学大精品讲义五下数学含答案第7讲长方体与正方体体积拓展.docx
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学大精品讲义五下数学含答案第7讲长方体与正方体体积拓展
第七讲长方体与正方体体积拓展
课程目标
1.熟练掌握长方体和正方体的体积公式
2.掌握有关长方体和正方体切割，拼接后体积问题
3.掌握有关长方体和正方体浸水及等体积问题
课程重点
长方体和正方体切割，拼接，浸水等体积方面的实际运用
课程难点
理解有关长方体和正方体实际问题的解题思路
教学方法建议
1.根据实物了解有关长方体和正方体的实际问题
2.讲练结合
一．知识梳理
1.体积计算和因数与积的变化规律
长方体的体积计算和因数与积的变化规律：
长方体的长、宽、高都乘2，体积就乘23；长方体的棱长扩大n倍，体积则扩大n3倍．
正方体的体积计算和因数与积的变化规律：
正方体的长、宽、高都乘2，体积就乘23；正方体的棱长扩大n倍，体积则扩大n3倍．
2.锻造（熔铸）问题
把一个物体变形为另一种形状的物体或者把两个物体熔化后铸成一个物体，新物体的体积是原来物体体积的和
3.立体图形切割问题
对长方体切分成小长方体后体积是否变化的考查，不管怎么切分，总体积始终保持不变．
4.截取问题
长方体截取最大的正方体，截成后的最大正方体棱长是长方体最短边
5.摆放问题
每条棱长上最多能放的块数，首先求出长着一排放几个，宽着可以放几排，高着可以放几层，再借助长方体的体积公式进行计算即可解答．进而求出可以放的个数
6.浸水问题
把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积求不规则物体体积的方法，利用“排水法”，水上升部分的体积就是这块铜矿石的体积，根据长方体的体积公式：
v=sh，
7.切面求体积
把这根木料锯成3段，增加了4个底面，从而可以求出1个底面的面积，进而求出木料的体积．二、方法归纳
1.锻造（熔铸）问题
把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；解答上述问题，必须掌握这样几点：
（1）将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
（2）两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
2.等体积转换
由于后来两个水箱里的水面的高度一样，把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度
浸水问题把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积，求不规则物体体积的方法，利用“排水法”，水上升部分的体积就是这块铜矿石的体积，根据长方体的体积公式：
v=sh，
3.切面求体积
把这根木料锯成3段，增加了4个底面，从而可以求出1个底面的面积，进而求出木料的体积．
4.摆放问题
每条棱长上最多能放的块数，首先求出长着一排放几个，宽着可以放几排，高着可以放几层，再借助长方体的体积公式进行计算即可解答．进而求出可以放的个数
三、课堂精讲
例1把一个长方体分成几个小长方体后，体积（）
A．不变B．比原来大了C．比原来小了
【规律方法】大体积分成了若干个小体积，大体积等于若干个小体积之和；或者根据体积的概念来判断．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
1.将一个长方体切成两个小长方体，它的体积（）
A．不变B．变大C．变小
例2棱长总和相等的长方体和正方体，体积相比（）
A．正方体体积大B．长方体体积大C．相等
【规律方法】此题可以举例说明，例如，设长方体的长为3分米、宽为2分米、高为1分米，这时长方体棱长总和为24分米，体积为3×2×1=6（立方分米），正方体棱长为24÷12=2（分米），体积为2×2×2=8（立方分米），据此解答即可．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已知长方体的长宽高分别是6厘米、5厘米、4厘米，那么正方体的体积（）长方体的体积．
A．大于B．小于C．等于D．计算不了
例3一个长方体的长宽高分别是a米、b米、h米，如果高增加2米后，新的长方体体积比原来增加（）立方米．
A．2abB．2abhC．ah（h+2）
【规律方法】根据题意，长方体的长、宽不变，高增加2米，求体积比原来增加多少立方米，也就是求长是a米，宽是b米，高是2米的长方体的体积，根据长方体体积公式：
v=abh，由此解答．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
一个长方体的长、宽、高分别是a米，b米和h米，如果高增加4米，体积增加（）立方米．
A．4bhB．4abhC．4abD．ab（h+4）
例4一个长方体的长、宽、高都乘2，体积就乘（）
A．2B．4C．6D．8
【规律方法】根据因数与积的变化规律和长方体的体积公式，长方体的棱长扩大n倍，体积则扩大n3倍
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
一个立方体的棱长扩大3倍，它的体积就扩大（）
A．3倍B．6倍C．27倍D．9倍
例5一个长方体的长、宽、高分别是11厘米、6厘米、4厘米，在这个长方体上截取一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？
【规律方法】将一个长11厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体截成一个最大的正方体，这个正方体的棱长
就是4厘米，根据正方体的体积公式：
V=a3，把数据代入解答即可．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
5.把一个长10厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体木块削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？
例6.一个长方体木箱，从里面量得长6分米，宽4分米，高5分米．如果在木箱里放棱长2分米的正方体木块，最多放多少块？
【规律方法】求出长着一排放几个，宽着可以放几排，高着可以放几层，进而求出可以放的个数，再借助长方体的体积公式进行计算即可解答．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
6.在一个长、宽、高分别是8厘米、6厘米、5厘米的长方体纸盒中，最多能摆放多少个棱长是2厘米的正方体木块？
例7.一个长2米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加2.4平方分米，这根钢材原来的体积是多少立方分米？
【规律方法】由题意可知：
把这根木料锯成3段，增加了4个底面，再据“表面积增加2.4平方厘米”即可求出这根木料的底面积，从而利用体积公式即可求出木料的体积．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
把一根长60厘米的长方体木料沿长平均锯成3段后，表面积增加了60平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
例8现有一张长80厘米，宽40厘米的长方形铁皮，请你用它做成一个深10厘米的无盖的长方体铁盒（焊接处及铁皮的厚度不计）．那么这个铁盒的容积最大是多少升？
【规律方法】根据题意，把左侧割下的两个正方形，焊接到右侧，折成的长方体铁盒的长、宽、高分别为
（80-10）厘米、（40-10×2）厘米、10厘米，根据长方体的体积=长×宽×高，将数据代入公式即可求出这个容器的容积．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】C
8.用一张长40厘米，宽20厘米的长方体铁皮，做一个深5厘米的长方形无盖铁皮盒（焊接处与铁皮厚度不计），这个长方体铁皮盒的容积最大可能是多少？
例9.一个长方体容器，底面长2dm，宽1.5dm，放入一个苹果后水面升高了0.2dm，这个苹果的体积是多少立方分米？
【规律方法】根据题意知上升的水的体积就是这个苹果的体积，水的体积是长2分米，宽1.5分米和高是
0.2分米的长方体的体积．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
9.在一个棱长2分米的容器里装有一半的水，把一块铜矿石完全放入水中，水面上升了5厘米，铜矿的体积是多少？
例10.一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是多少立方厘米？
【规律方法】由题意可知：
高增加2厘米，就变成一个正方体．说明长方体的底面是正方形且高比底面边
长少2厘米，这时表面积比原来增加56平方厘米．表面积增加的部分是高为2厘米的4个侧面的面积，由此可以求出一个侧面的面积，进而求出原来长方体的底面边长，再根据长方体的体积公式：
v=abh，把数据代入公式解答．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
10.一个长方体，如果高减少5厘米，就成了一个正方体，这时表面积少了120平方厘米．原长方体的体积是多少平方厘米？
例11有一个密闭的油箱，它的长、宽、高分别是8分米、3分米、6分米、先长和宽为底横放在箱里装油深2分米，如果把这个油箱高和宽为底立起来，则油深多少分米？
【规律方法】先根据油箱横放图，求出油的体积，容器中油的形状发生变化，体积不变，所以用油的体积除以油箱竖放图中容器的底面积，即可得出油面的高度．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
一个长是3分米，宽是2分米，体积是25.2立方分米的长方体木料，（）完全放入一个长是3.1分米，
宽是2.1分米，高是4分米的长方体纸箱内（纸箱厚度忽略不计）．
A．能B．不能C．不一定能D．条件不足，无法确定
例12.甲、乙两个长方体水箱．甲水箱的长为4分米，宽为3分米，高为2分米，里面没有装水．乙水
箱的长为3分米，宽为2分米，箱中盛有3分米深的水．现把乙水箱中的水向甲水箱中倒一部分，使两个水箱中的水的深度相同，这个相同的深度是多少？
【规律方法】设这个相同的深度为h，由题意可得：
甲水箱倒入的水的体积=乙水箱减少的水的体积，据此即可列方程求解．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】C
长方体玻璃容器，从里面量得长、宽、高分别是5、3、8分米．向这个容器中注水，当容器中的水所形成的长方体第二次出现相对的面是正方形时，水的体积是多少立方分米？
例13将一个棱长10cm的正方体钢坯造成长方体（不计损耗），得到的长方体和原来的正方体相比较，结果是（）
A.体积和表面积都相等B．体积不相等，表面积相等C．表面积不相等，体积相等D．无法确定
【规律方法】根据体积、表面积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积．围成立体图形所有面的总面积叫做它的表面积．由题意可知：
把正方体钢坯锻造成长方体，只是形状变了，但体积不变，据此解答．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
13.将一块长方体铁块锻造成正方体，则长方体和正方体的（）
A.表面积相等，体积不等B．体积相等，表面积不等C．体积和表面积都不相等D．无法判断
例14将一个6个面都涂上红色的棱长5厘米的正方体切成棱长为1厘米的小正方体，可以切成块，
其中仅有1面涂红色的有块．
【规律方法】根据正方体的特征，正方体有12条棱，6个面，8个顶点，再求出正方体的体积，即可得出可以切的块数，一面涂色的在每个面的中间．三面涂色的在顶点处、两面涂色在每条棱的中间，一面涂色的在每个面的中间，据此解答．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】C
14.一个大正方体有若干个棱长1厘米的小正方形体组成，在大正方体的表面涂色，其中只有一个涂色的小
正方体有24个．这个大正方体的体积是多少立方厘米？
表面积是多少平方厘米？
例15一块长10分米、宽8分米的长方形铁皮，在四个角上各剪去一个边长2分米的小正方形后，焊接成无盖的长方体容器，求容器的容积．
【规律方法】如图所示，折成的长方体容器的长、宽、高分别为（10-2×2）分米、（8-2×2）分米、2分米，又因长方体的体积=长×宽×高，将数据代入公式即可求出这个容器的容积．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
15.一个边长30厘米的正方形纸片，从它的4个角上剪去4个同样大小的小正方形（小正方形的边长是整厘米数），将剩下的部分折成一个无盖的长方体纸盒，这个纸盒的最大容积是多少？
例16有两个水池，甲水池长8米，宽6米，水深3米，乙水池空着，它长、宽高都是4米．现将从甲水池中抽出一部分水到乙水池，使两水池的水面同样高．求水面的高度．
【规律方法】根据题意，可知甲水池中水的总体积是8×6×3=144立方米，“现将从甲水池中抽出一部分水到乙水池，使两水池的水面同样高”，可知后来甲水池中水的体积加上乙水池中水的体积等于原来甲水池中水的体积，进而设两个池中水面的高度为x米，列方程解答比较简单．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】C
16.一个长方体空容器A，长45厘米、宽40厘米、高35厘米．一个长40厘米、宽30厘米、水深为45厘米的容器B，将容器B的水倒一部分给A，使两容器中的水深相等，这时容器A中的水深为几厘米？
四、讲练结合题
1.下列说法正确的有
A.一个正方体和一个圆锥体的底面积、高都相等，正方体体积是圆锥体积的3倍
B.等底等高的圆锥体就是圆柱体积的三倍C．圆锥的高只有一条
D．长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都可以用“底面积×高”计算
2.长方体的棱长总和=；正方体的棱长总和=；长方体的体积=，用字母表示
是；正方体的体积=，用字母表示是；长方体（或正方体）的体积=，用字母表示是．
3.
计算下列长方体或正方体的体积？
4.分别求出下面长方体、正方体的表面积和体积．
5.你知道它的体积吗？
小明要想知道一块不规则石头的体积，他想：
这块石头既不是长方体、正方体，也不是圆柱、圆锥，怎样知道它的体积呢？
小芳帮小明拿来了一个圆柱盒，一把直尺和一些水，两人做起了实验．
你知道怎么做的吗？
6.一个长方体木块，从上部和下部分别截去3厘米和2厘米长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了
80平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米和正方体的体积分别是多少？
7.一个长方体木块的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米．如果用它锯成一个最大的正方体，体积要比原来减少百分之几？
8.
如图是由8个棱长为1cm的小正方体摆成，增加小正方体继续摆，如果摆成一个长方体，新摆成的长方体体积至少是多少？
如果摆成正方体，正方体体积至少是多少？
9.有三个玻璃容器，第一个是圆柱体，底面积30平方厘米，水深10厘米；第二个是长方体，底面积20平方厘米，水深3厘米；第三个是正方体，边长是5厘米，无水．圆柱体与长方体容器间有A阀门，长方体与正方体容器间有B阀门，
（1）只打开A阀门，待水停止流动时，问长方体容器水深是多少？
（2）A，B阀门同时打开，待水停止流动时，问正方体容器水深是多少？
注：
这道题有图，A．B阀门在容器的最下面．
10.填表，并说说你发现的规律．
长方体
长/cm
宽/cm
高/cm
表面积/cm2
体积/cm3
3
2
1
6
4
2
9
6
3
正方体
棱长/cm
1
2
3
规律：
当一个长方体或正方体的各棱长度都变为原来的x倍时，它的表面积就变为原来的倍，体积就变为原来的倍．
五、课后自测练习
1.
小华放学回家，看见桌上放着两个金鱼缸，小华爸爸在留言条上写着：
“小华回家后，请将A鱼缸中的水倒入B鱼缸，直到两个鱼缸中的水深一样为止．”请将小华计算一下，这两个鱼缸的水深多少厘米？
2.
如图，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由底面是边长分别为2cm和6cm的两个长方体组成的简单几何体．两种放置方式液体的高度不同，则这个简单几何体
的总高度是多少？
3.把长24厘米，宽18厘米的长方形硬纸板，从四个角各剪去一个一个边长3厘米的正方形后做成纸盒．这个纸盒的容积是多少立方厘米？
4.一个长方体，前面和上面的面积和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。
这个长方体的体积和表面积各是多少？
5.
把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如图那样的组合形体，求这个组合形体的表面积．
6.
有一个棱长为4厘米的正方体橡皮泥.
（1）求这个正方体橡皮泥的表面积;
（2）在正方体橡皮泥上面正中向下挖一个棱长为2厘米的正方体小洞,接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞,最终剩下的橡皮泥如右图所示.若橡皮泥每立方厘米约重4克,则最终剩下的橡皮泥约
有多少克?
（3）求第二问中最终剩下的橡皮泥的表面积.
7.有一个正方体,棱长是10cm,从中间挖去一个长方体（长5cm,宽4cm,高3cm）,剩下的物体的表面积是多少?
8.
一个正方体的表面涂满了红色,然后如图切开,切开的小正方体中:
（1）三个面涂有红色的有几个?
（2）二个面涂有红色的有几个?
（3）一个面涂有红色的有几个?
（4）六个面都没有涂色的有几个?
9.
计算如图的表面积.（单位:
cm）
10.个长方体的底面是一个周长是20厘米的正方形，如果把高增加4厘米，就变成正方体，原来长方体的表面积是多少平方厘米？
第七讲长方体与正方体体积拓展【答案】
例1解：
把一个长方体分成几个小长方体后，体积不变．故选：
A．
【搭配课堂训练题】
1.解：
将一个长方体切成两个小长方体，它的体积不变．故选：
A．
例2.解：
设长方体的长为3分米、宽为2分米、高为1分米，这时长方体棱长总和为24分米，体积为3×2×1=6
（立方分米），
正方体棱长为24÷12=2（分米），体积为2×2×2=8（立方分米），因为8＞6，
故两个棱长总和相等的长方体和正方体，正方体的体积大．故选：
A
【搭配课堂训练题】
2.A
例3解：
根据长方体的体积公式，增加的体积是2ab立方米．答：
体积比原来增加2ab立方米．
故选：
A．
【搭配课堂训练题】
3.解：
增加的体积是：
4×a×b=4ab（立方米）．故选：
C．例4解：
v=abh；a、b、h都扩大2倍；
v=2a×2b×2h；v=8abh；
所以体积就扩大8倍；故选D．
【搭配课堂训练题】
4.解：
设原来的正方体的棱长是a，则体积为：
a3；后来正方体的棱长是3a，则体积为：
（3a）3=27a3；体积扩大：
27a3÷a3=27（倍）；故选：
C．
例5解：
4×4×4
=16×4
=64（立方厘米）
答：
这个正方体的体积是64立方厘米．故选：
C．
【搭配课堂训练题】
5.解：
6×6×6=216（立方厘米），
答：
这个正方体的体积是216立方厘米．故选：
A．
例6解：
以长为边最多放：
6÷2=3（块），以宽为边最多放：
4÷2=2（块），
以高为边最多放：
5÷2=2（块）…1（分米），所以：
3×2×2=12（块）；
答：
最多能放12块．故选：
B．
【搭配课堂训练题】
6.解：
8÷2=4（个），
6÷2=3（个），
5÷2=2（个）…1厘米，
4×3×2=24（个），
答：
最多能放24个棱长2厘米的正方体．故选：
B．
例7解：
2米=20分米，
2.4÷4×20，
=0.6×20，
=12（立方分米）；
答：
这根木料原来的体积是12立方分米．故选：
C．
【搭配课堂训练题】
7.解：
60÷4×60，
=15×60，
=900（立方分米）；
答：
这根木料原来的体积是900立方分米．故选：
C．
例8解：
容积：
（80-10）×（40-10×2）×10
=70×20×10
=14000（立方厘米）
14000立方厘米=14升
答：
这个长方体铁盒的容积最大是14升．故选：
B．
【搭配课堂训练题】
8.解：
如图，可有如下三种情况比较后可知：
（1）（40-5×2）×（20-5×2）×5，
=30×10×5，
=300×5，
=1500（立方厘米）；
（2）（40-5）×（5×2）×5，
=35×10×5，
=350×5，
=1750（立方厘米）；
（3）（40-10-10）×20×5，
=20×20×5，
=400×5，
=2000（立方厘米）；最后一个容积最大．
答：
做出铁皮盒容积最大是2000立方厘米．
例9.解：
2×1.5×0.2=0.6（立方分米）答：
这个苹果的体积是0.6立方分米．故选：
C．
【搭配课堂训练题】
9.解：
2分米=20厘米，
20×20×5=2000（立方厘米），
答：
铜矿石的体积是2000立方厘米．故选：
C．
例10解：
底面边长：
56÷4÷2
=14÷2
=7（厘米）
高：
7-2=5（厘米）
7×7×5=245（立方厘米）
答：
原来长方体的体积是245立方厘米．故选：
B．
【搭配课堂训练题】
10.解：
原来长方体的底面边长是：
120÷4÷5，
=30÷5，
=6（厘米），
高是：
6+5=11（厘米），原来长方体的体积是：
6×6×11=396（立方厘米）．
答：
原来长方体的体积是396立方厘米．
例11解：
（8×3×2）÷（6×3）
=48÷18
8
=
3
（分米）；
8
答：
把这个油箱立起来油深
3
【搭配课堂训练题】
分米．
11.解：
由题意知道，长方体纸箱的长和宽都大于长方体木料的长和宽，只要求出木料的高，如果小于纸箱的高，就能完全放入，如果大于则不能
25.2÷（3×2），
=25.2÷6，
=4.2（分米），
4.2分米＞4分米，
答：
长方体木料不能完全放入纸箱内．故选B．
例12.解：
设这个相同的深度为h，4×3×h=3×2×（3-h），
12h=18-6h，
18h=18，
h=1；
答：
这个相同的深度是1分米．故选：
B．
【搭配课堂训练题】
12.解：
5×5×3=75（立方分米）．
答：
水的体积是75立方分米．故选：
A．
例13解：
把正方体钢坯锻造成长方体，只是形状变了，但体积不变，所以它们的表面积不相等，体积相等．故选：
C．
【搭配课堂训练题】
13.解：
把长方体一个铁块铸造成正方体，只是形状改变了，也就是它的表面积变了，但是体积没有变．所以它的表面积变了，体积不变．故选：
B．
例14解：
5×5×5=125（立方厘米）；
每个面的中间有9块涂一个面，9×6=54（块）；
答：
可以切成125块，1面涂色的有54块．故答案为：
125，54．
【搭配课堂训练题】
14.解：
由分析可知：
在棱上的小正方体要涂两个面，在顶点处的小正方体要涂三个面，涂一个面的在每个的中间，即24÷6=4（个），由此可知大正方体的棱长是4厘米．
4×4×4=64（立方厘米）
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