广西来宾中考数学试题解析版.docx
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广西来宾中考数学试题解析版
广西来宾2011年中考数学试题
一．选择题：
本题共12小题，每小题3分，共36分．
1、（2011?
来宾）据国家统计局2011年4月28日
A、1.37×109B、1.37×109C、1.371×109D、1.371×108
考点：
科学记数法与有效数字。
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n
有效数字的计算方法是：
从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
解答：
解：
1370536875=1.370536875×109≈1.371×109．
故选：
C．
点评：
此题主要考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
2、（2011?
来宾）圆柱的侧面展开图形是（ ）
A、圆B、矩形C、梯形D、扇形
考点：
几何体的展开图。
专题：
几何图形问题。
分析：
根据立体图形的展开图是平面图形及圆柱的侧面特点，即可得出．
解答：
解：
∵圆柱的侧面展开图形是矩形；
故选B．
点评：
本题考查了矩形的侧面展开图，同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，熟记常见几何体的侧面展开图．
3、（2011?
来宾）使函数y=
有意义的自变量x的取值范围是（ ）
A、x≠﹣1B、x≠1C、x≠1且x≠0D、x≠﹣1且x≠0
考点：
函数自变量的取值范围。
专题：
计算题。
分析：
由于x+1是分母，由此得到x+1≠0，由此即可确定自变量x的取值范围．
解答：
解：
依题意得x+1≠0，
∴x≠﹣1．
故选A．
点评：
此题主要考查了确定函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4、（2011?
来宾）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是4和5，且O1O2=8，则这两个圆的位置关系是（ ）
A、外离B、外切C、相交D、内含
考点：
圆与圆的位置关系。
分析：
由⊙O1和⊙O2的半径分别是4和5，且O1O2=8，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：
解：
∵⊙O1和⊙O2的半径分别是4和5，且O1O2=8，
又∵5﹣4=1，4+5=9，1＜8＜9，
∴这两个圆的位置关系是相交．
故选C．
点评：
此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
5、（2011?
来宾）已知一个三角形的两边长分别是2和3，则下列数据中，可作为第三边的长的是（ ）
A、1B、3C、5D、7
考点：
三角形三边关系。
专题：
应用题。
分析：
首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
解答：
解：
设这个三角形的第三边为x．
根据三角形的三边关系定理，得：
3﹣2＜x＜3+2，
解得1＜x＜5．
故选B．
点评：
本题考查了三角形的三边关系定理．一定要注意构成三角形的条件：
两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．
6、（2011?
来宾）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则∠A的余弦值为（ ）
A、
B、
C、
D、
考点：
锐角三角函数的定义；勾股定理。
专题：
计算题。
分析：
先根据勾股定理，求出AC的值，然后再由余弦=邻边÷斜边计算即可．
解答：
解：
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴cosA=
=
．
故选C．
点评：
本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，牢记定义和定理是解题的关键．
7、（2011?
来宾）下列计算正确的是（ ）
A、（a+b）2=a2+b2B、（﹣2a）3=﹣6a3C、（a2b）3=a5b3D、（﹣a）7÷（﹣a）3=a4
考点：
同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式。
分析：
同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
解答：
解：
A项为完全平方公式，缺一次项，故本选项错误，
B项为幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项错误，
C项为幂的乘方，底数不变指数相乘，故本选项错误，
D项为同底数幂的除法，底数不变指数相减，故本选项正确，
故选择D．
点评：
本题主要考察同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方；完全平方公式，关键在于熟练运用以上运算法则．
8、（2011?
来宾）不等式组
的解集在数轴上可表示为（ ）
A、
B、
C、
D、
考点：
在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
专题：
计算题。
分析：
首先解出不等式组x的取值范围，然后根据x的取值范围，找出正确答案；
解答：
解：
不等式组
，
解得，﹣1≤x＜2．
故选B．
点评：
本题考查了不等式组的解法及在数轴上表示不等式的解集，把不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
9、（2011?
来宾）如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（ ）
A、六边形B、五边形C、四边形D、三角形
考点：
多边形内角与外角。
专题：
应用题。
分析：
任何多边形的外角和是360度，内角和等于外角和的一半则内角和是180度，可知此多边形为三角形．
解答：
解：
根据题意，得
（n﹣2）?
180°=180°，
解得：
n=3．
故选D．
点评：
本题主要考查了已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中．
10、（2011?
来宾）计算
﹣
的结果是（ ）
A、﹣
B、
C、
D、
考点：
分式的加减法。
分析：
首先通分，然后根据同分母的分式加减运算法则求解即可求得答案．
解答：
解：
﹣
=
=
=﹣
．
故选A．
点评：
此题考查了分式的加减运算法则．题目比较简单，注意解题需细心．
11、（2011?
来宾）在直角梯形ABCD中（如图所示），已知AB∥DC，∠DAB=90°，∠ABC=60°，EF为中位线，且BC=EF=4，那么AB=（ ）
A、3B、5C、6D、8
考点：
梯形中位线定理；含30度角的直角三角形。
专题：
计算题。
分析：
根据已知可求得两底之和的长及腰长等于上底，从而可得到下底的长等于上底长的2倍，从而不难求得梯形的下底长．
解答：
解：
作CG⊥AB于G点，
∵∠ABC=60°BC=EF=4，
∴BG=2，
设AB=x，则CD=x﹣2，
∵EF为中位线，
∴AB+CD=2EF，即x+x﹣2=8，解得x=5，
故选B．
点评：
此题综合运用了梯形的中位线定理、直角三角形的性质．在该图中，最关键的地方是正确的构造直角三角形．
12、（2011?
来宾）如图，在△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC=2，O为BC的中点，以O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分的面积（ ）
A、1﹣
B、
C、1﹣
D、2﹣
考点：
扇形面积的计算；等腰直角三角形；切线的性质。
专题：
计算题。
分析：
连OD，OE，根据切线的性质得到OD⊥AB，OE⊥AC，则四边形OEAD为正方形，而AB=AC=2，O为BC的中点，则OD=OE=1，再根据正方形的面积公式和扇形的面积公式，利用S阴影部分=S正方形OEAD﹣S扇形OED，进行计算即可．
解答：
解：
连OD，OE，如图，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
而∠A=90°，OE=OD，
∴四边形OEAD为正方形，
∵AB=AC=2，O为BC的中点，
∴OD=OE=1，
∴S阴影部分=S正方形OEAD﹣S扇形OED
=1﹣
=1﹣
．
故选A．
点评：
本题考查了扇形的面积公式：
S=
．也考查了切线的性质定理．
二、填空题．本题共6小题，每小题3分，共18分．
13、（2011?
来宾）﹣2011的相反数是 2011 ．
考点：
相反数。
分析：
根据只有符号不同的两个数互为相反数，改变符号即可．
解答：
解：
∵﹣2011的符号是负号，
∴﹣2011的相反数是2011．
故答案为：
2011．
点评：
本题考查了相反数的定义，是基础题，比较简单．
14、（2011?
来宾）在?
ABCD中，已知∠A=110°，则∠D= 70 °．
考点：
平行四边形的性质；平行线的性质。
专题：
计算题。
分析：
根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠A+∠D=180°，即可求出答案．
解答：
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=110°，
∴∠D=70°．
故答案为：
70．
点评：
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据性质推出∠A+∠D=180°是解此题的关键．
15、（2011?
来宾）分解因式：
1﹣x2= （1+x）（1﹣x） ．
考点：
因式分解-运用公式法。
专题：
因式分解。
分析：
分解因式1﹣x2中，可知是2项式，没有公因式，用平方差公式分解即可．
解答：
解：
1﹣x2=（1+x）（1﹣x）．
故答案为：
（1+x）（1﹣x）．
点评：
本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
16、（2011?
来宾）m千克浓度为a%的某溶液中溶剂的质量为 m（1﹣a%） 千克．
考点：
列代数式。
专题：
计算题。
分析：
此题要明确溶剂的质量等于溶液的质量减去溶质的质量，而溶质的质量等于溶液的质量乘以浓度，据此列代数式．
解答：
解：
根据题意得溶剂的质量为：
m﹣ma%=m（1﹣a%）（千克）
故答案为：
m（1﹣a%）．
点评：
此题考查的知识点是列代数式，解题的关键是要明确溶剂的质量等于溶液的质量乘以浓度．
17、（2011?
来宾）已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1?
x2= ﹣2 ．
考点：
根与系数的关系。
专题：
计算题。
分析：
根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：
设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣
，x1?
x2=
即可得到答案．
解答：
解：
∵一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1?
x2=
=﹣2．
故答案为﹣2．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：
设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣
，x1?
x2=
．
18、（2011?
来宾）某校八年级共240名学生参加某次数学测试，教师从中随机抽取了40名学生的成绩进行统计，共有12名学生成绩达到优秀等级，根据上述数据估算该校八年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有 72 人．
考点：
用样本估计总体。
分析：
随机抽取的40名学生的成绩是一个样本，可以用这个样本的优秀率去估计总体的优秀率，从而求得该校八年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数．
解答：
解：
随机抽取了40名学生的成绩进行统计，共有12名学生成绩达到优秀等级，
∴样本优秀率为：
12÷40=30%，
又∵某校八年级共240名学生参加某次数学测试，
∴该校八年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为：
240×30%=72人，
故答案为72．
点评：
本题考查了用样本估计总体是统计的基本思想．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
三、解答题．本大题共7小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（2011?
来宾）计算：
|﹣3|﹣
﹣（
）0+32．
考点：
实数的运算；零指数幂。
专题：
计算题。
分析：
根据零指数幂、二次根式化简、绝对值、乘方4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解答：
解：
原式=3﹣3﹣1+9
=8．
点评：
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌零指数幂、二次根式、绝对值、乘方等考点的运算
20、（2011?
来宾）小明对所在班级的“小书库”进行了分类统计，并制作了如下的统计图表：
根据上述信息，完成下列问题：
（1）图书总册数是 100 册，a= 14 册；
（2）请将条形统计图补充完整；
类别
语文
数学
英语
物理
化学
其他
数量（册）
22
20
18
a
12
14
频率
0.14
（3）数据22，20，18，a，12，14中的众数是 14 ，极差是 10 ；
（4）小明从这些书中任意拿一册来阅读，求他恰好拿到数学或英语书的概率．
考点：
条形统计图；众数；极差；概率公式。
专题：
数形结合。
分析：
（1）用其他类的册数除以频率即可求出总本数，再减去已知的本书即可求出a的值．
（2）根据上题求出的结果将统计图补充完整即可．
（3）根据众数与极差的概念直接解答即可．
（4）根据概率的求法，用数学与英语书的总本数除以总本数即可解答．
解答：
解：
（1）总本数=14÷0.14=100本，a=100﹣22﹣20﹣18=12﹣14=14本．
（2）如图
：
（3）数据22，20，18，a，12，14中a=14，所以众数是14，极差是22﹣12=10；
（4）（20+18）÷100=0.38，即恰好拿到数学或英语书的概率为0.38．
故答案为100，14，14，10．
点评：
本题考查的是条形统计图和统计表的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
21、（2011?
来宾）某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个．
（1）求第一次每个书包的进价是多少元？
（2）若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的书包全部按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于480元，问最低可打几折？
考点：
分式方程的应用；一元一次不等式的应用。
分析：
（1）设第一次每个书包的进价是x元，根据某商店第一次用300元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个可列方程求解．
（2）设最低可以打x折，根据若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的书包全部按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于480元，可列出不等式求解．
解答：
解：
（1）设第一次每个书包的进价是x元，
﹣20=
x=50
第一次书包的进价是50元．
（2）设最低可以打x折．
2400÷（50×1.2）=40
80×20+80x?
20﹣50×1.2×40≥480
x≥0.8
故最低打8折．
点评：
本题考查理解题意能力，第一问以数量做为等量关系列方程求解，第二问以利润做为不等量关系列不等式求解．
22、（2011?
来宾）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．
（1）用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD；
（2）证明：
△ABC∽△BDC．
考点：
相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图。
专题：
作图题；证明题。
分析：
（1）分别以A、B为圆心，大于
AB的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，即为AB的垂直平分线；
（2）由线段垂直平分线的性质，得DA=DB，则∠ABD=∠BAC=40°，从而求得∠CBD=40°，即可证出△ABC∽△BDC．
解答：
解：
（1）
（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∵∠ABC=80°，∠BAC=40°，
∴∠ABD=∠BAC=40°，
∴∠CBD=40°，
∴△ABC∽△BDC．
点评：
本题考查了相似三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质和作法，基本作图是难点．
23、（2011?
来宾）已知反比例函数y1=
的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围；
（3）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：
计算题。
分析：
（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y1=﹣
，再求出B的坐标是（1，﹣2），利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）在一次函数的解析式中，令x=0，得出对应的y2的值，即得出直线y2=﹣x﹣1与y轴交点C的坐标，从而求出△AOC的面积；
（3）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞1．
解答：
解：
（1）∵函数y1=
的图象过点A（﹣2，1），即1=
；（1分）
∴m=﹣2，即y1=﹣
，（2分）
又∵点B（a，﹣2）在y1=﹣
上，
∴a=1，∴B（1，﹣2）．（3分）
又∵一次函数y2=kx+b过A、B两点，
即
．（4分）
解之得
．
∴y2=﹣x﹣1．（5分）
（2）∵x=0，∴y2=﹣x﹣1=﹣1，
即y2=﹣x﹣1与y轴交点C（0，﹣1）．（6分）
设点A的横坐标为xA，
∴△AOC的面积S△OAC=
=
×1×2=1．（7分）
（3）要使y1＞y2，即函数y1的图象总在函数y2的图象上方．（8分）
∴﹣2＜x＜0，或x＞1．（10分）
点评：
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．以及三角形面积的求法，这里体现了数形结合的思想．
24、（2011?
来宾）已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点，
（1）如果动点E、F满足BE=CF（如图）：
①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；
②证明：
AE⊥BF；
（2）如果动点E、F满足BE=OF（如图），问当AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．
考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：
应用题。
分析：
（1）①根据正方形性质及BE=CF即可得出全等的三角形，②根据全等三角形及正方形的性质即可得出结论，
（2）根据正方形性质及已知条件得出△BEM∽△AEO，△BEM∽△BOF，再根据三角形相似的性质即可得出答案．
解答：
（1）解：
①△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，
②证明：
根据正方形的性质，
∵
，
∴∠BAE=∠CBF，
根据外角性质，∠AFB=∠BCF+∠CBF=45°+∠CBF，
又∵∠FAM=45°﹣∠BAE，
∴∠AMF=180°﹣（∠FAM+∠AFM）=180°﹣（45°+∠CBF+45°﹣∠BAE）=90°，
∴AE⊥BF；
（2）
AE⊥BF于点M，如图所示：
∵∠BME=∠AOE，∠BEM=∠AEO，
∴△BEM∽△AEO，
∴
=
=
，
即AO=
=
，
∵∠MBE=∠OBF，∠BME=∠BOF，
∴△BEM∽△BOF，
∴
=
=
，
即BO=
=
，
∵AO=BO，BE=OF，
∴BE=EO，
∴当AE⊥BF时，点E在BO中点．
点评：
本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定及性质，比较综合，难度较大．
25、（2011?
来宾）如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，∠OMA=60°，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求抛物线的函数关系式；
（3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得△BCD是等腰三角形？
若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题。
分析：
（1）由题意可直接得出点A、B的坐标为A（1，0），B（0，
）；
（2）再根据BC是切线，可求出BC的长，即得出点C的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）先假设存在，看能否求出符合条件的点D即可．
解答：
解：
（1）∵MO=MA=1，∠OMA=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB=
，
∴A（1，0），B（0，
）；
（2）∵BC是切线，∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=4，
∴C（﹣3，0），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C代入得，
，
解得
∴抛物线的解析式为y=﹣
x2﹣
x
；
（3）设在对称轴上存在点D，使△BCD是等腰三角形，
对称轴为x=﹣2，设点D（﹣2，m），
分3种情况讨论：
①BC=BD；
=2
，
解得m=±2
+
（舍去负数），m=2
+
；
②BC=CD；
=2
，解得m=
；
③BD=CD；m=
，
∴符合条件的点D的坐标为，（﹣2，2
+
），（﹣2，
），（﹣2，
）．
点评：
本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形判定等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
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