高二数学 上学期简单的线性规划例题四.docx

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高二数学上学期简单的线性规划例题四

高二数学上学期简单的线性规划例题（四）

［例1］某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少（精确到吨），能使利润总额最大?

分析：

将已知数据列成下表：

产品

甲种棉纱

（1吨）

乙种棉纱

（1吨）

资源限额

（吨）

一级子棉（吨）

2

1

300

二级子棉（吨）

1

2

250

利润（元）

600

900

解：

设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么

z=600x+900y.

作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域.

作直线l：

600x+900y=0，即直线l：

2x+3y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值.解方程组

得M的坐标为x=

≈117，y=

≈67.

答：

应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大.

［例2］要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：

规格类型

钢管类型

A规格

B规格

C规格

甲种钢管

2

1

4

乙种钢管

2

3

1

今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少.

解：

设需截甲种钢管x根，乙种钢管y根，则

作出可行域（如图）：

目标函数为z=x+y,作出一组平行直线x+y=t中（t为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线4x+y=18和直线x+3y=16的交点A（

），直线方程为x+y=

.由于

和

都不是整数，所以可行域内的点（

）不是最优解.

经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8,经过的整点是B（4，4），它是最优解.

答：

要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根.

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