一元一次方程应用.docx
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一元一次方程应用
学习好资料欢迎下载一元一次方程应用题列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：
弄清题意．
（2）找出等量关系：
找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：
设
出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?
然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?
是否符合实际，检验
后写出答案．
一些常见的解题方法
一、直列法。
即由题中的“和”、“少”、“倍”等表示数量关系的字眼，直接列出相关的方程。
二、公式法。
用常见的一些公式建立等量关系，列出方程。
三、总分法。
即根据总量等于各分量之和来列出方程，用此法要注意分量不可有所遗漏。
例“过路的人！
这儿埋葬着丢番图。
请计算下列题目，便可知他一生经过了多少寒暑。
他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。
再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。
五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。
晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。
请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？
”
分析：
本题即是著名的丢番图的“墓志铭”，题中巧妙地把丢番图的总年龄划分为了几个部分，解题时只需运用其总年龄＝各部分年龄的和即可得出解答。
解：
设丢番图活了x年。
据题意可得：
x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4解之得x＝84答：
丢番图共活了84岁
四、同一法。
这类题目的解题原理是：
如果同一个量能用两个不同的代数式表达，则这两个代数式必然相等。
例一队学生从学校出发去部队军训，行进速度是5千米/时，走了4.5千米时，一名通讯员按原路返回学校报信，然后他随即追赶队伍，通讯员的速度是14千米/时，他在距离部队6千米处追上队伍，问学校到部队的距离是多少？
（报信时间忽略不计）分析：
该题的解答关键在于，通讯员从返回学校到追上队伍所用时间与队伍走了4.5千米到距离部队6千米这段路程所用时间是相等的（同一段时间）。
解：
设学校到部队的距离是x千米。
据题意得：
（x-4.5-6）/5=（x+4.5-6）/14，解之得：
x＝15.5答：
学校到部队的距离是15.5千米。
一般在解决问题时第一步就是要设出未知数,未知数的设法主要有以下几种:
1,有比较关系时,如甲比乙多8,我们一般设较小的为X,这样计算时主要用的是加法不易出错;
2,有倍数关系时,如数学小组人数是英语小组的5倍,我们设一倍量为X,用乘法表示其余量利于计算;3,在分数应用题中,我们设单位'1'为X,4,在有比的问题中,我们设一份数为X,
5,在有和的问题中,我们设其中任意一个为X都可以,比如说两个班共有50人.
一般说来，初中代数应用题的相等关系有显性和隐性两种，通过问题中的某些关键词语表示出来的叫做显性相等关系问题中没有明确给出而是包含在问题之中的叫做隐性相等关系.前者只要认真分析问题的关键词语就可找到，后者则需要
全面深入地理解题意，并结合日常生活和自然科学知识才能找到.
1、和、差、倍、分问题：
（1）倍数关系：
通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率⋯⋯”来体现。
（2）多少关系：
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余⋯⋯”来体现。
增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量
例：
某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的5。
问每个仓库各有多少粮食？
7
解：
设第二个仓库存粮x吨，则第一个仓库存粮3x吨，根据题意得
（3x20）x20解得x30
3x33090
2、等积变形问题：
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：
形状面积变了，周长没变；原料体积＝成品体积。
圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝r2h长方体的体积V＝长×宽×高＝abc
例：
一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80?
毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫
米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，≈3.14）．
202
解：
设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得·（）2x=300×300×80x≈229.3
2答：
圆柱形水桶的高约为229.3毫米．
3、比例问题：
这类问题的一般思路为：
设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：
各部分之和＝总量。
例：
甲乙两人身上的钱数之比为7:
6，两人去商店买东西后，甲花去50元，乙花去60时，此时他们身上的钱数之比为3：
2，则他们身上余下的钱数分别是多少？
解：
设甲原有7x元，乙原有6x元，列方程（7x-50）：
（6x-60）=3:
2解得x=20所以甲原有140元，乙原有120元甲花去50元，则：
140-50=90（元）乙花去60元，则120-60=60（元）答：
4、数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：
一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，
且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：
100a+10b+c。
（2）数字问题中一些表示：
两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2N表示，连续的偶数用2n+2
或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
例：
一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求
这个三位数.
［分析］由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为x，则百位上的数为x+7，个位上的数是3x，等
量关系为三个数位上的数字和为17。
解：
设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为x+7，个位上的数是3x
x+x+7+3x=17解得x=2x+7=9，3x=6答：
这个三位数是926
例：
一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数
等量关系：
原两位数+36=对调后新两位数
解：
设十位上的数字X，则个位上的数是2X，
10×2X+X=（10X+2X）+36解得X=4，2X=8，答：
原来的两位数是48。
5、工程问题：
工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量=工作效率×工作时间
全部工作量之和=各队工作量之和，各队合作工作效率=各队工作效率之和经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
例：
一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？
11
［分析］甲独作10天完成，说明的他的工作效率是,乙的工作效率是,
108等量关系是：
甲乙合作的效率×合作的时间=1
114040
解：
设合作X天完成,依题意得方程（11）x1解得x40答：
两人合作40天完成
10899
例：
一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
［分析］设工程总量为单位1，等量关系为：
甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
11x333
解：
设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，（11）3x1解之得x3363
15121255
3
答：
乙还需6天才能完成全部工程。
5
例：
一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？
［分析］等量关系为：
甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。
11x304
解：
设打开丙管后x小时可注满水池，由题意得，（11）（x2）x1解这个方程得x3024
6891313
4
答：
打开丙管后2小时可注满水池。
13
例：
一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
11111111
解：
设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作．根据题意，得1×1+（1+1）x=1，得x=1111=2小时12
626455
分
答：
甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．
例：
某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．?
已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获
利1440元，?
求这一天有几个工人加工甲种零件．
解：
设这一天有x名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个．
根据题意，得16×5x+24×4（16-x）=1440解得x=6答：
这一天有6名工人加工甲种零件．
例：
一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？
解：
设还需x天。
11311x1或131x1（3x）1解得x10
101512151012153
6、市场经济、打折销售问题商品利润＝商品售价－商品成本价；商品售价=商品标价×折扣率；商品利润率＝商品利润×100%
商品成本价商品销售额＝商品销售价×商品销售量；商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售．例：
某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利
润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？
优惠价是多少元？
［分析］通过列表分析已知条件，找到等量关系式
进价
折扣率
标价
优惠价
利润率
60元
8折
X元
80%X
40%
等量关系：
商品利润率=商品利润/商品进价
解：
设标价是X元，80%x6040解之：
x=105优惠价为80%x8010584（元）,
60100100例：
一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
进价
折扣率
标价
优惠价
利润
X元
8折
（1+40%）X元
80%（1+40%）X
15元
等量关系：
（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15解：
设进价为X元，80%X（1+40%）—X=15，X=125答：
进价是125元。
例：
某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折．
解：
设至多打x折，根据题意有（1200x*0.1-800）/800×100%=5%解得x=7答：
至多打7折出售．
例：
一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”．经顾客投拆后，拆法
部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价．
解：
设每台彩电的原售价为x元，根据题意，有10[x（1+40%）×80%-x]=2700，x=2250
答：
每台彩电的原售价为2250元．
7、方案选择问题
例：
某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，?
经粗加工后销售，每吨利润可达4500
元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：
如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，?
但两种加工方式不能同时进行，受季度
等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：
将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：
尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，?
在市场上直接销售．
方案三：
将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？
为什么？
解：
方案一：
获利140×4500=630000（元）
方案二：
获利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）方案三：
设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨．
x140x
依题意得=15解得x=60
616
获利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）因为第三种获利最多，所以应选择方案三．
例：
某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：
“全球通”使用者先缴50?
元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1?
分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）．若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元．
（1）写出y1，y2与x之间的函数关系式（即等式）．
（2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？
（3）若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？
解：
（1）y1=0.2x+50，y2=0.4x．
（2）由y1=y2得0.2x+50=0.4x，解得x=250．
即当一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同．
（3）由0.2x+50=120，解得x=350由0.4x+50=120，得x=300
因为350>300故第一种通话方式比较合算．
例：
某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收
费。
（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．
（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？
?
应交电费是多少元？
解：
（1）由题意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72解得a=60
（2）设九月份共用电x千瓦时，则0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x解得x=90
所以0.36×90=32.40（元）
答：
九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．
例：
某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3?
种不同型号的电视机，出厂价分别为A
种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，?
销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
解：
按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，
设购A种电视机x台，则B种电视机y台．
（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程
1500x+2100（50-x）=90000即5x+7（50-x）=3002x=50x=2550-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，
可得方程1500x+2500（50-x）=900003x+5（50-x）=1800x=3550-x=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．
可得方程2100y+2500（50-y）=9000021y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意
由此可选择两种方案：
一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择
（1）中的方案①，可获利150×25+250×25=8750（元）
若选择
（1）中的方案②，可获利150×35+250×15=9000（元）
9000>8750故为了获利最多，选择第二种方案．
8、行程问题：
行程问题中的三个基本量及其关系：
路程=速度×时间。
（一）相遇问题：
a．同时出发（两段）甲的路程+乙的路程=总路程
b．不同时出发（三段）先走的路程+甲的路程+乙的路程=总路程
（二）追及问题
1．不同地点同时出发快者行驶的路程－慢者行驶的路程＝相距的路程
2．同地点不同时出发快者行驶的路程＝慢者行驶的路程慢者所用时间=快者所用时间+多用时间（三）飞行、航行的速度问题
顺水速度=船速+水速（顺风飞行速度=飞机本身速度+风速）
逆水速度=船速-水速（逆风飞行速度=飞机本身速度-风速）顺水（顺风）的路程=逆水（逆风）的路程
例：
甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
故可结合图形分析。
（1）分析：
相遇问题，画图表示为：
等量关系是：
慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
（3）分析：
等量关系为：
快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。
解：
设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140－90）x+480=60050x=120∴x=2.4
答：
2.4小时后两车相距600公里。
（4）分析：
追及问题，画图表示为：
等量关系为：
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：
设x小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480解这个方程，50x=480∴x=9.6答：
9.6小时后快车追上慢车。
（5）分析：
追及问题，等量关系为：
快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：
设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得，140x=90（x+1）+48050x=570∴x=11.4答：
快车开出11.4小时后追上慢车。
例：
甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？
［分析］］追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。
狗跑的总路程=它的速度×时
间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间
解：
设甲用X小时追上乙，根据题意列方程5X=3X+5解得X=2.5，狗的总路程：
15×2.5=37.5答：
狗的总路程是37.5千米。
例：
某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。
A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。
［分析］这属于行船问题，这类问题中要弄清：
（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；
（2）逆水速度=船在静水中的速度－水流速度。
相等关系为：
顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。
解：
设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为（x-10）千米，
由题意得，xx107解这个方程得x32.5答：
A、B两地之间的路程为32.5千米。
2882
例：
有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．
x
解：
设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，?
过完第一铁桥所需的时间为60x0分．过完第二铁
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2x50x52x50
桥所需的时间为2x50分．依题意，可列出方程x+5=2x50解方程x+50=2x-50得x=100
60060060600
∴2x-50=2×100-50=150答：
第一铁桥长100米，第二铁桥长150米．
例：
已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？
解：
设甲的速度为x千米/小时。
则2x10（xx1）120x5x16
例：
一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回，
已知队伍的行进速度为14米/分。
问：
若已知队长320米，则通讯员几分钟返回？
若已知通讯员用了25分钟，则队长为多少米？
解：
（1）设通讯员x分钟返回.则320320xx-90
18141814
xx
25
2）设队长为x米。
则
18141814
800
x
9
例：
一架飞机在两个城市之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城
市之间的飞行路程？
xx6xx
解：
设两个城市之间的飞行路程为x千米。
则242448x2448
503173
2
60
例：
一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两码头之间的距离。
xx
解：
设甲、乙两码头之间的距离为x千米。
则xx4。
x=80
45
9、储蓄问题
⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时
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