浙江省中考复习数学知识点汇总.docx

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浙江省中考复习数学知识点汇总

★★21、（2010黄冈）已知抛物线yax2bxc（a0）顶点为C（1，1）且过原点O.5

过抛物线上一点P（x，y）向直线y作垂线，垂足为M，连FM（如图）.

4

（1）求字母a，b，c的值；

3

（2）在直线x＝1上有一点F（1,），求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并

4

证明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.

解：

（1）a＝－1，b＝2，c＝011

（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为1，横坐标为13.此时，MP＝42

MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形.55

（3）不存在.因为当t<，x<1时，PM与PN不可能相等，同理，当t>，x>144

时，PM与PN不可能相等.

★★22、（2010济南）如图所示，抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为y3x33，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．

⑴求A、B、C三个点的坐标．

⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．

①求证：

AN=BM．

解：

⑴令x22x30，

解得：

x11,x23，∴A（－1，0），B（3，0）

∵yx22x3=（x1）24，∴抛物线的对称轴为直线x=1，

将x=1代入y3x33，得y=23，∴C（1，23）

⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=CE3，

AE

∴∠CAE=60o，

由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，

又∵AM=AP，BN=BP，∴BN=CM，∴△ABN≌△BCM，∴AN=BM.

②四边形AMNB的面积有最小值．设AP=m，四边形AMNB的面积为S，

由①可知AB=BC=4，BN=CM=BP，S△ABC=3×42=43，

4

∴CM=BN=BP=4－m，CN=m，过M作MF⊥BC,垂足为F，则MF=MC?

sin60o=3（4m），

2

∴S△CMN=21CNMF=12m?

23（4m）=43m3m，

S=S△ABC

y轴于

★★23、（2010济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交

A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）.已知A点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

BD相

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线

切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：

当点P运动到

1）解：

设抛物线为ya（x4）21.21

∵抛物线经过点A（0，3），∴3a（04）21.∴a.

4

1212∴抛物线为y（x4）1x2x3.

44

（2）答：

l与⊙C相交.

12证明：

当（x4）10时，x12，x26.

4

∴B为（2，0），C为（6，0）.∴AB322213.

设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则BEC90AOB.

∵ABD90，∴CBE90ABO.

又∵BAO90ABO，∴BAOCBE.∴AOB∽BEC.

∴CEBC.∴OBAB.∴

CE628

.∴CE2.

21313

∵抛物线的对称轴

l为x4，∴C点到l的距离为2.

∴抛物线的对称轴

l与⊙C相交.

（3）解：

如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q.1

可求出AC的解析式为y1x3.

2

121

设P点的坐标为（m，m22m3），则Q点的坐标为（m，m3）

42

112123

∴PQm3（m22m3）m2m.

2442

11233227

∵SPACSPAQSPCQ（mm）6（m3）,

24244

∴当m3时，PAC的面积最大为.

4

3

此时，P点的坐标为（3，）.

4

★★24、（2010晋江）已知：

如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC3，BC2，取AB的中点M，连结MC，把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO.

（1）试直接写出点D的坐标；

（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQx轴于点Q，连结OP.

①若以O、P、Q为顶点的三角形与

DAO相似，试求出点P的坐标；②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得TOTB的值最大.

3

解：

（1）依题意得：

D,2；

2

（2）①∵OC3，BC2，∴B3,2.

∵抛物线经过原点，∴设抛物线的解

析式为yax2bxa0又抛物线经过点B3,2与点

9a3b2,

∴9a3b242

解得：

9∴抛物线的解析式为

b3

y49x22x.∵点P在抛物线

上，∴设点

Px,

2

x.

3

1）若PQO

∽DAO

则PQ

QO

42

x

9

DA

AO

，解得：

2

51

x10（舍去）或x2，

216

∴点P51

153

16

64

2）若OQP

∽DAO

则OQ

PQ

DA

AO

，解得：

x10（舍去）或x2

∴点P

92,6.

②存在点T，使得TOTB的值最大.

42

抛物线y4x2

9

32x的对称轴为直线

x34，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点

E23,0.，∵点

3

O、点E关于直线x对称，∴TOTE，要使得TOTB的值最大，

即是使得TETB的值最大，

根据三角形两边之差小于第三边可知，当T、E、B三点在同一直线上时，

TETB的值

最大.

设过B、E两点

ykxbk0，

3kb2,

∴3

kb0

2

解得：

∴直线BE的解析式为y

4x2.

3

的直线解

4k43,b2

343

当x时，y21.

434

∴存在一点T3,1使得TOTB最大.

4

★★25、（2010）如图，在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线.动点D在直．线．AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边CDE，连结BE.

（1）填空：

ACB度；

AD

（2）当点D在线．段．AM上（点D不运动到点A）时，试求出的值；

．．BE

（3）若AB8，以点C为圆心，以5为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点，

在点D运动的过程中（点D与点A重合除外），试求PQ的长.

解：

（1）60；

（2）∵ABC与DEC都是等边三角形

∴ACBC，CDCE，ACBDCE60

∴ACDDCBDCBBCE

∴ACDBCE，∴ACD≌BCESAS

AD

∴ADBE，∴AD1.

BE

（3）①当点D在线段AM上（不与点A重合）时，由

（2）可知ACD≌BCE，则CBECAD30，作CHBE于点H，则PQ2HQ，连结CQ，则CQ5.

在RtCBH中，CBH30，BCAB8，则CHBCsin30814.2

在RtCHQ中，由勾股定理得：

HQCQ2CH252423，则PQ2HQ6

②当点D在线段AM的延长线上时，∵ABC与

DEC都是等边三角形

∴ACBC，CDCE，ACBDCE60

∴ACBDCBDCBDCE

∴ACDBCE

∴ACD≌BCESAS

∴CBECAD30，同理可得：

PQ6.

③当点D在线段MA的延长线上时，

∵ABC与DEC都是等边三角形

∴ACBC，CDCE，ACBDCE60

∴ACDACEBCEACE60

∴ACDBCE

∴ACD≌BCESAS

∴CBECAD，∵CAM30

∴CBECAD150，∴CBQ30.同理可得：

PQ6，综上，PQ的长是6.

2

★★26、（2010莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bxc交x轴于

A（2,0）,B（6,0）两点，交y轴于点C（0,23）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线y2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、

F两点，求劣弧EF的长；

第26题图）

（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.

3

a

6

解得b43.

3

c23

解：

（1）∵抛物线yax2bxc经过点A（2,0），B（6,0），C（0，23）．

4a2bc0

∴36a6bc0，

c23

∴抛物线的解析式为：

y3x243x23.

63

（2）易知抛物线的对称轴是x4.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8．

连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．1

在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．

2

∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．

12016

∴劣弧EF的长为：

8．

1803

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b.∵直线AC经过点A（2,0）,C（0,23）.

则点N坐标为（m,3m23）.∵SPNA:

SGNAPN

3∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.

2

即m3m23=（3m23）.

632

解得：

m1=－3，m2=2（舍去）.当m=－3时，3m243m23=153.

:

GN.

632

15

∴此时点P的坐标为（3,3）.

②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1，PG=3GN.

即3m43m23=（33m23）.

63

解得：

m112，m22（舍去）.当m112时，3m43m23=423.63

∴此时点P的坐标为（12,423）.

15

综上所述，当点P坐标为（3,3）或（12,423）时，

△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．

★★27、（2010丽水）小刚上午7：

30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，

用时10分钟，到达学校的时间是7：

55．为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校

的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．

（2）下午4：

00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在

未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以

110米/分的速度回家，中途没有再停留．问：

①小刚到家的时间是下午几时？

②小刚回家过程中，离家的路程s（米）与时间t（分）之间

的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式．

点C的坐标是（50，1100），点D的坐标是（60，0）

设线段CD所在直线的函数解析式是sktb，将点C，D的坐标代入，得

★★28、（2010丽水）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=23．把△ABC放在平面直角坐标

以下分两种情况讨论．

5情况1：

设点C在第一象限（如图甲），则点C的横坐标为5，

5

坐标；

将点B的横坐标代入（＊）式右边，计算得15，即等于点B的纵坐标．

5

∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上．

情况2：

设点C在第四象限（如图乙），则点C的坐标为（5，-25），

55

点A的坐标为（215，15），点B的坐标为（215，15）．

5555

经计算，A，B两点都不在这条抛物线上．

（情况2另解：

经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，

而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上）

②存在．m的值是1或-1．

1点C在此抛物线上，∴a（02）（04）4，a

2

∴所求的抛物线解析式为y1（x2）（x4）

2

129即y1x2x4，顶点D的坐标为（1，9）

22

2）△EBC的形状为等腰三角形

证明：

法一）∵直线MN的函数解析式为yx

∴ON是∠BOC的平分线

∵B、C两点的坐标分别为（4，0），（0，4）

∴CO=BO=4，∴MN是BC的垂直平分线

∴CE=BE，即△ECB是等腰三角形。

法二）∵直线MN的函数解析式为yx

∴ON是∠BOC的平分线，∴∠COE=∠BOE

∵B、C两点的坐标分别为（4，0）、（0，4）

∴CO=BO=4，又∵CE=BE，∴△COE≌△BOE∴CE=BE

即△ECB是等腰三角形

法三）∵点E是抛物线的对称轴x1和直线yx的交点

∴E点的坐标为（1，1）

∴利用勾股定理可求得CE=3212=10BE=3212=10

∴CE=BE，即△ECB是等腰三角形

3）解：

存在

∵PF∥ED

∴要使以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，只要使PF=ED

∵点E是抛物线的对称轴x1和直线yx的交点

∴E点的坐标为（1，－1）

97

∴ED1（），∵点P是直线yx上的动点

22

∴设P点的坐标为（k,k）

则直线PF的函数解析式为x=k

点F是抛物线和直线PF的交点

12

F的坐标为（k,kk4）

2

1212

PF=k（k2k4）k24

22

1k247

22

k1

9

当k1时，点P的坐标为（1，1），F的坐标为（1，）

2此时PF与ED重合，不存在以P、F、D、E为顶点的平行四边形

5当k1时，点P的坐标为（1，1），F的坐标为（1，2）此时，四边形PFDE是平行四边形

★★30、（2010龙岩）如图①，将直角边长为2的等腰直角三角形ABC绕其直角顶点C

顺时针旋转α角（0°<α<90°），得△A1B1C，A1C交AB于点D，A1B1分别交于BC、

AB于点E、F，连接AB1．

1）求证：

△ADC∽△A1DF；

2）若α=30°，求∠AB1A1的度数；

3）如图②，当α=45°时，将△A1B1C沿C→A方向平移得△A2B2C2，A2C2交AB于点G，B2C2交BC于点H，设CC2=x（0

∴∠AB1A1=∠CB1A1∠4=45°30°=15°法三）如图①，

∵AC=B1C，∴∠4=∠3，∵∠CAB=∠CB1A1

∴∠CAB∠3=∠CB1A1∠4，即∠B1AB=∠AB1A1

∵∠5=∠B1AB+∠AB1A1，∠5=2∠AB1A1∵△ADC∽△A1DF

11

∴∠5=，∴∠AB1A1=515

22

3）解：

△A1B1C在平移的过程中，易证得△AC2G、△HB2E、△A2FG、△C2HC、

△FBE均是等腰直角三角形，四边形AC2B2F是平行四边形∵AB=AC2BC2=2

1

∴当α=45°时，CE=CD=AB=1

2情形①：

当0

△A2B2C2与△ABC的重叠部分为五边形C2HEFG

法一）S五边形C2HEFG=S平行四边形AC2B2FSRt△AC2GSRt△HB2E

∵C2C=x

∴CH=x，AC2=2x，B2E=HE=1x

∴AG=C2G=2AC2=2（2x）12x

222

∴S平行四边形AC2B2F=AC2·CE=（2x）·1=2x

121221212

SRt△AC2G=·AG=（1x）xx

222224

SRt△HB2E=1·B2E2=1（1x）21x1x2

2222

∴S五边形C2HEFG=2x（12x1x2）（1x1x2）

22422

=3x22x21

42

法二）S五边形C2HEFG=SRt△A2B2C2SRt△A2FGSRt△HB2E

C2C=x

AC2=2x，B2E=1x

C2G=22AC2=22（2

x）1

A2G=A2C2C2G

=2（12x）212

22

SRt△A2B2C2=1A2C22=1

（2）=1

222

121223222212SRt△A2FG=A2G2=（21x）2xx2

222224

SRt△HB2E=1B2E=1（1x）1x1x

2222

S3222212112

S五边形C2HEFG=1（xx2）（xx2）

22422

=3x22x21

42

法三）

S五边形C2HEFG=SRt△ABCSRt△AC2GSRt△C2HCSRt△FBE

∵C2C=x

∴AC2=2x，CH=x，BE=21

22

∴AG=C2G=AC2=2（2x）

22

∴SRt△ABC=1AC2=1

（2）2=1

22

12122

SRt△AC2G=AG2=（1x）2

222

SRt△C2HC=1C2C2=1x2

22

12

2

x1x2

4

SRt△FBE=1BE2=1（21）2

22∴S五边形C2HEFG=1（12x

22

=3x22x21

2

12

x2）

4

42

情形②：

法一）

法二）

当1≤x<2时（如图③所示），

△A2B2C2与△ABC的重叠部分为直角梯形C2B2FG

S直角梯形C2B2FG

=S平行四边形C2B2FASRt△AC2G

12

=AC2·CEAG2

2

1212

=2x（xx）

224

1221

=x

（1）x2

422

S直角梯形C2B2FG=SRt△A2B2C2SRt△A2FG

32222=1（x

2

=1x2（

12

x）24

1）x21

2