高考数学理科一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案.docx

高考数学理科一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案.docx

《高考数学理科一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理科一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学理科一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案

高考数学理科一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案

学案18　同角三角函数的基本关系式及诱导公式

导学目标：

1能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式2理解同角三角函数的基本关系式：

sin2x＋s2x＝1，sinxsx＝tanx自主梳理

1．同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：

____________________

（2）商数关系：

______________________________

2．诱导公式

（1）sin（α＋2π）＝________，s（α＋2π）＝__________，tan（α＋2π）＝__________，∈Z

（2）sin（π＋α）＝________，s（π＋α）＝________，tan（π＋α）＝________

（3）sin（－α）＝________，s（－α）＝__________，tan（－α）＝________

（4）sin（π－α）＝__________，s（π－α）＝__________，tan（π－α）＝________

（）sinπ2－α＝________，sπ2－α＝________

（6）sinπ2＋α＝__________，sπ2＋α＝____________________________________

3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：

上述过程体现了化归的思想方法．

自我检测

1．（2010•全国Ⅰ）s300°等于（　　）

A．－32B．－12

12D32

2．（2009•陕西）若3sinα＋sα＝0，则1s2α＋sin2α的值为（　　）

A103B3

23D．－2

3．（2010•福建龙岩一中高三第三次月考）α是第一象限角，tanα＝34，则sinα等于（　　）

A4B3

．－4D．－3

4．s（－174π）－sin（－174π）的值是（　　）

A2B．－2

．0D22

．（2011•清远月考）已知s（π6－α）＝23，则sin（α－2π3）＝________探究点一　利用同角三角函数基本关系式化简、求值

例1　已知－π2<x<0，sinx＋sx＝1

（1）求sin2x－s2x的值；

（2）求tanx2sinx＋sx的值．

变式迁移1　已知sin（3π＋α）＝2sin3π2＋α，求下列各式的值．

（1）sinα－4sαsinα＋2sα；

（2）sin2α＋sin2α

探究点二　利用诱导公式化简、求值

例2　（2011•合肥模拟）已知sinα＋π2＝－，α∈（0，π）．

（1）求sinα－π2－s3π2＋αsinπ－α＋s3π＋α的值；

（2）求s2α－3π4的值．

变式迁移2　设f（α）＝

2sinπ＋αsπ－α－sπ＋α1＋sin2α＋s3π2＋α－sin2π2＋α（1＋2sinα≠0），则f－23π6＝________

探究点三　综合应用

例3　在△AB中，若sin（2π－A）＝－2sin（π－B），3sA＝－2s（π－B），求△AB的三个内角．

变式迁移3　（2011•安阳模拟）已知△AB中，sinA＋sA＝1，

（1）求sinA•sA；

（2）判断△AB是锐角三角形还是钝角三角形；

（3）求tanA的值．

转化与化归思想的应用

例　（12分）已知α是三角形的内角，且sinα＋sα＝1

（1）求tanα的值；

（2）把1s2α－sin2α用tanα表示出，并求其值．

多角度审题　由sinα＋sα＝1应联想到隐含条sin2α＋s2α＝1，要求tanα，应当切化弦，所以只要求出sinα，sα即可．

【答题模板】

解　

（1）联立方程sinα＋sα＝1，　　　①sin2α＋s2α＝1，②

由①得sα＝1－sinα，将其代入②，整理得2sin2α－sinα－12＝0[2分]

∵α是三角形的内角，∴sinα＝4sα＝－3，[4分]

∴tanα＝－43[6分]

（2）1s2α－sin2α＝sin2α＋s2αs2α－sin2α＝sin2α＋s2αs2αs2α－sin2αs2α＝tan2α＋11－tan2α，[8分]

∵tanα＝－43，∴1s2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α[10分]

＝－432＋11－－432＝－27[12分]

【突破思维障碍】

由sinα＋sα＝1及sin2α＋s2α＝1联立方程组，利用角α的范围，应先求sinα再求sα

（1）问切化弦即可求．

（2）问应弦化切，这时应注意“1”的活用．

【易错点剖析】

在求解sinα，sα的过程中，若消去sα得到关于sinα的方程，则求得两解，然后应根据α角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解．1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．

2．注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号．注意“1”的灵活代换．

3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．

（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

1．（2011•荆州模拟）已知△AB中，sAsinA＝－12，则sA等于（　　）

A1213B13

．－13D．－1213

2．已知tanα＝－12，且α为第二象限角，则sinα的值等于（　　）

A1B．－11

13D．－13

3．（2011•许昌月考）已知f（α）＝sinπ－αs2π－αs－π－αtanα，则f（－313π）的值为（　　）

A12B．－13．－12D13

4．设f（x）＝asin（πx＋α）＋bs（πx＋β），其中a、b、α、β都是非零实数，若f（2002）＝－1，则f（2003）等于（　　）

A．－1B．0．1D．2

．（2010•全国Ⅰ）记s（－80°）＝，那么tan100°等于（　　）

A1－2B．－1－2

1－2D．－1－2

题号1234

答案

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．（2010•全国Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝－12，则sα＝________

7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________

8．（2010•东北育才学校高三第一次模拟考试）若tanα＝2，则sinα＋sαsinα－sα＋s2α＝________

三、解答题（共38分）

9．（12分）已知f（α）＝sinπ－αs2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α

（1）化简f（α）；

（2）若α是第三象限角，且s（α－3π2）＝1，求f（α）的值．

10．（12分）化简：

sinπ－α•s[－1π－α]sin[＋1π＋α]•sπ＋α（∈Z）．

11．（14分）（2011•秦皇岛模拟）已知sinθ，sθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0（a∈R）的两个根．

（1）求s3（π2－θ）＋sin3（π2－θ）的值；

（2）求tan（π－θ）－1tanθ的值．

答案自主梳理

1．

（1）sin2α＋s2α＝1　

（2）sinαsα＝tanα　2

（1）sinα　sαtanα　

（2）－sinα　－sα　tanα　（3）－sinα　sα　－tanα　（4）sinα　－sα　－tanα　（）sα　sinα（6）sα　－sinα

自我检测

1．　[s300°＝s（360°－60°）＝s60°＝12]

2．A　[∵3sinα＋sα＝0，sin2α＋s2α＝1，

∴sin2α＝110，

∴1s2α＋sin2α＝1s2α＋2sinα•－3sinα

＝11－7sin2α＝103]

3．B

4．A　[s（－174π）－sin（－174π）＝s（－4π－π4）－sin（－4π－π4）＝s（－π4）－sin（－π4）＝sπ4＋sinπ4＝2]

．－23

解析　sin（α－2π3）＝－sin（2π3－α）

＝－sin[（π6－α）＋π2]

＝－s（π6－α）＝－23

堂活动区

例1　解题导引　学会利用方程思想解三角函数题，对于sinα＋sα，sinαsα，sinα－sα这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号的判断．

解　由sinx＋sx＝1得，

1＋2sinxsx＝12，则2sinxsx＝－242

∵－π2<x<0，∴sinx<0，sx>0，

即sinx－sx<0

则sinx－sx

＝－sin2x－2sinxsx＋s2x

＝－1＋242＝－7

（1）sin2x－s2x＝（sinx＋sx）（sinx－sx）

＝1×－7＝－72

（2）由sinx＋sx＝1sinx－sx＝－7，

得sinx＝－3sx＝4，则tanx＝－34

即tanx2sinx＋sx＝－34－6＋4＝18

变式迁移1　解　∵sin（3π＋α）＝2sin3π2＋α，

∴－sinα＝－2sα

∴sinα＝2sα，即tanα＝2

方法一　（直接代入法）：

（1）原式＝2sα－4sα×2sα＋2sα＝－16

（2）原式＝sin2α＋2sinαsαsin2α＋s2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝8

方法二　（同除转化法）：

（1）原式＝tanα－4tanα＋2＝2－4×2＋2＝－16

（2）原式＝sin2α＋2sinαsα

＝sin2α＋2sinαsαsin2α＋s2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝8

例2　解题导引　三角诱导公式记忆有一定规律：

2π＋α的本质是：

奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：

（1）负角变正角，再写成2π＋α，0≤α<2π；

（2）转化为锐角三角函数．

解　

（1）∵sinα＋π2＝－，α∈（0，π），

∴sα＝－，sinα＝2

∴sinα－π2－s3π2＋αsinπ－α＋s3π＋α＝－sα－sinαsinα－sα＝－13

（2）∵sα＝－，sinα＝2，

∴sin2α＝－4，s2α＝－3，

s2α－3π4＝－22s2α＋22sin2α＝－210

变式迁移2　3

解析　∵f（α）＝－2sinα－sα＋sα1＋sin2α＋sinα－s2α

＝2sinαsα＋sα2sin2α＋sinα＝sα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，

∴f－23π6＝1tan－23π6

＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3

例3　解题导引　先利用诱导公式化简已知条，再利用平方关系求得sA．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．诱导公式在三角形中常用结论有：

A＋B＝π－；A2＋B2＋2＝π2

解　由已知得sinA＝2sinB，　　①3sA＝2sB，②

①2＋②2得2s2A＝1，即sA＝±22

（1）当sA＝22时，sB＝32，

又A、B是三角形的内角，

∴A＝π4，B＝π6，∴＝π－（A＋B）＝712π

（2）当sA＝－22时，sB＝－32

又A、B是三角形的内角，

∴A＝34π，B＝6π，不合题意．

综上知，A＝π4，B＝π6，＝712π

变式迁移3　解　

（1）∵sinA＋sA＝1，①

∴两边平方得1＋2sinAsA＝12，

∴sinA•sA＝－122

（2）由

（1）sinA•sA＝－122<0，且0<A<π，

可知sA<0，∴A为钝角，

∴△AB为钝角三角形．

（3）∵（sinA－sA）2＝1－2sinA•sA＝492，

又sinA>0，sA<0，∴sinA－sA>0，

∴sinA－sA＝7，②

∴由①，②得sinA＝4，sA＝－3，

∴tanA＝sinAsA＝－43

后练习区

1．D　[∵A为△AB中的角，sAsinA＝－12，

∴sinA＝－12sA，A为钝角，∴sA<0

代入sin2A＋s2A＝1，求得sA＝－1213]

2．　[已知tanα＝－12，且α为第二象限角，

有sα＝－11＋tan2α＝－1213，所以sinα＝13]

3．　[∵f（α）＝sinαsα－sαtanα＝－sα，∴f（－313π）

＝－s（－313π）＝－s（10π＋π3）＝－sπ3＝－12]

4．　[∵f（2002）＝asin（2002π＋α）＋bs（2002π＋β）

＝asinα＋bsβ＝－1，

∴f（2003）＝asin（2003π＋α）＋bs（2003π＋β）

＝asin[2002π＋（π＋α）]＋bs[2002π＋（π＋β）]

＝asin（π＋α）＋bs（π＋β）＝－（asinα＋bsβ）＝1]

．B　[∵s（－80°）＝s80°＝，

sin80°＝1－s280°＝1－2

∴tan100°＝－tan80°＝－1－2]

6．－2

解析　∵tanα＝－12，∴sinαsα＝－12，

又∵sin2α＋s2α＝1，α是第二象限的角，

∴sα＝－2

7892

解析　sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°

＝sin21°＋sin22°＋…＋sin24°＋…＋sin2（90°－2°）＋

sin2（90°－1°）

＝sin21°＋sin22°＋…＋222＋…＋s22°＋s21°

＝（sin21°＋s21°）＋（sin22°＋s22°）＋…＋（sin244°＋s244°）＋12＝44＋12＝892

816

解析　原式＝tanα＋1tanα－1＋s2αsin2α＋s2α

＝3＋1tan2α＋1＝3＋1＝16

9．解　

（1）f（α）＝sinπ－αs2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α

＝sinαsα－tanαtanαsinα＝－sα…………………………………………………………（分）

（2）∵α是第三象限角，且s（α－3π2）＝－sinα＝1，

∴sinα＝－1，……………………………………………………………………………（8分）

∴sα＝－1－sin2α＝－1－－12＝－26，

∴f（α）＝－sα＝26…………………………………………………………………（12分）

10．解　当为偶数2n（n∈Z）时，

原式＝sin2nπ－α•s[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]•s2nπ＋α

＝sin－α•s－π－αsinπ＋α•sα

＝－sinα•sπ＋α－sinα•sα＝－sαsα＝－1；……………………………………………………（6分）

当为奇数2n＋1（n∈Z）时，

原式＝sin[2n＋1π－α]•s2nπ－αsin[2n＋2π＋α]•s[2n＋1π＋α]

＝sinπ－α•s－αsin2π＋α•sπ＋α＝sinα•sαsinα•－sα＝－1

∴当∈Z时，原式＝－1………………………………………………………………（12分）

11．解　由已知原方程的判别式Δ≥0，

即（－a）2－4a≥0，∴a≥4或a≤0………………………………………………………（3分）

又sinθ＋sθ＝asinθsθ＝a，（sinθ＋sθ）2＝1＋2sinθsθ，则a2－2a－1＝0，（6分）

从而a＝1－2或a＝1＋2（舍去），

因此sinθ＋sθ＝sinθsθ＝1－2…………………………………………………（8分）

（1）s3（π2－θ）＋sin3（π2－θ）＝sin3θ＋s3θ

＝（sinθ＋sθ）（sin2θ－sinθsθ＋s2θ）＝（1－2）[1－（1－2）]＝2－2………（11分）

（2）tan（π－θ）－1tanθ＝－tanθ－1tanθ

＝－（sinθsθ＋sθsinθ）＝－1sinθsθ＝－11－2＝1＋2

……………………………………………………………………………………………（14分）