线材切割问题最优方案及对策探讨.docx
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线材切割问题最优方案及对策探讨
数学建模论文
题目：
线材切割问题最优化方案探讨
院系:
数理学院
专业：
数学与应用数学
班级：
数学091
：
奎
学号：
3090801132
2011/5/20
摘要
本文讨论多线材切割问题，通过整数规划建立数学模型来解决线材切割的需要，使得线材利用率提高，减少浪费。
首先，我们分析了某根线材的切割方案和实行切割方案，遵循“全部用完，没有剩余”的原则，从而确定了多线材切割一般模型来得到线材切割的最优设计方案。
其次，我们采取了三种模型：
1.某根线材的切割方案模型。
确定一根线材的几种最优切割方案，做到单根线材的最佳优化。
2.实行切割方案的模型。
要求花费原材料最少，即要求做到方案组合的最佳优化。
3.多线材切割方案的一般模型。
通过对某根线材切割方案和实行切割方案的分析，建立线材切割的一般模型，得到最优化设计方案。
最后，我们对所设计的模型进行了讨论。
关键词语：
多线材切割整数规划数学模型最优化方案
一、问题重述···································3
二、问题假设···································4
三、符号说明···································4
四、建立模型···································4
4.1某根线材的切割方案模型·····················4
4.2实行切割方案的模型·························6
4.3实行切割方案模型的求解····················6
4.4结果分析··································7
4.5多线材切割一般模型的建立··················7
五、模型的分析与讨论··························8
六、线材切割问题的几点建议····················9
七、参考文献··································10
八、附录······································11
一、问题重述
在很多工程领域，都有线材切割问题。
这一问题可表述为:
设能购买到的不同长度的原线材有m种，长度分别为L1,...,Lm，这些原线材只是长度不同，其它都相同。
某工程中所要切割出的线材长度分别为li,i=1,2,...,n（这里li<所有Li），对应数量分别为Ni,i=1,2,...,n。
设计优化计算方案，求出分别需要购买多少根不同长度的原线材,并能给出切割方案及线材利用率。
现假设某装修工程中需要对铝合金线材进行切割，工程能购买到的同一规格的铝合金线材有二种长度，一种长度是8米，另一种是12米。
现在假设要切割长度和数量如下所示的铝合金线材：
编号长度（单位:
米）数量（单位:
根）
--------------------------------------------------
16.2090
23.60120
32.80136
41.85310
50.75215
60.55320
应用所设计的计算方案，请问至少需要购买多少根8米和12米的线材，使浪费的线材比较少，并给出切割方案和计算线材利用率。
二、问题假设
1.两种线材单位长度的价格是固定的。
2.货源充足。
3.在切割过程中不会出现人为造成的材料损失。
三、符号说明
1.Li:
第i种原材料的长度。
2.lj:
所需的第j种成品线材的长度。
3.Nj:
所需的第j种成品线材的数量。
4.Xij:
第i种线材被实行第j种切割方案的次数或该方案本身。
5.aj:
某根线材切割出编号为j的线材成品数量，aj为整数。
四、建立模型
4.1某根线材的切割方案。
确定一根线材的几种最优切割方案。
第一，要保证有一种切割方案能够切割出所需的第j种线材成品。
第二，要遵循每根线材余料最少的原则，要求做到单根线材的最佳优化。
模型M1
某根8m线材的切割方案模型：
min=8-6.20×a1-3.60×a2-2.80×a3-1.85×a4-0.75×a5-0.55×a6;
s.t.
某根12m线材的切割方案模型:
min=12－6.20×a1-3.60×a2-2.80×a3-1.85×a4-0.75×a5-0.55×a6;
s.t.
在Lingo中执行以上程序，分别得出12种切割方案，见表4.11和表4.12（表中空白处表示0）
表4.11某根8m线材的切割方案
方案
a1
a2
a3
a4
a5
a6
余料/m
X11
1
3
0.15
X12
2
1
0.05
X13
2
1
1
0
X14
4
1
0.05
X15
7
5
0
X16
7
5
0
表4.12某根12m线材的切割方案
方案
a1
a2
a3
a4
a5
a6
余料/m
X21
1
1
4
0
X22
1
1
1
5
0
X23
1
3
0
X24
1
1
1
5
0
X25
1
1
4
0
X26
1
2
3
1
0
从表4.11中可以看出，方案X15和X16相同，因此可将切割方案归为五种。
从表4.12中可以看出，方案X21和方案X25相同，方案X22和X24相同，因此可将切割方案归为四种。
将两种情况总结起来，可得到如表4.13所示的切割方案。
表4.13某根线材的切割方案
方案
a1
a2
a3
a4
a5
a6
余料/m
某根8m线材的切割方案
X11
1
3
0.15
X12
2
1
0.05
X13
2
1
1
0
X14
4
1
0.05
X15
7
5
0
某根12m线材的切割方案
X21
1
1
4
0
X22
1
1
1
5
0
X23
1
3
0
X24
1
2
3
1
0
4.2实行切割方案的模型。
实行切割方案，第一，要求完成切割任务。
第二，要求花费原线材最少，即要求做到方案组合的最佳优化。
实行切割方案模型M2
minZ=8
+12
s.t.
4.3实行切割方案模型的求解
在Lingo中求解，得到结果如表4.14所示。
表4.14各种方案的执行情况
X11
X12
X13
X14
X15
X16
X17
X18
X19
61
56
43
67
5
29
0
5
3
min=2300m
因此，我们得到结论：
a.需要购买8m线材的数量为
=232根，其中有61根采用方案X11；56根采用方案X12；43根采用方案X13；67根采用方案X14；5根采用方案X15。
b.需购买12m线材的数量
=37根，其中有29根采用方案X21；5根采用方案X23；3根采用方案X24。
采用上述方案的实际利用线材的总长为2281.55m,线材的利用率为2281.55/2300=99.20%。
4.4结果分析
经分析可知，执行上述切割方案后，实际得到所需各种线材的数量见表4.15。
表4.15实际得到各种成品线材的数量
长度/m
6.20
3.60
2.80
1.85
0.75
0.55
数量/根
90
120
136
311
216
321
从表4.15中可知，长度分别为1.85、0.75、0.55的线材均比实际要求多出1根，由此造成的浪费为3.1m，而总的浪费为2300－2281.55=18.45m。
可见余料是造成线材浪费的主要原因，而这种浪费是不能完全消除的。
该问题中，线材的实际利用率达到99.20%，相对是一个很高的利用率。
因此这种方案对解决此类问题是可行的。
我们可以将其扩展到一般情况，建立一般模型。
4.5多线材切割一般模型的建立。
某根线材切割方案的一般模型：
模型M3
min=Li－
（i=1,2,…，m）
实行切割方案的一般模型：
模型M4
min=
s.t.
五、模型的讨论
一、本次建模模型使用lingo进行操作。
lingo可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。
其特色在于置建模语言，提供十几个部函数.
二、主要任务是建模的过程，然后由lingo软件进行规划。
因为要求得最少的原材料根数，考虑到“全部用完，没有剩余”的原则，首先将切割后没有剩余的情况全部列出，利用lingo软件求出最优结果。
三、本次建模设计采用整数规划，整数线性规划数学模型。
本模型经过两次优化，但第二次优化是在第一次优化的基础上进行的，是对单根线材部分切割方案组合的优化，而不是对所有方案的最佳优化。
采用这种办法，减少了可能的方案，在一定程度上减少了计算量，同时使得
具体切割方案易于实行。
六、线材切割问题的几点建议
（1）实施少量多次加工。
少量、多次切割可使加工工件具有单次切割 不可比拟的表面质量，是控制和改善加工工件表面质量的简便易行的方法和措施。
（2合理安排切割路线。
该措施的指导思想是尽量避免破坏工件材料原有的部应力平衡，防止工件材料在切割过程中因在夹具等作用下，由于切割路线安排不合理而产生显著变形，致使切割表面质量下降。
（3）正确选择切割参数。
对于不同的粗、精加工，其丝速、丝的力和喷流压力应以参数表为基础作适当调整，为了保证加工工件具有更高的精度和表面质量，可以适当调高线切割机的丝速和丝力，虽然制造线切割机床的厂家提供了适应不同切割条件的相关参数，但由于工件的材料、所需要的加工精度以及其他因素的影响，使得人们不能完全照搬书本上介绍的切割条件，而应以这些条件为基础，根据实际需要作相应的调整。
（4）注意加工工件的固定。
当加工工件行将切割完毕时，其与母体材料的连接强度势必下降， 此时要防止因加工液的冲击使得加工工件发生偏斜，因为一旦发生偏斜，就会改变切割间隙，轻者影响工件表面质量，重者使工件切坏报废，所以要想办法固定好被加工工件。
七、参考文献
[1]数学建模及典型案例分析志林欧宜贵编著化学工业
[2]数学建模与数学实验静但琦主编高等教育
[3]数学建模（第三版）启源，金星，叶俊编著高等教育出版
[4]基于MCGS组态软件线材切割控制系统旭;鹏;霞;
ASPT来源刊 CJFD收录刊
[5]运筹学与最优化方法吴祈宗：
机械工业，2005
八、附录
1）设计方案X11和X21的程序。
model：
min=8－6.20*a1－3.60*a2－2.80*a3－1.85*a4－0.75*a5－0.55*a6；
6.20*a1+3.60*a2+2.80*a3+1.85*a4+0.75*a5+0.55*a6<=8；
gin（a1）；gin（a2）；gin（a3）；gin（a4）；gin（a5）；gin（a6）；
a1>=1；
end
model：
min=12－6.20*a1－3.60*a2－2.80*a3－1.85*a4－0.75*a5－0.55*a6；
6.20*a1+3.60*a2+2.80*a3+1.85*a4+0.75*a5+0.55*a6<=12；
gin（a1）；gin（a2）；gin（a3）；gin（a4）；gin（a5）；gin（a6）；
a1>=1；
end
2）求解最优实行方案的程序。
Model：
min=8*（X11+X12+X13+X14+X15）+12*（X21+X22+X23+X24）；
X11+X21>=90；
2*X12+X22+X23+X24>=120；
2*X13+X22+3*X23+X21+2*X24>=136；
X13+4*X14+X22>=310；
X12+7*X15+4*X21+5*X22+3*X24>=215；
3*X11+X13+X14+5*X15+X24>=320；
gin（X11）；gin（X12）；gin（X13）；gin（X14）；gin（X15）；
gin（X21）；gin（X22）；gin（X23）；gin（X24）；
3）运行最优实行方案程序的结果。
Globaloptimalsolutionfoundatiteration：
260
Objectivevalue：
2300.000
VariableValueReducedCost
X1161.000008.000000
X1256.000008.000000
X1343.000008.000000
X1467.000008.000000
X155.0000008.000000
X2129.0000012.00000
X220.00000012.00000
X235.00000012.00000
X243.00000012.00000
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