气体的等温变化玻意耳定律典型例题.docx
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气体的等温变化玻意耳定律典型例题
气体的等温变化玻意耳定律典型例题
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气体的等温变化、玻意耳定律典型例题
【例1】一个气泡从水底升到水面时，它的体积增大为原来的3倍，设水的密度为P=1X103kg/m3,大气压强po=1.01X105Pa,水底与水面的温度差不计,求水的深度。
取g=10s2。
【分析】气泡在水底时，泡内气体的压强等于水面上大气压与水的
静压强之和。
气泡升到水面上时，泡内气体的压强减小为与大气压相
等，因此其体积增大。
由于水底与水面温度相同，泡内气体经历的是-个等温变化过程，故可用玻意耳定律计算。
【解答】设气泡在水底时的体积为V1压强为:
pi=po+pgh
气泡升到水面时的体积为V2,则V2=3V1,压强为p2=po
由玻意耳定律p】V仁p2V2,即
（po+pgh）Vl=p。
・3Vi
得水深
m-202m
【例2】如图1所示,圆柱形气缸活塞的横截面积为S,下表面与水平面的夹角为a,重量为G。
当大气压为po,为了使活塞下方密闭气体的体积减速为原来的1/2,必须在活塞上放置重量为多少的一个重物（气缸壁与活塞间的摩擦不计）
【误解】活塞下方气体原来的压强
ccsa
GtosCL
设所加重物重为G',则活塞下方气体的压强变为
气体体积减为原的1/2,则p2=2p
同理,加上重物G后，活塞下方的气体压强变为
G+G^
P2二PoH~
气体作等温变化，根据玻意耳定律：
得p2=2pi
G'=p）S+G
【错因分析与解题指导】【误解】从压强角度解题本来也是可以的，
但
將活塞产生的压强算成G发生了错误，这个压强值应该是G/S.为避
cosa
免发生以上关于压强计算的错误，相似类型的题目从力的平衡入手解
题比较好。
在分析受力时必须注意由气体压强产生的气体压力应该垂
直于接触面，气体压强乘上接触面积即为气体压力，情况就如【正确解
答】所示。
【例3】一根两端开口、粗细均匀的细玻璃管，长L=30cm，竖直插入水银槽中深ho=10cm处，用手指按住上端，轻轻提出水银槽，并缓缓倒转,则此时管内封闭空气柱多长？
已知大气压Po=75cmHg
【分析】插入水银槽中按住上端后，管内封闭了一定质量气体，空气柱长L仁L-ho=20cm,压强p=po=75cmHg轻轻提出水银槽直立在空气中时，有一部分水银会流出，被封闭的空气柱长度和压强都会发生变化。
设管中水银柱长h，被封闭气体柱长为L2=L—h。
倒转后，水银柱长度仍为h不变,被圭寸闭气体柱长度和压强又发生了变化。
设被圭寸闭气体柱长L3
所以，管内封闭气体经历了三个状态。
由于“轻轻提出”、“缓缓
倒转”，意味着都可认为温度不变，因此可由玻意耳定律列式求解。
【解】根据上面的分析，画出示意图（图a、b、c）。
气体所经历的三个状态的状态参量如下表所示:
状态1
匡薩（cniHg）
杯积【cm3）
莎广L臣£上
V^=I^S=（30-fi）S
（C）
p3-75-Hi
由于整个过程中气体的温度不变，由玻意耳定律：
piVi=P2V2=p2
75X20S=（75-h）（30-h）S=（75+h）L3S
由前两式得:
h2-105h+750=0
取合理解h=7.7cm,代入得
75X201500
^=^7Fcm=75777cai=13'lcm
【说明】必须注意题中隐含的状态（b）,如果遗漏了这一点，将无法正确求解。
【例4】容器A的容积是10L，用一根带阀门的细管，与容器E相连。
开始时阀门关闭，A内充有10atm的空气，B是真空。
后打开阀门把A中空气放一些到B中去，当A内压强降到4atm时,把阀门关闭，这时B内压强是3atm。
求容器B的容积。
假设整个过程中温度不变。
【分析】对流入容器B的这部分空气，它后来的状态为压强p'E=3atm，体积VB（容器E的容积）。
为了找出这部分空气的初态，可设想让容器A中的空气作等温膨胀，它的压强从10atm降为4atm时逸出容器A的空气便是进入B内的空气，于是即可确定初态。
【解答】先以容器A中空气为研究对象，它们等温膨胀前后的状态
Va=10L，pA=10atm;
V'a=?
p/a=4atm。
由玻意耳定律
paVa=p'aV'a,得
如图1所示
再以逸出容器A的这些空气为研究对象，它作等温变化前后的状
态为：
p—p'a=4atm,V1=V'a-Va=15L
p/1=3atmVi=VB
同理由玻意耳定律p1V1=p/iVB,得
Pl4V.=-15L=20匚
BPi13
所以容器B的容积是20L
【说明】本题中研究对象的选取至关重要，可以有多种设想。
例如，
可先以后来充满容器A的气体为研究对象（见图2）假设它原来在容器A
中占的体积为Vx,这部分气体等温变化前后的状态为:
变化前：
压强Pa=10atm、体积Vx,
变化后：
压强p'a=4atm体积V'x=0=1OL。
由paVx=p'aV'x
DA4
得Vh-—VJx-—X10L-4LPaI。
由此可见，进入B中的气体原来在A内占的体积为VA-Vx=（10—4）
L=6L。
再以这部分气体为研究对象,它在等温变化前后的状态为：
变化前：
压强p=10atm,体积VI=6L,
变化后：
压强p2=3atm,体积V2=VB.
由玻意耳定律得容器E的容积为
V宜V!
-^X6L-20LPi
决定气体状态的参量有温度、体积、压强三个物理量，为了研究这三
者之间的联系，可以先保持其中一个量不变，研究另外两个量之间的关系,然后再综合起来。
这是一个重要的研究方法，关于气体性质的研究也正是按照这个思路进行的。
【例5】一容积为32L的氧气瓶充气后压强为130ON/cmi。
按规定当使用到压强降为100N/cm2时，就要重新充气。
某厂每天要用400L氧气（在1atm下），一瓶氧气能用多少天（1atm=10N/cmi）?
设使用过程中温度不变。
【分析】这里的研究对象是瓶中的氧气。
由于它原有的压强（1300N/cmi），使用后的压强（100N/cmi）、工厂应用时的压强（10N/cm2）都不同，为了确定使用的天数，可把瓶中原有氧气和后来的氧气都转化为1atm,然后根据每天的耗氧量即可算出天数。
【解】作出示意图如图1所示。
根据玻意耳定律，由
p1V仁p'1V'1,p2V2=p'2V'2
得
八
x
Va=-^-V2=—X32L=320L
32W
所以可用天数为：
-96
【说明】根据上面的解题思路，也可以作其他设想。
如使后来留在瓶中的氧气和工厂每天耗用的氧气都变成1300N/cm2的压强状态下,或使原来瓶中的氧气和工厂每天耗用的氧气都变成100N/cm2的压强状态下，统一了压强后，就可由使用前后的体积变化算出使用天数。
上面解出的结果,如果先用文字代入并注意到p'i=p'2=po,即得
piV1=p2V2+npoVO
这就是说,在等温变化过程中，当把一定质量的气体分成两部分（或几部分），变化前后pV值之和保持不变（图2）。
这个结果，实质上就是质量守恒在等温过程中的具体体现。
在气体的分装和混合等问题中很有用。
【例6】如图所示,容器A的容积为VA=1O0L,抽气机B的最大容积为VB=25L。
当活塞向上提时，阀门a打开，阀门b关闭；当活塞向下压时，阀门a关闭，阀门b打开。
若抽气机每分钟完成4次抽气动作，求抽气机工作多长时间,才能使容器A中气体的压强由70cmhg下降到7.5cmHg（设抽气过程中容器内气体的温度不变）？
【误解】设容器中气体等温膨胀至体积V2,压强由70cm吃下降
至V7.5cm^，根据
pAVA=pV2
70
（”一1）心00
麻助“-%%
25
7（次）
所需时间
34
—=85（min）
paVA=p（VA+VB）
第二次抽气后,压强为P2,则
同理,第三次抽气后,
抽气n次后，气体压强
代入数据得：
n=10（次）
所需时间匕t=-^=2-5Cmin）
【错因分析与解题指导】【误解】的原因是不了解抽气机的工作过
程，认为每次抽入抽气机的气体压强均为7.5cmH?
。
事实上,每次抽气过程中被抽气体体积都是VB,但压强是逐步减小的，只是最后一次抽气时,压强才降低至7.5cmHg。
因此,必须逐次对抽气过程列出玻意耳定律公式，再利用数学归纳法进行求解。
【例7】有开口向上竖直安放的玻璃管，管中在长h的水银柱下方封闭着一段长L的空气柱。
当玻璃管以加速度a向上作匀加速运动时，空气柱的长度将变为多少？
已知当天大气压为P。
，水银密度为p,重
力加速度为g。
【误解】空气柱原来的压强为
pi=p0+h
当玻璃管向上作匀加速动时
空气柱的压强为p2,对水银柱的加速
运动有
pS-poS-mg=ma
即p2=p0+p（g+a）h
考虑空气的状态变化有
piLS=p2L'S
卩D十PCg亠勾h
【正确解答】空气柱原来的压强为
pi=po+pgh
当玻璃管向上作匀加速运动时，空气柱的压强为p2，由水银柱加速
度运动得
p2S-poS-mg=ma
p2=po+p（g+a）h
气体作等温变化
pLS=p2L‘S
解得
【错因分析与解题指导】本题是动力学和气体状态变化结合的综
合题。
由于牛顿第二定律公式要求使用国际单位，所以压强的单位是“Pa”。
【误解】中p=po+h,由动力学方程解得p2=p°+p・（g+a）h,在压强的表示上，h和p（g+a）h显然不一致,前者以cmH®乍单位是错误的。
所以在解答此类习题时，要特别注意统一单位，高为h的水银柱的压强表达为p=pgh是解题中一个要点。
［例8］如图所示，内径均匀的U型玻璃管竖直放置，截面积为5cm,管右侧上端封闭，左侧上端开口，内有用细线栓住的活塞。
两管中分别封入L=11cm的空气柱A和E,活塞上、下气体压强相等为76cm水银柱产生的压强,这时两管内的水银面的高度差h=6cm现将活塞用细线缓慢地向上拉，使两管内水银面相平。
求
（1）活塞向上移动的距离是多少？
（2）需用多大拉力才能使活塞静止在这个位置上?
［分析］两部分气体是靠压强来联系
初态：
耒态2
Pa,-h=PB,
U型玻璃管要注意水银面的变化，一端若下降xcm另一端必上升xcm两液面高度差为2xcm由此可知,两液面相平,E液面下降h12,A管液面上升h/2在此基础上考虑活塞移动的距离
［解答］
（1）对于B段气体
pBi=76-6=70（cmHgpB2=p
Vbi=11S（cm3）VB2=（11+3）S（cmu）
根据玻意耳定律PBlVB1=PB2VB2
70X11S
Pfil"PA2~'
-14S・无5晦
对于A段气体
Pai=76（cmHg）pA2=pB=55（cm电）
/3
VAi=11s（cm3）VA2=LS（cm）
根据玻意耳定律PaNa=Pa2VA2
Pq55
L'=152（cin）
对于活塞的移动距离
h'=L'+3-L
=15.2+3-11
=7.2（cm）
（2）对于活塞平衡，可知
F+pA2S=P0S
［说明］U型管粗细相同时，一侧水银面下降hem,另一侧水银面
就要上升hem,两部分液面高度差变化于2hem若管子粗细不同,应
该从体积的变化来考虑，就用几何关系解决物理问题是常用的方法。
［例9］如图所示,在水平放置的容器中，有一静止的活塞把容器分隔成左、右两部分，左侧的容积是1.5L,存有空气；右侧的容积是3L,存有氧气，大气压强是76cmHg先打开阀门K，当与容器中空气相连的U形压强计中左、右水银面的高度差减为19cm时，关闭阀K。
求
后来氧气的质量与原来氧气的质量之比（系统的温度不变，压强计的容积以及摩擦不计）。
［分析］对于密圭寸的一定质量空气
初态
耒态
巧=?
6+38（c
F严时谜氓）
VI5L
V；=?
把原来容器中的氧气做为研究对象
初态
末杰
p2=76+38（c
=76+19（cmH£）
Va=3L
V；=7
容器外（放走的）氧气体积厶V
△V=（Vi'+V2'）-（Vi+V2）
在后来状态下，氧气密度相同
.m闿_yv）.
V.-AV
PVS
V2
［解答］对于空气（温度不变）
Pi
对于氧气（温度不变）做为研究对象
.P2V2114X3
必计飞厂5⑴
容器外的氧气（假设仍处于末态）的体积
△V珂”；+殆-何+必》
=（18-b3.6）-（15^3）
=09（L）
后耒容器中氧气与原来氧气质量之比
m斟V；-△賀36-0.93
^7==36=4
［说明］:
理想气体的状态方程，是对一定量的气体而言，当它的状态发生变化时，状态参量之间的变化规律。
遵守气态方程。
而两部分
气体时，要各自分别应用状态方程。
再通过力学条件，找到这两部分气之间压强或体积的关系。
本题容器内的氧气是属于变质量问题，也可以把它假想成质量不变来处理。
状态1
状态2
气体单位体积的分子数相等，质量和体积成正比，可求得剩余质量（或放出的质量）与原质量之间的比例关系。
求物体的质量可以用m=pV某个状态时的密度和该状态时体积的乘积,而气态方程也可以写做密度形式
常用此式求某一状态时气体单位体积的分子数，然后再求气体的质量。
［例10］一横截面积为S的气缸水平放置，固定不动，气缸壁是导热的，两个活塞A和B将气缸分隔为1、2两气室,达到平衡时1、2两气室体积之比为3：
2，如图所示，在室温不变的条件下，缓慢推动活塞A，使之向右移动一段距离d,求活塞B向右移动的距离，不计活塞与气缸壁之间的摩擦。
［分析］气缸水平放置，不计活塞与气缸壁的摩擦，平衡时,两气室的压强必相等。
两气室各密圭寸一定量的气体，缓慢推动活塞，故温度保持不变，分别运用玻意耳定律解题。
［解］因气缸水平放置，又不计活塞的摩擦，故平衡时两气室内的压
强必相等，设初态时气室内压强为po,气室1、2的体积分别为V1和
V2;在活塞A向右移动d的过程中活塞B向右移动的距离为X；最后气
缸内压强为p,因温度不变，分别对气室1和2的气体运用玻意耳定律，得
气室1poV!
=p（Vi-Sd+Sx）①
气室2poV2=p（V2-Sx）②
由①、②两式解得
"仝L③
由题意护得
2—
x--d©
［说明］气体实验定律，是研究某一定质量的气体，状态发生变化时,前、后状态参量变化的规律。
切不可理解为两部分气体状态参量的关系。
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