相遇与追及问题初步.docx
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相遇与追及问题初步
相遇与追及问题初步
学科培优数学
“相遇与追及问题初步”
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知识定位
在今天这节课中，我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题的好习惯！
在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题.
知识梳理
一、相遇
甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么
相遇路程=甲走的路程+乙走的路程
=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间
=速度和×相遇时间.
一般地，相遇问题的关系式为：
速度和×相遇时间=路程和，即
二、追及
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：
追及路程=甲走的路程-乙走的路程
=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间
=（甲的速度-乙的速度）×追及时间
=速度差×追及时间.
一般地，追击问题有这样的数量关系：
追及路程=速度差×追及时间，即
【重点难点解析】
1．直线上的相遇与追及
2．环线上的相遇与追及
【竞赛考点挖掘】
1.多人多次相遇与追及
例题精讲
【试题来源】
【题目】一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。
3.5小时两车相遇。
甲、乙两个城市的路程是多少千米？
【答案】329（千米）．
【解析】（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。
甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？
【答案】45×3=135（千米）。
40×3=120（千米）
【解析】255÷（45+40）=255÷85=3（小时）。
45×3=135（千米）。
40×3=120（千米）。
．
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？
【答案】5（分钟）
【解析】[3300-（82+83）×15]÷（82+83）
=[3300-165×15]÷165
=[3300-2475]÷165
=825÷165
=5（分钟）
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：
乙经过多长时间能追上甲？
【答案】2（小时）．
【解析】出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.
10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时）．
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?
．
【答案】550（千米）
【解析】两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）．
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰?
【答案】20分钟
【解析】“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.即（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），所以，经过20分钟可开炮射击“敌”舰．
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少？
【答案】10（米/秒）
【解析】小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为20÷5=4（米/秒）；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4×6=24（米），也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度.综合列式计算如下：
小蓝的速度为：
20÷5×6÷4=6（米/秒），小红的速度为：
6+4=10（米/秒）
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】小明步行上学，每分钟行70米.离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明？
【答案】4（分钟）
【解析】爸爸要追及的路程：
70×12=840（米）,爸爸与小明的速度差：
280-70=210（米/分）,爸爸追及的时间：
840÷210=4（分钟）．
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
【答案】8点32分。
【解析】
画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.
少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.
8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。
两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。
求A，B两地的距离。
【答案】200千米
【解析】相遇后甲行驶了40×3=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇时间是120÷60=2小时，则两地相距（40+60）×2=200千米．
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。
若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。
小红和小强的家相距多远?
【答案】2196（米）．
【解析】因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少走4分。
由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）×18=2196（米）．
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米．问：
甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A地?
【答案】1时48分．
【解析】由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程．相遇后又行3时，剩下的路程之和10＋80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程．所以A，B两地的距离是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。
因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米），所以甲车每时比乙车多行70÷7＝10（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行50千米，乙车行40千米．行一个单程，乙车比甲车多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（时）＝1时48分．
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离.
【答案】
【解析】先画图如下：
.
若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：
（26-6）=20（分）。
同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B间的距离。
50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分）
（80+50）×6＝130×6=780（米）
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离？
【答案】18（千米）.
【解析】画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？
）
离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米
小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2÷（5-4）＝2（小时）.
因此，甲、乙两地的距离是（5＋4）×2＝18（千米）.
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离？
【答案】260（千米）．
【解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：
95×3-25=285-25=260（千米）．
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
习题演练
【试题来源】
【题目】甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：
二人几小时后相遇？
【答案】3小时
【解析】3小时
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?
【答案】520米
【解析】520米
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】小新和正南二人同时从学校和家出发，相向而行，小新骑车他的三轮车每分钟行１00米，５分钟后小新已超过中点５０米，这时二人还相距３０米，正南每分钟行多少米？
【答案】74米/分
【解析】74米/分
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到
C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。
【答案】先追甲120分钟，先追乙90分钟
【解析】先追甲120分钟，先追乙90分钟
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每
分钟行60米，问两人在距两地中点多远处相遇？
【答案】50米
【解析】50米
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的A地出发向东西两镇反向而行，它们分别到
达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，
相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？
【答案】780千米
【解析】780千米
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】小新和阿呆各骑一辆自行车从相距32千米的两个地方沿直线相向而行，在他们同时出发的那一瞬间，一辆自行车把上的一只小鸟开始向另一辆自行车径直飞去，它一到达另一辆自行车的车把，就立即转向往回飞行，这只小鸟如此在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到小新和阿呆相遇为止.如果小新每小时行驶17千米，阿呆每小时行驶15千米，小鸟每小时飞行24千米，那么小鸟总共飞行了多少千米？
【答案】24千米
【解析】24千米
【知识点】相遇与追及问题初步
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】5
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