这种图形是有规律可循的．

杨辉首先给出三阶和四阶纵横图的构造方法：

“易换术曰，以十六子依次第作四行排列，先以外四角对换……后以内四角对换．”这便是构造四阶纵横图的一种方法（图2）．

在“总术”中，杨辉给出构造四阶纵横图的一般方法．第一步是“求积”，即求出每行或每列的数字之和应为多少．杨辉把前16个自然数当作一个等差数列，用求和公式

求得S＝136，进而求得每行之数34．第二步是“求等”，即设法使每行、每列的数字之和等于34．“求等术曰：

以子数分两行

一二三四五六七八

九十十一十二十三十四十五十六

而二子皆等（十七），又分为四行，而横行先等（三十四），乃不易之数．却以此编排直行之数，使皆如元求一行之积（三十四）而止．”依此术，杨辉构造数字方阵如图3，然后再“编排直行之数”．杨辉说：

“绳墨既定，则不患数之不及也．”意思是掌握了规律，就不难作出纵横图．

四阶以上纵横图，杨辉只画出图形而未留下作法．但他所画的五阶、六阶乃至十阶纵横图全都准确无误，可见他已经掌握了高阶纵横图的构成规律，他的十阶纵横图叫百子图（图4），各行各列的数字之和均为505．

杨辉的纵横图对后世深有影响，明代程大位、清代方中通、张潮、保其寿等，都曾在此基础上进一步研究纵横图．

费尔马猜想

我们知道，可以找到三个整数，譬如说x=3，y=4，z=5，使x2+y2=z2成立．也就是说，这个方程有非零整数解．那么，方程xn+yn=zn（n≥3）有没有非零整数解呢？

17世纪法国数学家费尔马（P．deFermat，1601-1665）在古希腊数学家刁番都著的一本书的书边上写道：

“n≥3时，方程x2+y2=z2没有非零整数解．我已找到了这个定理的奇妙的证明，可惜这儿地方太小，无法将它记下．”费尔马是否真的证出了这个结论，现在无从知晓，反正，后人没有见到过费尔马在别的地方写了这个结论的证明．应该说，这仅仅是一个猜想，但人们习惯上称它为“费尔马大定理”．

300多年来，这个问题吸引了很多优秀数学家，法国科学院曾于1816年和1850年两次悬赏征解，德国也于1908年悬赏十万马克征解．应征者络绎不绝，但提出的解法都是错误的．长期来，人们既不能证明它，也未能否定它，只能对于许多给定的整数n来证明其成立．由于对这一猜想的研究，促进了许多数论分支的发展．1993年6月，美国普林斯顿大学教授怀尔斯（AndrewWiles）在英国剑桥大学举办的论文报告会上宣称，他已间接证明了“费尔马大定理”，得到专家们的肯定．

无理数的由来

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希勃索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数）这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。

这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。

希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。

毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。

而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。

于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。

不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。

不可通约的本质是什么？

长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。

15世纪意大利著名画家达·芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可