圆与相似三角形的综合题.docx

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圆与相似三角形的综合题

圆与相似三角形的综合题

一、一线三垂直

1.如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．

（1）求证：

直线FG是⊙O的切线；

（2）若AF＝12，BE＝6，求

的值．

2.如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°．

（1）求证：

CD是⊙O的切线．

（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：

CG2＝AE•BF．

二、共边共角型（母子模型）

1.已知：

如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点D是

上一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F．

（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）若BD平分∠ABE，求证：

AD2＝DF•DB．

2.如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．

（1）求证：

∠CAD＝∠BDC；

（2）若BD＝

AD，AC＝3，求CD的长．

3.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．

（1）求证：

FG是⊙O的切线；

（2）若tanC＝2，求

的值．

4.已知：

AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC＝CP．

（1）求∠P的度数；

（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC＝20，求⊙O的面积．（π取3.14）

5.如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若tan∠ADC＝

，AC＝2，求⊙O的半径；

（3）如图2，在

（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．

6.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为

，△ABC的面积为2

，求CD的长；

（3）在

（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若

＝

，求BF的长．

7.如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．

（1）求证：

PC是⊙O的切线；

（2）若AB＝3PA，求

的值．

8.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：

“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）小明在研究的过程中发现

是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？

并对小明发现的结论加以证明．

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．

（1）求证：

∠FBC＝∠FCB；

（2）已知FA•FD＝12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA＝2，求CD的长．

9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线EG与⊙O相切于点E，EG∥BC，连接AE交BC于点D．

（1）求证：

AE平分∠BAC；

（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，且DE＝3，DF＝2，求AF的长．

10.如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠PAC＝∠B．

（1）求证：

PA是⊙O的切线；

（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF•AB＝12，求AC的长．

三、射影定理

1.如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且

＝

．

（1）求证：

PD是⊙O的切线；

（2）若AD＝12，AM＝MC，求

的值．

2.如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点G，过点D作EF∥AB，分别交CA、CB的延长线于点E、F，连接BD．

（1）求证：

EF是⊙O的切线；

（2）求证：

BD2＝AC•BF．

四、平行得相似

1.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且

，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）若

，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；

（3）连结BE，在

（2）的条件下，求BE的长．

2．如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB．

（1）求证：

PB是⊙O的切线；

（2）若∠APC＝3∠BPC，求

的值．

3.如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连接AC．

（1）求证：

AC∥PO；

（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求

的值．

4.如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M．

（1）求证：

CD为⊙O的切线；

（2）若CD＝

AD，求

的值．

5.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．

（1）求证：

DF是⊙O的切线；

（2）当CF＝2，BE＝3时，求AF的长．

五、共边型相似（角平分线）

1.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：

（1）直线DC是⊙O的切线；

（2）AC2＝2AD•AO．

六、A型相似

1.如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．

（1）求证：

直线BC是⊙O的切线；

（2）若AC＝2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．

2.如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是

的中点．

（1）求证：

直线l是⊙O的切线；

（2）若PA＝6，求PB的长．

3.如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE＝12，BE＝9．

（1）求证：

△COD∽△CBE．

（2）求半圆O的半径r的长．

4.如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．

（1）求证：

CO2＝OF•OP；

（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4

，PB＝4，求GH的长．