第八讲 正比例与反比例.docx
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第八讲正比例与反比例
第四讲正比例与反比例
一、正比例知识梳理
（一）正比例的定义：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示一定的量，那么正比例关系可以写成y=kx
（二）怎样判断两种量是否成正比例：
首先看这两种量是否是相关联的量，再看它们的比值是否一定。
若比值一定，则这两种量成正比例。
若比值不一定，则这两种量不成正比例。
二、反比例知识梳理
（一）反比例定义：
两种相关联的量，一种变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示：
（一定）
（二）如何判断反比例函数：
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数,k≠0）的形式,那么称y是x的反比例关系.
二．典例精析
【典型例题1】：
在一定的距离内，车轮的直径和它转动的圈数是否成比例？
成什么样比例？
思路导航：
车轮的直径乘圆周率等于车轮的周长，而车轮一圈的长度和转动的圈数的乘积一定，是个常数，则成反比例。
解：
因为车轮的直径x圆周率x圈数=路程（一定），所以车轮的直径和它转动的圈数成反比例关系。
【典型例题2】：
服装店卖出某种服装的情况如下表：
数量/件
1
2
3
4
5
6
总价/元
80
160
240
320
400
480
写出相对应的总价和数量的比，并比较比值的大小。
你发现了什么?
思路导航:
总价÷数量=单价，通过求总价和数量的比值是否发生变化判断成是否成比例，成什么比例。
解：
80÷1=80,160÷2=80…总价÷数量=80（一定），则总量和数量的比值一定，则总量和数量成正比例。
【典型例题3】:
一辆汽车的行驶时间与行驶路程如下表。
时间/h
1
2
4
5
7
8
……
路程/km
50
100
150
300
350
400
……
①把上表填完整，回答下面问题。
②表中有哪两种变化的量？
这两种量是怎么变化的？
③观察写出的4个比的比值有什么特点？
观察有什么特点？
④汽车行驶的路程与所用的时间是否成正比例？
为什么？
思路导航：
①通过观察，路程随着时间的增加而增加
②路程÷时间=速度，求路程和时间的比值可得出速度一定，则两者成正比例。
解：
①
时间/h
1
2
3
4
5
6
7
8
……
路程/km
50
100
150
200
250
300
350
400
……
②表中有时间和路程两个变化的量，其中路程随着时间的增大而增大
③50÷1=50，150÷3=50,250÷5=50，400÷8=50.
特点是：
无论时间和路程如何变化，它们的比值都是50，是一定的。
④汽车行驶的路程与所用的时间是成正比例，因为路程与时间比值等于速度，速度一定，则路程与时间成正比例。
【典型例题4】：
成正比例的两个量，一个扩大3倍，另一个量如何变化？
思维导航：
结合比的概念判断一个变化时另一个量的变化，或者结合比的基本性质进行判断。
解：
根据正比例的概念可知,当x扩大3倍时，要使比值k一定，则y也必须扩大3倍。
【典型例题5】：
平行四边形的面积一定，底和高成什么比例？
思维导航：
根据平行四边形的面积=底x高,可知当面积不变时，底和高的乘积不变。
解：
平行四边形的面积=底x高，当底增大时，高在缩小，当底缩小时，高在扩大。
但是无论底和高如何变化，它们的乘积始终不变，则底和高成反比例关系。
【典型例题6】.学校食堂购买了一批色拉油
每桶容量/L
1.8
2.4
4.5
5
……
数量/瓶
100
75
40
36
……
每桶容量与所购买的桶数是否成反比例？
思路导航：
根据反比例的定义判断每桶容量与所购买的桶数是否成反比例。
解：
因为1.8x100=18002.4x75=18004.5x40=18005x36=1800
无论容量和数量如何变化，它们的积一直没变，是1800，所以每桶容量与所购买的桶数是相关量，且成反比例关系。
【典型例题7】.在长8米、宽6米的实验室铺地砖。
每块地砖的面积与所需要的数量如下：
每块地砖的面积（cm2）
500
600
800
数量（块）
960
800
600
（1）每砖的面积和所需要的地砖数量是否成反比例？
（2）如果每块地砖面积是400平方厘米，铺这一地面需要多少块？
思路导航：
①通过求每砖的面积和所需要的地砖数量的乘积来判断两者是否成反比例。
②当两者成反比例时，根据积不变的特点求出数量
解：
（1）因为500x960=4800600x800=4800800x600=4800,则随着每块地砖的面积的变化，数量也随着变化，但是它们的乘积都是4800，没有发生变化，则两者成反比例关系。
（2）因为每砖的面积x所需要的地砖数量=4800,所以当每块地砖面积是400时，
数量=4800÷400=12块。
【典型例题8】:
下表中，x和y成反比例，并且xy=36，请把表格补充完整。
x
2
4
6
y
12
36
思维导航：
根据题意可知xy的乘积不变且xy=36，则可补充完整。
解：
x
2
3
4
1
6
y
18
12
9
36
6
三、方法归纳
1、在判断两个量是否成正比例时只要求其比值，如果比值一定，则两者成正比例，反之，则不成。
2、根据正比例的定义可知，成正比例的两个量如果其中一个发生变化（扩大或者缩小），要使比值k一定，则另一个量和它发生同样的变化。
3、在判断两个量是否成反比例时只要求其积，如果积一定，不变化，则两者成反比例，反之，则不成。
四、课堂练习
判断：
1、正方形的边长和周长成正比例。
（）
2、正方形的边长和面积成正比例。
（）
3、a是b的5/7,数a和数b成正比例。
（）
4、在比例里,如果两个内项的乘积是1,那么,组成比例外项的两个数一定互为倒数。
（）
6、圆的周长一定,直径和圆周率成反比例。
（）
9、如果x与y成反比例,那么3x与y也成反比例（）
10、被减数一定，减数和差成正比例。
3．大米的总量一定，吃掉的和剩下的成反比例（）
4．圆的半径和它的周长成正比例（）
5．一个分数的分子一定，分母和分数值成反比例（）
6．铺地面积一定时，方砖边长与所需块数成反比例（）
7．正方体体积一定，它的底面积与高成反比例（）
8、除数一定，被除数和商成正比例（）
9总价一定，单价和数量成反比例（）
10、实际距离一定，图上距离与比例尺成正比例（）
二、填空题：
1.总价一定,购买算草本的本数和单价成（）比例
2.工作效率一定,工作总量和工作时可成（）比例
3.除数不变,被除数和商成（）比例
4.汽车每千米耗油量一定,所行的路程和耗油总量成（）比例
5.有120吨货物,每次运的吨数和运的次数成（）比例
6.正方形的周长和边长成（）比例,正方形的面积和边长（）比例,
1.两种（）的量，一种量（），另一种量也随着（），如果这两种量中（）的（）一定，这两种量就叫作反比例的量，它们的关系叫作（）。
2.a，b，c三种量的关系式是a/b=c,当a一定时，b和c成（）比例；当b一定时，a和c成（）比例；当c一定时，a和b成（）比例。
3.被除数一定，商和除数成（）比例。
7.读一本书的页数一定，（）和（）成反比例。
8.行驶的路程一定,白行车车轮的直径和车轮转动的周数成（）比例。
19.全校学生做广播体操,每行站的人数与站的行数成（）比例。
三、选择题
1.成反比例的两种量中,一种量扩大,另一种量（）。
A.随着扩大B.随着缩小C.不变
2.在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（ ），成反比例关系是（ ）．
A汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数
B汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数
C汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数．
4.如果A×2=B÷3，那么A：
B=（ ）。
A、2：
3 B、3：
2 C、1：
6 D 6：
1
5.体积和高都相等的圆柱体和圆锥体，它们底面积的比是（ ）。
A.1：
3 B.3：
1
C.1：
6 D.6：
1
三、解答题
某学校购书情况如下：
数量
125
100
80
单价
8
10
25
（1）哪个量是一定的？
将表格填写完整
（2）哪个量是变化的？
成什么样比例关系？
三、乘船的人数与所付船费为:
人数/人
0
1
2
3
4
5
6
船费/元
0
2
4
6
8
10
12
（1）在坐标系上表示上表中的各数,横轴为人数,纵轴为船费
（2）说说哪个量没有变?
（3）乘船人数与船费有什么关系?
成什么比例？
补充：
一堆煤，运走1/3后又运走30吨，剩下的与运走的比是5:
7，这堆煤原有多少吨？
7/5+7=7/127/12-1/3=1/430/（1/4）=120
解方程。
某快递公司的甲乙两个仓库有快件若干件，甲仓库发走80件后余下的快件数与乙仓库存有的快件数之比为4:
3，再从乙仓库发走快件560件，则乙仓库余下旳快件数比甲仓库余下旳快件数的1/5还要多210件，请你求出甲乙两个仓库原有的快件数共多少？
设每一份为X，则4X*1/5+210=3X-560
某小学原来体育达标人数与未达标人数的比为4:
5，经过一段时间训练，又有50名同学达标，这时达标与未达标人数之比为9：
10，这个小学共多少人？
（列车过桥问题）一列火车通过一座长为1000米的大桥需要65秒，如果用同样的速度通过一条长为730米的隧道需要50秒，则这个火车的长度为？
1：
（1000-730）/（65-50）=1818*65-1000=170
用比例
牙膏的出口直径为5毫米，小红每次都挤出1厘米长的牙膏，这样一支牙膏可用36次，该产品推出新款之后，牙膏总量不变，只是将出口改为6毫米，小红还是每次挤出1厘米的牙膏，这样可以用多少次？
五、课后作业
一、判断。
1．一个因数不变，积与另一个因数成正比例．（ ）
2．长方形的长一定，宽和面积成正比例．（ ）
3．大米的总量一定，吃掉的和剩下的成正比例．（ ）
4．圆的半径和周长成正比例．（ ）
5．分数的分子一定，分数值和分母成正比例．（ ）
6．铺地面积一定，方砖的边长和所需块数成正比例．（ ）
7．圆的周长和直径成正比例．（ ）
8．除数一定，被除数和商成正比例．（ ）
9．和一定，加数和另一个加数成正比例．（ ）
10、正方体的体积和棱长成正比例。
（）
二、判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由。
1．平行四边形的高一定，它的底和面积．
2．被除数一定，商和除数．
3．小明的年龄和他的体重．
4．做一件衬衫的用布量一定，生产这种衬衫的总用布量和件数。
5.拖拉机每天耕地的公顷数一定，耕地的总公顷数与天数。
三、解答题
1、爸爸在工厂加工螺母，生产情况如下：
加工个数
25
75
125
….
加工时间
1
3
5
….
（1）写出几组加工零件的个数和相对应的时间的比，并比较比值的大小
（2）表中的加工螺母个数与时间成正比例吗？
为什么？
2、六年级1班需要订购《小学生报》，下表是数量与总价情况表。
数量（份）
1
2
3
4
…
价格（元）
1.5
3
4.5
6
…
（1）两种相关联的量是什么？
这两种是如何变化的？
（2）总价与数量的比值是多少？
这两个量是成什么比例？
一、填空：
（24分）
1．如果m：
n=4，那么m和n成 _________ ；如果5m=n，那么m和n成 _________ ；如果m/n=1/2那么m和n成 _________ ；如果nm=4，那么m和n成 _________ ；如果m/9=4/n，那么m和n成 _________ ．
2．（3分）因为
X=2Y，所以X：
Y= _________ ：
_________ ，X和Y成 _________ 比例．
3．（2分）甲乙两个正方形的边长比是2：
3，甲乙两个正方形的周长比是 _________ ，甲乙两个正方形的面积比是 _________ ．
4、分子一定，分母和分数值成_________比例。
5、圆柱体侧面积一定，其底面半径和高成_________比例
三、选择．（16分）
1、把一堆化肥装入袋子，袋子的数量和每袋化肥的质量（ ）
A．
成正比例
B．
成反比例
C．
不成比例
2、和一定，加数和另一个加数（ ）
A．
成反比例
B．
成正比例
C．
不成比例
3．（2分）把一个直径4毫米的手表零件，画在图纸上直径是8厘米，这幅图纸的比例尺是（ ）
A．
1：
2
B．
2：
1
C．
1：
20
D．
20：
1
4．（2分）已知
=1.2、
=1.2，所以X和Y比较（ ）
A．
X大
B．
Y
C．
一样大
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