乘除法的关系与运算律.docx
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乘除法的关系与运算律
【知识要点】
〔一〕、乘除法各局部之间的关系：
〔1〕乘法各局部之间的关系：
因数×因数=积 一个因数=积÷另一个因数
〔2〕除法各局部之间的关系：
没有余数的除法：
有余数的除法：
被除数=商×除数 被除数=商×除数 + 余数
除数=被除数÷商 除数=〔被除数-余数〕÷商
商= 被除数÷除数 商= 〔被除数-余数〕÷除数
〔3〕乘、除法之间的关系：
除法是乘法的逆运算
注意：
0不能作除数。
（4）整除：
a÷b（b≠0）＝c那么a能被b整除，b能整除a。
〔二〕乘法运算律
1、乘法交换律：
两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。
这个规律叫做乘法交换律。
用字母表示为：
a·b=b·a
2、乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘再乘第三个数，或先将后两个数相乘再乘第一个数，它们的积不变。
这个规律叫做乘法结合律。
用字母表示为：
（a·b）·c=a·（b·c）
3、乘法分配律：
两个数的和与一个数相乘，可以把这两个加数分别与这个数相乘，再把积相加。
这个规律叫做乘法分配律。
用字母表示为：
（a+b）·c=a·c+b·c a·c+b·c=（a+b）·c
乘法分配律的拓展：
两个数的差与一个数相乘，可以用这个数分别去乘相减的两个数，再把积相减。
用字母表示为：
（a-b）·c=a·c-b·c a·c-b·c=（a-b）·c
〔三〕减法简便运算：
1、一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个数的和。
用字母表示：
a－b－c＝a－（b＋c）
2、一个数连续减去两个数，可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。
用字母表示：
a－b－c＝a—c－b
〔四〕除法简便运算：
1、一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个数的积。
用字母表示：
a÷b÷c＝a÷（b×c）
2、一个数连续除以两个数，可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。
用字母表示：
a÷b÷c＝a÷c÷b
〔五〕积的变化规律
① 一个因数缩小〔扩大〕几倍，另一个因数扩大〔缩小〕相同的倍数，积不变。
② 一个因数缩小（或扩大几倍），另一个因数不变，积也随着缩小（或扩大）几倍。
③ 一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n，积扩大m×n倍；
一个因数缩小m倍，另一个因数缩小n，积缩小m×n倍；
一个因数扩大〔缩小〕m倍，另一个因数缩小〔扩大〕n倍，积扩大或缩小m÷n倍。
〔六〕解决问题：
1、相遇问题
相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题
追及距离＝速度差×追及时间
追及时间＝追及距离÷速度差
速度差＝追及距离÷追及时间
2、工程问题
工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
3、最多、最少问题
人数最少多买贵的，人数最少多买廉价的。
4、购物、旅游合算问题
先计算后比拟。
【例题精选】
一、常见乘法计算：
25×4＝100 125×8＝1000
二、加法交换律简算例子：
三、加法结合律简算例子：
50+98+50 488+40+60
＝50+50+98 ＝488+〔40+60〕
＝100+98 ＝488+100
＝198 ＝588
四、乘法交换律简算例子：
五、乘法结合律简算例子：
25×56×4 99×125×8
＝25×4×56 ＝99×〔125×8〕
＝100×56 ＝99×1000
＝5600 ＝99000
六、含有加法交换律与结合律的简便计算：
65+28+35+72
＝〔65+35〕+〔28+72〕
＝100+100
＝200
七、含有乘法交换律与结合律的简便计算：
25×125×4×8
＝〔25×4〕×〔125×8〕
＝100×1000
＝100000
八、乘法分配律简算例子：
一、分解式 二、合并式
25×〔40+4〕 135×12—135×2
＝25×40+25×4 ＝135×〔12—2〕
＝1000+100 ＝135×10
＝1100 ＝1350
三、特殊1 四、特殊2
99×256+256 45×102
＝99×256+256×1 ＝45×〔100+2〕
＝256×〔99+1〕 ＝45×100+45×2
＝256×100 =4500+90
＝25600 =4590
五、特殊3 六、特殊4
99×26 35×8+35×6—4×35
＝〔100—1〕×26 ＝35×〔8+6—4〕
＝100×26—1×26 ＝35×10
＝2600—26 ＝350
＝2574
九、 连续减法简便运算例子：
528—65—35 528—89—128 528—〔150+128〕
=528—〔65+35〕 =528—128—89 =528—128—150
=528—100 =400—89 =400—150
=428 =311 =250
十、 连续除法简便运算例子：
3200÷25÷4
=3200÷〔25×4〕
=3200÷100
=32
十三、 其它简便运算例子：
256—58+44 250÷8×4
=256+44—58 =250×4÷8
=300—58 =1000÷8
=242 =125
【专项训练】
一、积的变化规律练习题
1、先用积的变化规律填空，再用笔算或计算器验算。
26×48＝1248 17×12＝204
26×24＝〔 〕 17×24＝〔 〕
26×12＝〔 〕 17×36＝〔 〕
2、请学生完成以下计算，并在组内述说自己发现的规律。
18×24＝ 105×45＝
〔18÷2〕×〔24×2〕＝ 〔105×3〕×〔45÷3〕＝
〔18×2〕×〔24÷2〕＝ 〔105÷5〕×〔45×5〕＝
3、在○中填上运算符号，在□中填上数。
24×75＝1800 36×104＝3744
〔24○6〕×〔75×6〕＝1800 〔36×4〕×〔104○4〕＝3744
〔24○3〕×〔75○□〕＝1800 〔36○□〕×〔104○□〕＝3744
4、一个长方形的面积是256平方厘米，如果长缩小4倍，宽扩大4倍，这个长方形就变成了正方形，这个正方形的面积是多少？
它的边长是多少？
二、乘法的运算律
〔一〕在□里填上适宜的数，在〔 〕里填上运算定律。
135＋□＝467＋□ 运用了〔 〕
〔29×□〕×8＝29×〔125×□〕 运用了〔 〕
25×67×4＝25×□×67 运用了〔 〕
125×〔400＋□〕＝125×400＋125×8 运用了〔 〕
72+57+43=72+〔57+43〕 运用了〔 〕
〔二〕判断，对的打“√〞，错的打“×〞〔用手势表示〕，并说明理由。
⑴4×15＝15×4……………………〔 〕
⑵〔28×5〕×15＝28×〔5＋15〕……〔 〕
⑶43×27＝27+43……………… 〔 〕
⑷101×63＝100×63＋63……………〔 〕
⑸98×15＝100×15＋2×15…………〔 〕
〔三〕用简便方法计算。
⑴ 35+63+27 ⑵ 〔103-3〕×15
⑶ 25×44 ⑷ 14×32+69×14
〔四〕体味生活中的数学--购物。
王阿姨是开商店的，今天她准备到好多多超市批发以下清单中的商品，她带了3000元，如果要购置这些商品，钱够用吗？
请你帮王阿姨算一算，看谁的方法最巧妙。
商品
单价〔元〕
数量
德芙巧克力
43
36包
洗衣粉
36
15箱
绿盛牛肉干
17
36包
洗发露
25
36瓶
【解决问题】
〔1〕师徒两人合作加工520个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，几小时以后还有70个零件没有加工？
〔2〕甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖75米；乙队从西往东挖，每天比甲队少挖5米，两队合作8天挖好，这条水渠一共长多少米？
（3）甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米。
乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？
〔4〕一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。
汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？
〔5〕两地相距270千米，甲、乙两列火车同时从两地相对开出，经过4小时相遇。
甲车的速度是乙车的1.5倍，求甲、乙两列火车每小时各行多少千米？
〔6〕甲、乙两城相距680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米，2小时后，快车从乙城开往甲城，每小时行80千米，快车开出几小时后两车相遇？
〔7〕甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行，甲车每小时行45千米，途中因汽车故障甲车停了1小时，5小时后两车相遇。
乙车每小时行多少千米？
〔8〕A、B两地相距3300米，甲、乙两人同时从两地相对而行，甲每分钟走82米，乙每分钟走83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟才可以相遇？
〔9〕甲、乙两列汽车同时从两地出发，相向而行。
甲车每小时行45千米，乙车每小时行32千米，相遇时甲车比乙车多行52千米。
求甲乙两地相距多少千米？
〔10〕姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长770米。
妹妹步行每分钟行60米，姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇。
这时妹妹走了几分钟？
〔2001年上海市金山区升级考试卷〕
〔11〕小明和小华从甲、乙两地同时出发，相向而行。
小明步行每分钟走60米，小华骑自行车每分钟行190米，几分钟后两人在距中点650米处相遇？
〔2002年上海市金山区升级考试卷〕
〔12〕A、B两地相距300千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行。
各自到达目的地后又立即返回，经过8小时后它们第二此相遇。
甲车每小时行45去，千米，乙车每小时行多少千米?
甲乙两人分别同时从A、B两地相向而行，相遇时距A地120米，相遇后，他们继续前进，到达目的地后立即返回，在距A地150米再次相遇，求A、B两地之间的距离。
问题补充：
甲乙都是匀速前进，请用四年级的方法来做，不要方程。
四年级的方法如下：
乙从第一次相遇到第二次相遇一共走了270〔在2个全路程内〕，平均每个全程走135
因为是匀速运动，所以第一个全程应该也走了135，
所以距离就等于135+120＝255
【相遇问题练习一】
1、 甲乙两人在400米的环形跑道上跑步，两人朝相反的方向跑，第一次和第二次相隔40秒，甲每秒跑6米，乙每秒跑多少米？
2、 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距299千米的两地相向而行，公共汽车汽车每小时行40千米，小汽车每小时行52千米。
几小时后两车第一次相距69米。
几小时后又相距69米？
3、 一列客车和一列货车同时同地反向而行，货车比客车每小时快6千米，3小时后相距342千米，求两车的速度。
4、 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。
问，该列车与另一列长320米时速64.8千米的列车错车而过需要几秒？
5、 一列火车长150米，每秒行20米，全车通过一座长450米长的大桥，需要多长时间？
6、 甲乙两人绕周长1200米的环形广场冲走，甲每分走125米，乙的速度是甲的1.2倍，现在甲在乙的后面400米，追上甲需要多长时间？
7、 小明以每分50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明。
求小强骑自行车的速度？
8、 一架飞机从甲空港飞往乙空港，原方案每分飞行9千米，现在按每分12千米的速度飞行，结果提前半小时到达，甲乙两地相距多少千米？
9、 甲乙两人练习跑步，假设甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒可追上乙；假设乙比甲先跑2秒，那么甲4秒可追上乙。
问甲乙两人的速度？
10、甲乙两车同时从A地开往B地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，途中甲车因故障修车用了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时。
AB两地相距多少？
【相遇问题练习二】
1、甲乙两辆汽车从相距600千米的两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米，甲车先开出2小时后，乙车才开出。
乙车行几小时后与甲车相遇？
2、一列火车于下午4时30分从甲站开出，每小时行120千米，经过1小时后，另一列火车以同样的速度从乙站开出，晚上9时30分两车相遇。
甲乙两站铁路长多少千米？
3、快车和慢车同时从甲、乙两地相对开出，快车每小时行60千米，慢车每小时行52千米，经过几小时后快车经过中点32千米处与慢车相遇。
甲、乙两地的路程是多少千米？
4、甲、乙两车从A、B两地同时相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，两车在距中点15千米处相遇。
A、B两地相距多少千米？
5、甲乙相距640千米，两辆汽车同时从甲地开往乙地，第一辆汽车每小时行46千米，第二辆汽车每小时行34千米，第一辆汽车到达乙地后立即返回，两辆汽车从开出到相遇共与偶用了几小时？
6、哥哥和妹妹同时从甲到相距540米远的学校上学，哥哥每分钟走60米，妹妹每分钟走48米，哥哥到达学校后发现忘了拿铅笔，立即返回家去取，在途中遇到妹妹。
从开始上学到两人再相遇共有多少分钟？
7、甲乙两队学生从相距2700米的两地同时出发，相向而行，一个同学骑自行车以每分钟150的速度在两队之间不停地往返联络，甲队每分钟行25米，乙队每分钟行20米，两队相遇时，骑自行车的同学共行了多少米？
8、AB两人同时从相距3000米的家里相向而行，A每分钟行70米，B每分钟行80米，一只大狗与他同时出发，每分钟行100米，狗与B相遇后立即掉头向A跑去，遇到A后又向B跑去，直到AB两人相遇。
这只狗一共跑了多少米？
【单元测试】
一、填空。
〔16分〕
1、〔 〕÷125＝8 〔 〕×150＝900 48×〔 〕＝240
2、一个因数＝〔 〕÷〔 〕，被除数＝〔 〕×〔 〕
除数=〔 〕÷〔 〕,除法是乘法的〔 〕.
3、在一个乘法算式中积是280,一个因数缩小5倍，另一个数扩大10倍，积是〔 〕。
4、根据34×12＝408写出两个除法〔 〕、〔 〕。
5、甲数除以乙数，商是54,余数是700，如果乙数是900,甲数是〔 〕。
6、2×5×6×2×5×5×2积的末尾有〔 〕个零。
7、2846÷6＝441表示：
〔 〕能被〔 〕整除，还可以表示：
〔 〕能整除〔 〕。
8、480÷〔6× 〕＝20 26×〔 ÷8〕＝208
二、根据运算定律在下面□里填上适当的数。
〔14分〕
15×16＝16× 25×7×4＝ × ×7
〔60×25〕× ＝60×〔 ×8〕
〔125× 〕× ＝125×〔9×14〕
〔43+25〕×2＝ × + ×
8×47+8×53＝ ×〔 + 〕
17×〔18+ 〕＝17× +17×15
三、下面哪个算式是正确的，正确打“√〞，错误的打“×〞。
〔8分〕
〔1〕26×〔15+24〕＝26×15+24 〔 〕
〔2〕25×〔40+4〕＝25×40+25×4 〔 〕
〔3〕75×27+25×27＝〔75+25〕×27 〔 〕
〔4〕25×32＝25×4×8 〔 〕
〔5〕〔40+2〕×25＝40+2×25 〔 〕
〔6〕102×28＝100×28+2×28 〔 〕
〔7〕62×99＝62×100-1 〔 〕
〔8〕35×14＝35×2×7 〔 〕
四、怎样算简便就怎样算。
〔18分〕
16400÷400 15×4×25×6 95×102
282×5+18×5 2870÷35 420÷28
五、选择。
〔6分〕
1、把符合要求的算式序号填在括号里。
①27×9＝9×27 ②30+A+40＝30+40+A ③〔40+10〕+50＝40+〔10+50〕 ④25×11＝11×25
⑤104×18＝100×18+4×18 ⑥94×99+94＝94×100 ⑦13×5×8＝13×〔5×8〕⑧242+M＝M+242
A、应用加法交换律的算式有〔 〕 B、应用乘法交换律的算式有〔 〕
C、应用乘法结合律的算式有〔 〕 D、应用加法结合律的算式有〔 〕
E、应用乘法分配律的算式有〔 〕
2、400减去24的差，除以13与12的和，最后求出的是〔 〕。
和 差 积 商
3、457×99的简便算法是〔 〕。
457×99-1 457×100+457 457×100-457
4、如果a×b=0,那么〔 〕。
A、a一定是0 B、b一定是0 C、a和b都是0 D、ab至少有一个是0
5、〔a+b〕×c=a×c+b×c，这叫做〔 〕。
乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律
六、找朋友。
〔把得数相等的算式连接起来〕〔4分〕
102×98+102 102×98+98 102×98+2×98 98×100-2×98
〔102-2〕×98 100×98+3×98 104×98 99×102
七、在能整除的算式后面的〔〕里，画“√〞〔4分〕
9÷5〔 〕 24÷2〔 〕 7÷2〔 〕 18÷3〔 〕 85÷13〔 〕
36÷9〔 〕 120÷4〔 〕 36÷6〔 〕 180÷1〔 〕 30÷8〔 〕
0÷8〔 〕 90÷5〔 〕 43÷6〔 〕 21÷4〔 〕 76÷6〔 〕
八、列式计算。
〔5分〕
1、一个数乘以2,再除以90,然后加上19,最后减去10,结果是10,这个数是多少？
2、一个数分别与4和9相乘，所得的积的和是2782,这个数是多少？
九、解决问题。
〔25分〕
1、一共有两个书架，每个书架有4层，共放有248本书，平均每个书架每层放多少本？
2、某学校有5位老师带着88名学生参观科技馆，现有1200元钱，够不够？
〔信息：
杨人票每张24元，儿童票每张12元。
〕
3、两人同时从相距6400米的两地相向而行。
一个人骑摩托车每分钟行600米，另一个人骑自行车每分钟行200米，经过几分钟两人相遇？
4、码头货物场有100吨煤需要运走。
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