第4章 单位根检验讲稿.docx
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第4章单位根检验讲稿
第4章单位根检验
4.1DF分布
由于虚假回归问题的存在，在回归模型中应避免直接使用非平稳变量。
因此检验变量的平稳性是一个必须解决的问题。
在第二章中介绍用相关图判断时间序列的平稳性。
这一章则给出严格的统计检验方法，即单位根检验。
1）单位根检验模型
在介绍检验方法之前，先讨论所用统计量的分布。
给出三个简单的自回归数据生成过程（d.g.p.），
yt=yt-1+ut,y0=0,utIID（0,2）（4.1）
yt=+yt-1+ut,y0=0,utIID（0,2）（4.2）
yt=+t+yt-1+ut,y0=0,utIID（0,2）（4.3）
其中称作位移项（漂移项），t称为趋势项。
显然，对于以上三个模型，当<1时，yt是平稳的，当=1时，yt是非平稳的。
2）检验统计量的分布
（1）以模型（4.1）为例，若=0，统计量，
（4.4）
的极限分布为标准正态分布。
（2）若<1，统计量，
（4.5）
渐进服从标准正态分布。
根据中心极限定理，当T时，
N（0,2（1-2））（4.6）
（3）那么在=1条件下，统计量
服从什么分布呢？
当=1时，变量非平稳，上述极限分布发生退化（方差为零）。
首先观察=1条件下，数据生成系统（4.1），（4.2）和（4.3）的变化情况。
①=1条件下的（4.1）式是随机游走过程。
由yt=yt-1+ut生成的序列深圳股票综合指数（file:
stock）
②=1条件下的（4.2）式是含有随机趋势项的过程。
将（4.2）式作如下变换则展示的更清楚。
yt=+yt-1+ut=+（+yt-2+ut-1）+ut=…
=y0+t+
=t+
（4.7）
这是一个趋势项和一个随机游走过程之和。
所以称作随机趋势过程，见图4.2，虽然总趋势向上，但漂移项上下漂动。
因为对yt作一次差分后，序列就平稳了。
yt=yt-yt-1=+ut（平稳）
所以也称yt为差分平稳过程。
图4.2a由yt=0.1+yt-1+ut生成的序列
图4.2b由yt=-0.1+yt-1+ut生成的序列（file:
simu2）
③=1条件下的（4.3）是含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程。
将（4.3）式作如下变换
yt=+t+yt-1+ut=+t+（+（t-1）+yt-2+ut-1）+ut=…=y0+t+t2-（1+2+…+t）+
=y0+t+t2-
（1+t）t+
=（-
）t+
t2+
（设定y0=0）
含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程实际上是随机游走加上一个时间t的2次方过程。
这种过程在经济问题中非常少见。
图4.4给出的是含有随机趋势和确定性趋势的混合随机过程。
图4.4yt=0.1+0.1t+yt-1+ut生成的序列（file:
simu2）
④=1条件下用于检验单位根的统计量不再是正态分布或渐进服从标准正态分布，而是DF统计量。
DF统计量的表达式与通常意义的t统计量完全相同。
=
当T时，
DF=
同理，对于模型（4.2）和（4.3）的DF统计量的极限分布也是Wiener过程的函数。
由于这些极限分布无法用解析的方法求解，一般都是用模拟和数值计算的方法进行研究。
=-1时的DF的分布是=1时的DF分布的镜像，所以只研究=1条件下DF的分布即可。
对于经济问题，很少出现=-1的情形。
（4）DF统计量的分布图
蒙特卡罗模拟方法得到的DF统计量的分布见图4.11。
4.2百分位数表
Full（1976）用蒙特卡罗模拟方法得到DF统计量的百分位数表，分别见附表5和6。
以模型（4.2），=1为条件，取样本容量T=100，用蒙特卡罗方法模拟10000次得到的
，DF的分布分别见图4.11。
的分布是左偏的，峰值小于1。
DF分布近似于t分布，但整体向左大约移动了1.6个单位。
4.3单位根检验
１）以自回归模型为基础的检验
对于时间序列yt用如下自回归模型检验单位根。
yt=yt-1+ut,（4.24）
（１）零假设和备择假设分别是，
H0：
=1，（yt非平稳）
H1：
<1，（yt平稳）
（２）在零假设成立条件下，用DF统计量进行单位根检验。
DF=
=
（4.25）
其中
s（u）=
（4.26）
（３）给定显著性水平α，以附表6中a部分的相应百分位数作为临界值。
（４）检验
若用样本计算的
DF>临界值，则接受H0，yt非平稳；
DF<临界值，则拒绝H0，yt是平稳的。
注意
①因为用DF统计量作单位根检验，所以此检验称作DF检验（由Dickey-Fuller提出）。
②DF检验采用的是OLS估计。
③DF检验是左单端检验。
因为>1意味着强非平稳，<1意味着平稳。
当接受<1，拒绝=1时，自然也应拒绝>1。
④用模型（4.24）检验单位根，临界值应从附表6的a部分查找。
２）以差分模型为基础的检验
DF检验还可用另一种形式表达。
（4.24）式两侧同减yt-1，得
yt=（-1）yt-1+ut（4.27）
令=-1，代入上式，
yt=yt-1+ut（4.28）
与上述零假设和备择假设相对应，用于模型（4.27）的零假设和备择假设是
H0：
=0，（yt非平稳）
H1：
<0，（yt平稳）
这种变化并不影响DF统计量的值，所以检验规则仍然是
若DF>临界值，则yt是非平稳的；
若DF<临界值，则yt是平稳的。
这种检验方法是DF检验的常用方法。
（便于在计算机上实现）
注意
①（4.28）式中yt和yt-1的下标分别为t和t-1，计算时不要用错！
②当模型中含有位移项和趋势项t，
yt=+yt-1+ut（4.32）
yt=+t+yt-1+ut（4.33）
检验用临界值应分别从附表6的b,c部分中查找。
③（4.28）式的残差序列
不能存在自相关。
如存在自相关，说明yt不是一个AR
（1）过程，则不能使用DF检验。
④差分检验模型
yt=yt-1+ut,y0=0,utIID（0,2）
yt=+yt-1+ut,y0=0,utIID（0,2）
yt=+t+yt-1+ut,y0=0,utIID（0,2）
３）ADF检验（增项DF检验）
以上方法只适用于AR
（1）过程的单位根检验。
当时间序列为AR（p）形式，或者由以上形式检验得到的残差序列存在自相关时，应采用如下形式检验单位根。
yt=
yt-1+
yt-i+
（4.34）
因为上式中含有yt的滞后项，所以对于=0（yt非平稳）的检验称为增项DF检验或ADF检验。
注意
①（4.34）式中yt滞后项个数k的选择准则是
a.尽量小，以保持更大的自由度；
b.充分大以消除
内的自相关。
②在4.1节中已经证明，上式中检验单位根的统计量近似服从标准的DF分布，所以检验用临界值可以从附表6a部分中查找。
③当（4.34）式中含有位移项和趋势项t时，相应ADF检验用临界值应分别从附表6b,c部分中查找。
④因为实际经济时间序列一般不会是一个AR
（1）过程，所以最常用的单位根检验方法是ADF检验（增项DF检验）。
4）单位根检验的模型选择
实际中并不知道被检验序列的d.g.p.属于哪一种形式，（4.1）、（4.2）还是（4.3）式。
怎样选择单位根检验式呢？
一般方法是当被检验序列中存在趋势项时，则应该采用（4.3）式和（4.2）式。
如不存在趋势项时，则应该采用（4.1）式。
5）单整阶数的确定
在实际检验中，若H0不能被拒绝，说明yt是非平稳序列（起码为一阶非平稳序列）。
接下来应该继续检验yt的平稳性。
即
2yt=yt-1+ut,（4.31）
若yt平稳，yt是一阶单整的非平稳序列，若yt是非平稳序列，应将yt进行差分，检验2yt的平稳性。
检验模型
3yt=2yt-1+ut
直至结论为平稳为止。
从而获知yt为几阶单整序列。
4.4单位根检验举例：
例1（file:
b4c1）日本失业率时间序列是无趋势项、无漂移项的单位根过程。
例2（file:
japopu）日本人口序列是有趋势项、有漂移项的单位根过程。
yt=0.00925+0.00025t-0.0250yt-1+0.2098yt-1+ut（3.6）（3.1）（-2.6）（2.3）
DW=2.0,t=1,（1876年）,DF=-2.6>DF0.05=-3.44
2yt=0.00297-0.3923yt-1-0.38482yt-1-0.23642yt-2+ut
（3.1）（-3.6）（-3.5）（-2.6）
DW=2.0,t=1,（1876年）,DF=-3.6例3深圳股票综合指数序列是无趋势项、无漂移项的单位根过程。
深圳股票综合指数（file:
stock）
美国GDP序列（file:
consump）
例4美国GDP序列（file:
consump）是无趋势项、无漂移项的单位根过程。
怎样做单位根检验？
从工作文件（WorkFile）中打开序列数据（Series）窗口。
点击View键，选Unitroottest功能。
这时会打开一个对话框。
其中有四项选择。
（1）ADF检验还是PP检验（缺省状态是ADF检验）。
（2）检验对象是当前序列（Level），还是其一阶差分序列（1stdifference），二阶差分序列（2nddifference）？
缺省状态是当前序列。
（3）检验式中应包括的附加项。
有三种选择，“漂移项”（Intercept），“趋势项和漂移项”（TrendandIntercept），“无附加项”（None）。
缺省状态是加漂移项。
（4）检验式中滞后差分项的个数。
显示的数字随样本容量的不同而不同。
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